滬教版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷特訓(xùn)11全等三角形壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)11全等三角形壓軸題（手拉手型、半角型、旋轉(zhuǎn)型、倍長中線、截長補短）一、解答題1．如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．2．在中，，點D是直線上一點，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當點D在邊上時，請直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當點D在的延長線上時，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．3．在中，且．(1)如圖（1），若分別平分，交于點C、B，連接．請你判斷是否相等，并說明理由；(2)的位置保持不變，將（1）中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，相交于O，請你判斷線段與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，試求四邊形的面積．4．已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．5．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．6．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）7．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由．8．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補充完整流程圖．補全流程圖：①_______，②∠EDF＝___（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請在備用圖中補全圖形、先作出判斷，然后給予證明．10．在圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．（1）如圖1，線段AN與線段BM是否相等?證明你的結(jié)論；（2）如圖1，線段AN與線段BM交于點O，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．11．（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．12．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（1）如圖1，若點D在邊BC上，直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，若點D在邊CB的延長線上，請直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系．15．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是______________；探究延伸：如圖2，在四邊形中，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．16．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．17．小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點為的中點，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．18．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫出與的關(guān)系．19．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．20．（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．21．（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．22．數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．23．（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．24．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；（3）如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．25．課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．26．課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．27．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．29．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．30．已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．特訓(xùn)11全等三角形壓軸題（手拉手型、半角型、旋轉(zhuǎn)型、倍長中線、截長補短）一、解答題1．如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；（2）由≌，得到，進一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作于點于點，證明，由，即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：、是等邊三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）證明：如圖，作于點于點，，，，，，，，平分．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在中，，點D是直線上一點，連接，以為邊向右作，使得，，連接CE．(1)①如圖1，求證：；②當點D在邊上時，請直接寫出，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系；(2)當點D在的延長線上時，試探究，，的面積（，，）所滿足的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①先證明，再利用證即可；②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論；（2）由已知條件可得證出，，推出，再由，即可得到．【解析】（1）證明：①∵，∴，即．在和中，?！啵?，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在中，且．(1)如圖（1），若分別平分，交于點C、B，連接．請你判斷是否相等，并說明理由；(2)的位置保持不變，將（1）中的繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，相交于O，請你判斷線段與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，試求四邊形的面積．【答案】(1)，理由見解析(2)，，理由見解析(3)32【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用“角邊角”證明與全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；（2）先根據(jù)證明，然后利用“邊角邊”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后證明，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而證明；（3）把四邊形的面積分成與兩個三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理為四邊形的面積等于，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【解析】（1）解：．理由如下：∵分別平分，∴，，∵，∴，在和中，∵，∴，∴；（2）解：，．理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴四邊形的面積．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，準確識圖，找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．4．已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)60°(2)45°(3)（180°﹣），證明見解析【分析】（1）連接AG．易證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根據(jù)G、F分別是DC與BE的中點，可得DG＝BF，即可證明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解題．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題．（1）連接AG．∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．∵G、F分別是DC與BE的中點，∴DGDC，BFBE，∴DG＝BF．在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB＝∠GAF．∵∠DAB＝60°，∴∠GAF＝60°．

∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠AFG＝60°；故答案為60°，（2）連接AG，如圖2，∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝90°，∵AG＝AF，∴∠AFG×（180°﹣90°）＝45°；故答案為45°，（3）連接AG，如圖3，∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG（180°﹣α）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解題的關(guān)鍵．5．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令A(yù)D與CE交于點G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3）【分析】（1）由已知條件可得，，進而根據(jù)∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，證明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°；（2）延長交于點F，同理可得△ACD≌△BCE，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α，根據(jù)∠ABE=45°+45°-α=90°-α，進而根據(jù)∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延長BE交AD于點G，方法同（2）證明△ACD≌△BCE，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得直線和的夾角．【解析】（1）∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∠CDE=45°∴∠CDA=135°∵∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE∴∠AEB=90°故答案為：90°，AD＝BE（2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下，同理可得△ACD≌△BCE，則AD=BE，延長交于點F，設(shè)∠FAB=α，則∠CAD=∠CBE=45°-α∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°∴AD⊥BE（3）如圖，延長BE交AD于點G，∵和均為等腰三角形，∴，，∵∠ACB=∠DCE=α，∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD∵∴∠CBA=∠CAB=∴∠GAB+∠GBA=，，∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA)，即直線和的夾角為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)模型證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由．【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由見解析；（2）不變，理由見解析；（3）①BD＝AC，理由見解析；②能，60°或120°．【分析】（1）延長BD交AC于F，根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；（2）根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；（3）①根據(jù)“”判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證；②設(shè)與交于點，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求證．【解析】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延長BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中∴，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）不發(fā)生變化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，②能．設(shè)與交于點，如下圖：理由：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴，即BD與AC所成的角的度數(shù)為60°或120°．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．8．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．【答案】（1）證明見解析；（2）60；（3）60；（4）60；【分析】（1）根據(jù)題意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，從而得；通過證明，得；通過證明，得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分析，即可完成證明；（2）結(jié)合題意，通過證明為等邊三角形，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得，從而完成求解；（3）同理，通過證明為等邊三角形，得；通過證明，得；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，推導(dǎo)得，從而完成求解；（4）根據(jù)題意，通過證明為等邊三角形，推導(dǎo)得，通過證明，得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)計算，即可得到答案．【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60°∴，，∴∵BA＝BC，BD＝BE和中∴∴和中∴∴∴為等邊三角形；（2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC∴為等邊三角形；∴根據(jù)題意，AE和CD相交于點O∵∴∵∴∴，即直線AE和CD的夾角是故答案為：；（3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°,BA＝BC∴為等邊三角形；∴∵，，∠ABC＝∠DBE＝60°∴∵BA＝BC，BD＝BE和中∴∴如圖，延長，交CD于點O∴∵∴∴，即直線AE和CD的夾角是故答案為：；（4）∵BA＝BC，∴∵∠ACB＝60°∴∴為等邊三角形∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE∴∵，∴和中∴∴分別延長CD、AE，相較于點O，如下圖：∴∵∴∴，即直線AE和CD的夾角是故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、補角、三角形外角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、全等三角形、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解．9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補充完整流程圖．補全流程圖：①_______，②∠EDF＝___（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請在備用圖中補全圖形、先作出判斷，然后給予證明．【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）連接AD，根據(jù)∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，從而可以證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可證明；（2）連接AD，同樣證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可證明．【解析】解：（1）如圖所示，連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；故答案為：△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由如下：連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．10．在圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．（1）如圖1，線段AN與線段BM是否相等?證明你的結(jié)論；（2）如圖1，線段AN與線段BM交于點O，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）AN＝BM，證明見詳解；（2）∠AOM＝60°；（3）△CEF是等邊三角形，證明見詳解．【分析】（1）證△ACN≌△MCB（SAS），即可得出AN＝BM；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ANC＝∠MBC，利用三角形外角性質(zhì)∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC＝∠BCN＝60°；（3）證△ACE≌△MCF（ASA），得CE＝CF，根據(jù)等邊三角形判定定理由∠MCF＝60°即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）AN＝BM，理由如下：∵△ACM、△CBN都是等邊三角形，∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN，∴∠ACN＝∠BCM，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝MB；（2）由（1）得：△ACN≌△MCB，∴∠ANC＝∠MBC，∴∠AOM＝∠CAN+∠MBC＝∠CAN+∠ANC＝∠BCN＝60°；（3）△CEF是等邊三角形，理由如下：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF，∵△AMC與△BNC均為等邊三角形，∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°，∴∠ACE＝∠MCF=60°，在△ACE和△MCF中，，∴△ACE≌△MCF（ASA），∴CE＝CF，∵∠MCF＝60°，∴△CEF是等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．【答案】（1）；（2）．理由見解析．【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．【解析】（1）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長至，使，連接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）結(jié)論：．理由：在上截取，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，則，∴∵，，∴，在與中，，∴，∴，即，即，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．12．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）延長到點G．使．連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長至M，使，連接．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．，由全等三角形的性質(zhì)得出，即，則可得出結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質(zhì)得出．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解析】（1）解：．延長到點G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖②中，延長至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結(jié)論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．13．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見解析．【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉(zhuǎn)換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【解析】解：（1）如圖，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結(jié)論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結(jié)論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．14．如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（1）如圖1，若點D在邊BC上，直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，若點D在邊CB的延長線上，請直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）CE＋CF＝CD；（2）CF＝CE＋CD，理由見解析；（3）CD＝CE＋CF【分析】（1）在CD上截取CH=CE，易證CEH是等邊三角形，得EH=EC=CH，證明DEH≌FEC，得DH=CF，即可得出結(jié)論；（2）先證GCE為等邊三角形，再證EGD≌ECF，得到GD＝CF，又因為GD＝CG＋CD，得CF＝CG＋CD，則CF＝CE＋CD；（3）先證GCE為等邊三角形，再證CG＝CE＝EG，∠GEC＝60°，ED＝EF，∠DEG＝∠FEC，得EGD≌ECF，則GD＝CF，即可得到CE+CF＝CD．【解析】（1）證明：CE+CF=CD，理由如下：在CD上截取CH=CE，連接EH，如圖1所示：∵ABC是等邊三角形，∴∠ECH=60°，∴CEH是等邊三角形，∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，∵DEF是等邊三角形，∴DE=FE，∠DEF=60°，∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，∴∠DEH=∠FEC，在DEH和FEC中，，∴DEH≌FEC（SAS），∴DH=CF，∴CD=CH+DH=CE+CF，∴CE+CF=CD；（2）解：CF＝CE＋CD理由如下：∵ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，作，交BC于點G，如圖2所示∴∠EGC＝∠B＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，∴GCE為等邊三角形，∴CG＝CE＝EG，∵EDF為等邊三角形，∴ED＝EF，∠DEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC，∴EGD≌ECF（SAS），∴GD＝CF，又GD＝CG＋CD∴CF＝CE＋CD．（3）∵ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，作，交BC于點G，如圖所示∴∠EGC＝∠ABC＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，∴GCE為等邊三角形，∴CG＝CE＝EG，∠GEC＝60°∴∠GEC＝∠GEF+∠FEC＝60°∵EDF為等邊三角形，∴ED＝EF，∠DEF＝60°，∴∠DEF＝∠GEF+∠DEG＝60°∴∠DEG＝∠FEC，∴EGD≌ECF（SAS），∴GD＝CF，又∵GD＝CD-CG，CG＝CE∴CE+CF＝CD【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是______________；探究延伸：如圖2，在四邊形中，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】問題背景：；探究延伸：成立，理由見解析；實際應(yīng)用：210海里【分析】問題背景：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，即可得出結(jié)論：EF=AE+CF；探究延伸1：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論：EF=AE+CF；探究延伸2：延長DC到H，使得CH=AE，連接BH，先證明△BCH≌△BAE，即可得到BE=HB，∠ABE=∠HBC，再證明△HBF≌△EBF，即可得出EF=HF=HC+CF=AE+CF；實際應(yīng)用：連接EF，延長BF交AE的延長線于G，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)問題：在四邊形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的兩邊分別交AG，BG于E，F(xiàn)，求EF的長．再根據(jù)探究延伸2的結(jié)論：EF=AE+BF，即可得到兩艦艇之間的距離．【解析】解：問題背景：如圖1，延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論：EF=AE+CF；故答案為：EF=AE+CF；探究延伸1：上述結(jié)論仍然成立，即EF=AE+CF，理由如下：如圖2，延長FC到G，使CG=AE，連接BG，∵CG=AE，∠BCG=∠A=90°，BC=BA，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG=BE，∠ABE=∠CBG，∵∠ABC=2∠EBF，∴∠ABE+∠CBF=∠EBF，即∠CBG+∠CBF=∠EBF，∴∠GBF=∠EBF，又∵BF=BF，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF=EF，即GC+CF=EF，∴AE+CF=EF∴可得出結(jié)論：EF=AE+CF；探究延伸2：上述結(jié)論仍然成立，即EF=AE+CF，理由：如圖3，延長DC到H，使得CH=AE，連接BH，∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠BCH=∠BAE，∵BA=BC，CH=AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BE=HB，∠ABE=∠HBC，∴∠HBE=∠ABC，又∵∠ABC=2∠MBN，∴∠EBF=∠HBF，∵BF=BF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴EF=HF=HC+CF=AE+CF；實際應(yīng)用：如圖4，連接EF，延長BF交AE的延長線于G，因為艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，所以∠AOB=140°，因為指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF．依題意得，OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°，因此本題的實際的應(yīng)用可轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)問題：在四邊形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的兩邊分別交AG，BG于E，F(xiàn)，求EF的長．根據(jù)探究延伸2的結(jié)論可得：EF=AE+BF，根據(jù)題意得，AE=75×1.2=90（海里），BF=100×1.2=120（海里），所以EF=90+120=210（海里）．答：此時兩艦艇之間的距離為210海里．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時注意類比思想的靈活應(yīng)用．16．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）結(jié)論仍然成立，詳見解析；（3）NC﹣BM＝MN，詳見解析【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時；（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【解析】（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．17．小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點為的中點，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定理解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算，得到答案；（3）仿照（1）的作法，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．【解析】（1）解：在和中，，小明證明用到的判定定理是，故答案為：；（2）解：，，在中，，，；（3）證明：延長到點E，使，連接，在和中，，，，，平分，，，，．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫出與的關(guān)系．【答案】（1），；（2）見解析；（3），【分析】（1）通過證明，得到，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；（2）延長至點，使，連接，通過證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：；（3）延長于，使得，連接，延長交于，證明得到，證明得到，，在通過三角形內(nèi)角和進行角度的轉(zhuǎn)化即可得到．【解析】（1）解：如圖1，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）證明：如圖2中，延長至點，使，連接，點是的中點，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）解：結(jié)論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，，點是的中點，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三家形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，作出恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．【答案】（1）（2）C（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由三角形三邊關(guān)系得到，即可求出；（3）延長到點M，使，連接，證明，得到，由得到，進而推出，即可證明．【解析】解：（1）如圖2，延長到點E，使，連接．∵為的中線，∴，又∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：C；（3）證明：延長到點M，使，連接，∵是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）見解析；（3）AF+EC=EF，見解析【分析】（1）證明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問題即可．（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．證明，推出BE=CH，再證明EF=FH，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．（3）結(jié)論：AF+EC=EF．延長BC到H，使得CH=AF．提供兩次全等證明AF=CE，EF=EH即可解決問題．【解析】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，F(xiàn)H=EF，∴BE+CF＞EF；（3）結(jié)論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會倍長中線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．21．（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍長中線模型，構(gòu)造全等三角形，即可求出中線的取值范圍；（2）用倍長中線模型，通過證明三角形的全等，可求出線段與的數(shù)量和位置關(guān)系．【解析】解：（1）如下圖，延長，使得，則，∵D是的中點，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴邊上的中線的取值范圍為：；（2）且，證明如下：如下圖，延長，使得，延長與交于點H，由（1）可易證，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，綜上所述，且．【點睛】本題考查三角形中線的定義、三角形全等的判定和性質(zhì)，用倍長中線模型添加輔助線是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．22．數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．23．（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【解析】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M為DE中點，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時，延長AE，交CN于T點，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．24．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；（3）如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）由已知條件可得，對頂角，則，根據(jù)即可的；（2）過點作的垂線交的延長線于,證明，得,進而可得，再證明即可得證點為中點；（3）延長至，使得，連接，設(shè)交于點，先證明，進而證明，根據(jù)角度的計算以及三角形內(nèi)角和定理求得，進而證明，再根據(jù),證明，根據(jù)已知條件求得最后證明即可．【解析】（1）設(shè)交于，如圖1，是等腰和是等腰即故答案為（2）如圖2，過點作的垂線交的延長線于,是等腰和是等腰又又即是的中點（3）延長至，使得，連接，設(shè)交于點，如圖即是等腰和是等腰在與中，（SAS），點是的中點，（SAS）（SAS），即，【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．25．課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)已知證明，進而求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得的取值范圍；（2）過點作交的延長線于，證明，得，再證明，進而證明，即可證明【解析】（1），即（2）如圖，過點作交的延長線于，,,,,即，又,【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長至F，使，連接，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．【解析】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．27．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，見解析；（3）結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，見解析【分析】（1）延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝EG，結(jié)合圖形計算，證明結(jié)論；（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答