2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)課時(shí)規(guī)范練38空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

課時(shí)規(guī)范練38空間向量在立體幾何中的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.已知平面α的一個(gè)法向量為(1,2,-2),平面β的一個(gè)法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-22.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,AC長為2π3,A1B1長為π3,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線BA.π6 B.π4 C.π3.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點(diǎn),則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()A.35 B.C.33104.(多選)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成的角為α,直線PB與平面ABC所成的角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則α,β,γ大小關(guān)系正確的是()A.α>β B.α=β C.γ>β D.γ≥β5.(多選)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分別為AC,AA1,AB的中點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是()A.AC1與EF相交B.B1C1∥平面DEFC.EF與AC1所成的角為90°D.點(diǎn)B1到平面DEF的距離為36.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),M為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1M=λ(0<λ<2),設(shè)點(diǎn)N為ME的中點(diǎn),則點(diǎn)N到平面D1EF的距離為()A.3λ B.2C.23λ D.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小為60°,點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為3,點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離為23,則直線BC1與直線AB1所成角的正切值為.

8.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,AA1=2AC,P是側(cè)棱CC1上的點(diǎn).(1)若∠APB=60°,證明:P是CC1的中點(diǎn);(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.9.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面AA1C1C⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點(diǎn).(1)證明:EF⊥BC;(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.10.如圖所示,多面體是由底面為ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,該直四棱柱的底面為菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,∠BAD=60°.(1)求BG的長;(2)求平面AEFG與底面ABCD的夾角的余弦值.綜合提升組11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有以下三個(gè)命題:①異面直線AC1與B1F所成的角是定值;②三棱錐B-A1EF的體積是定值;③直線A1F與平面B1CD1所成的角是定值.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.3 B.2 C.1 D.012.(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)E,O分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),P在正方體內(nèi)部,且滿足AP=34A.點(diǎn)A到直線BE的距離是5B.點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為2C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為3D.點(diǎn)P到直線AB的距離為2513.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點(diǎn)D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點(diǎn).(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).(1)在棱BC上是否存在一點(diǎn)E,使得CF∥平面PAE,并說明理由;(2)當(dāng)二面角D-FC-B的余弦值為66時(shí),求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值創(chuàng)新應(yīng)用組15.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,BC=2AD=2,E為CD的中點(diǎn),PB⊥AE.(1)證明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PB=PD,PC與平面ABCD所成的角為π4,試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD?”若存在,求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離;若不存在,請說明理由16.如圖,在等腰直角三角形ADP中,∠A=90°,AD=3,B,C分別是AP,DP上的點(diǎn),且BC∥AD,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn).現(xiàn)將△PBC沿BC折起,得到四棱錐P-ABCD,連接EF.(1)證明:EF∥平面PAD;(2)是否存在點(diǎn)B,當(dāng)將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時(shí),二面角P-CD-E的余弦值等于155?若存在,求出AB的長;若不存在,請說明理由參考答案課時(shí)規(guī)范練38空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.C因?yàn)棣痢桅?所以1-2=22.B以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系,如圖,則A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12所以AA1=(0,0,1),B1C=(0,所以cos<AA1=0×0+0×所以<AA1,所以異面直線B1C與AA1所成的角為π4.3.A設(shè)正三棱柱的棱長為2,取AC的中點(diǎn)D,連接DG,DB,分別以DA,DB,DG所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),B1F=(1,-3,-1),EF=設(shè)平面GEF的法向量n=(x,y,z),則EF取x=1,則z=1,y=3,故n=(1,3,1)為平面GEF的一個(gè)法向量,所以cos<n,B1F>=1-3-15×5=-354.AC過點(diǎn)B作直線l∥AC,過點(diǎn)P作底面ABC的垂線PD,D為垂足,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,作DE⊥l于點(diǎn)E,連接AD,BD,PF,PE.由題意可知,二面角P-AC-B的大小與二面角P-AB-C的大小相等,結(jié)合空間角的定義知∠PBE=α,∠PBD=β,∠PFD=γ,在Rt△PEB與Rt△PDB中,由PE>PD,得sinα>sinβ,∴α>β(α,β均為銳角).故A正確,B錯(cuò)誤;在Rt△PDB與Rt△PDF中,由PB>PF,得sinβ<sinγ,∴γ>β(β,γ均為銳角).故C正確;由于不存在PB=PF的可能,故D錯(cuò)誤,故選AC.5.BCD對選項(xiàng)A,由圖知AC1?平面ACC1A1,EF∩平面ACC1A1=E,且E?AC1.由異面直線的定義可知AC1與EF異面,故A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC.∵D,F分別是AC,AB的中點(diǎn),∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.又∵B1C1?平面DEF,DF?平面DEF,∴B1C1∥平面DEF.故B正確;對于選項(xiàng)C,由題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).∴EF=(-1,1,-1),AC1=(∵EF·AC1=2+∴EF∴EF與AC1所成的角為90°.故C正確;對于選項(xiàng)D,設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DEF的一個(gè)法向量.∵DE=(1,0,1),DF=∴取x=1,則z=-1,∴n=(1,0,-1).設(shè)點(diǎn)B1到平面DEF的距離為d.又∵DB1=∴d=|DB1·n||n|=|-1+0-6.D以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),ED1=(-2,0,1),EF=(0,2,0),EM=(0,設(shè)平面D1EF的法向量n=(x,y,z),則n取x=1,得n=(1,0,2),∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為d=|EM∵N為EM中點(diǎn),故點(diǎn)N到平面D1EF的距離為57.7由題意可知,∠BAC=60°,點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為3,點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離為23,由于側(cè)面和底面垂直,由面面垂直的性質(zhì)定理可得,B到AC的距離為3,C到AB的距離為23,所以在三角形ABC中,AB=2,AC=4,BC=23,∠ABC=則AB1·BC1=(BB1-BA)·(BB1+cos<AB1,sin<AB1,BC1>=8.(1)證明由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C⊥平面ABC,∵AC,BC在平面ABC中,∴C1C⊥AC,C1C⊥BC.∵△ABC為等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,AC=BC,且AB=2AC,由勾股定理得AP=AC2∵∠APB=60°,∴△ABP是等邊三角形,則AP=AB=2AC,由勾股定理得PC=AP2-AC2=AC=12AA1=12CC1(2)解易知CA,CB,CC1兩兩垂直,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)AC=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),AB=(-2,2,0),AP=(-2,0,3),設(shè)平面ABP的法向量為n=(x,y,z),由n令x=3,得y=3,z=2,∴n=(3,3,2),又平面ACP的法向量為m=(0,1,0),∴cos<m,n>=m·由圖形可知,二面角B-AP-C為銳角,∴二面角B-AP-C的余弦值為39.(1)證明如圖所示,連接A1E,B1E,在等邊三角形AA1C中,AE=EC,則A1E⊥AC,∵平面ABC⊥平面A1ACC1,且平面ABC∩平面A1ACC1=AC,∴A1E⊥平面ABC,故A1E⊥BC.由三棱柱的性質(zhì)可知A1B1∥AB,而AB⊥BC,故A1B1⊥BC,且A1B1∩A1E=A1,∴BC⊥平面A1B1E,∵EF?平面A1B1E,∴EF⊥BC.(2)解在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC,交AB于點(diǎn)H,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EH,EC,EA1方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.設(shè)EH=1,則AE=EC=3,AA1=CA1=23,BC=3,AB=A1E=3,則A(0,-3,0),B32,32,0,A1(0,0,3),C(0,3,0),A1B=32,32,-由AB=A1B1可得點(diǎn)B1的坐標(biāo)為B132,332設(shè)平面A1BC的法向量為m=(x,y,z),則m·A取x=1,則y=3,z=1,則平面A1BC的一個(gè)法向量為m=(1,3,1),所以cos<EF,m>=EF·設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ,則sinθ=|cos<EF,m>|=45,故cosθ=10.解(1)因?yàn)槎嗝骟w是由底面為ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,所以平面ADG∥平面BCFE,又因?yàn)槠矫鍭DG∩平面AEFG=AG,平面BCFE∩平面AEFG=EF,所以AG∥EF,同理AE∥GF,所以四邊形AEFG是平行四邊形.連接AC,BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-3,0),B(1,0,0),E(1,0,1),F(0,3,5),所以AG=EF=(-1,3,4),AB=(1,3,0),所以BG=AG-AB=(-2,0,4),所以|BG所以BG的長為25(2)依據(jù)題意可取平面ABCD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),由(1)知AG=(-1,3,4),AE=(1,3,1),設(shè)平面AEFG的法向量為n=(x,y,z),則由n令z=23,則x=33,y=-5,所以n=(33,-5,23),所以cos<m,n>=m·n|m||n11.B以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),設(shè)F(t,1,1-t)(0≤t≤1),可得AC1=(1,1,1),B1F=(t-1,1,-t),可得AC1·B1F=三棱錐B-A1EF的底面A1BE面積為定值,且CD1∥BA1,點(diǎn)F是線段CD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),可得點(diǎn)F原委面A1BE的距離為定值,故三棱錐B-A1EF的體積是定值,故②正確;A1F=(t,1,-t),B1C=(0,1,-1),B1D1=(-1,1,0),可得平面B1CD1的一個(gè)法向量為n=(1,1,1),可得cos<A1F12.BC如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,O12,12,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.設(shè)∠ABE=θ,則cosθ=|BA·BE故A到直線BE的距離d1=|BA|sinθ=1×2易知C1O=-12,-12,0,平面ABC1D1的一個(gè)法向量DA1則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d2=|DA1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d3=|因?yàn)槠矫鍭1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點(diǎn)D1到平面A1BD的距離,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為33因?yàn)锳P=34AB+12AD+23A所以點(diǎn)P到AB的距離d=|AP|13.解依題意,以C為原點(diǎn),分別以CA,CB,CC1的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(1)證明:依題意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),從而C1M·B1D=2-2+(2)依題意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一個(gè)法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-設(shè)n=(x,y,z)為平面DB1E的法向量,則n·EB1=0,n·ED因此有cos<CA,n>=CA·于是sin<CA,n>=306.所以,二面角B-B1E-D(3)依題意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)為平面DB1E的一個(gè)法向量,于是cos<AB,n>=AB·n所以,直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為314.解(1)在棱BC上存在點(diǎn)E,使得CF∥平面PAE,點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn).取PA的中點(diǎn)Q,連接EQ,FQ,由題意,FQ∥AD,且FQ=12AD,CE∥AD,且CE=12故CE∥FQ,且CE=FQ.∴四邊形CEQF為平行四邊形.∴CF∥EQ,又CF?平面PAE,EQ?平面PAE,∴CF∥平面PAE.(2)取AB中點(diǎn)M,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DM,PD⊥DC,又易知DM⊥DC,∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DM,DC,DP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)FD=a,則D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B(3,1,0),A(3,-1,0).則FC=(0,2,-a),CB=(3,-1,0).設(shè)平面FBC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z).由m取x=1,得m=1,取平面DFC的一個(gè)法向量為n=(1,0,0).由題意,66=|cos<m,n>|=11+3+12∴m=(1,3,2),AF=(-3,1,6設(shè)直線AF與平面BCF所成的角為θ,則sinθ=|cos<m,AF>|=|m·AF||m15.(1)證明由四邊形ABCD是直角梯形,AB=3,BC=2AD=2,AB⊥BC,可得DC=2,∠BCD=π3,從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠∵E為CD的中點(diǎn),∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)解存在.在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于點(diǎn)O,連接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO