2024年高中數(shù)學(xué)專題7-1重難點題型培優(yōu)精講復(fù)數(shù)的概念學(xué)生版新人教A版必修第二冊

專題7.1復(fù)數(shù)的概念1．?dāng)?shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：

①=-1，即i是方程+1=0的根；

②實數(shù)可以和數(shù)i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律照舊成立.

在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.留意到全部實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特別說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).明顯，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.3．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

依據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面對量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面對量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，明顯向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面對量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.4．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；虼_定值，記作|z|或|a+bi|.假如b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的確定值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這特性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).6．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【題型1復(fù)數(shù)的分類】【方法點撥】分清復(fù)數(shù)的分類，依據(jù)實部與虛部的取值狀況進行推斷.【例1】（2024·高一課時練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)x+i的說法確定正確的是（A．是虛數(shù) B．存在x使得x+C．不是實數(shù) D．實部和虛部均為1【變式1-1】（2024·高二課時練習(xí)）復(fù)數(shù)1-i，2，－1，i2，0，3A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2024·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．-1的平方根是C．biD．若z=aa【變式1-3】（2024春·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確命題的序號是（

）①若a∈R，則②若a,b∈R且③若x2-1④兩個虛數(shù)不能比較大小.A．①③ B．② C．③④ D．④【題型2復(fù)數(shù)相等的充要條件】【方法點撥】復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù).解決復(fù)數(shù)相等問題的步驟：分別分別出兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.【例2】（2024秋·河南·高三階段練習(xí)）設(shè)1+2ia+b=A．a(chǎn)=1,bC．a(chǎn)=-【變式2-1】（2024春·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)3+4i=3+bi，i為虛數(shù)單位，則A．1 B．2 C．4 D．5【變式2-2】（2024·高一課時練習(xí)）已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1【變式2-3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)4-3a-a2iA．1 B．1或-4 C．-4【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【方法點撥】復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)全部的點所組成的集合之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.每一個復(fù)數(shù)都對應(yīng)唯一的一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可依據(jù)點的位置推斷復(fù)數(shù)實部、虛部的取值.【例3】（2024春·湖南株洲·高一期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=-2A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)z=-1A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】（2024·高一課時練習(xí)）當(dāng)1<m<2時，復(fù)數(shù)m2+A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-3】（2024秋·貴州貴陽·高三階段練習(xí)）假如一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部”復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=2+ai（其中a∈RA．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【題型4共軛復(fù)數(shù)】【方法點撥】依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，進行求解即可.【例4】（2024秋·浙江金華·高二階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i+i2A．-1+i B．-1-【變式4-1】（2024春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）已知z=2-3i（i虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)A．2 B．i C．3 D．3【變式4-2】（2024·高一單元測試）若復(fù)數(shù)z=(m+1)-2A．-2i B．-i C．【變式4-3】（2024秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（

）A．1-2C．1-2i的共軛復(fù)數(shù)是-【題型5復(fù)數(shù)的模的計算】【方法點撥】依據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式，進行計算即可.【例5】（2024秋·吉林松原·高三期末）已知a，b∈R，若a+4i與3-A．8 B．7 C．6 D．5【變式5-1】（2024秋·北京·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z=1-i，則zA．-1 B．1 C．2【變式5-2】（2024秋·安徽宿州·高二期末）設(shè)z=2i1-A．2 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（2024秋·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)z滿足z=-3+4i，則A．1 B．5 C．7 D．25【題型6復(fù)數(shù)的模的幾何意義】【方法點撥】復(fù)數(shù)的模的幾何意義是實數(shù)的確定值概念的擴充，因此有|z|0，并且確定值具有的某些性質(zhì)可以推廣到復(fù)數(shù)的模.依據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2024秋·廣西·高二階段練習(xí)）設(shè)z∈C，滿足2≤z+i≤3A．1 B．5 C．π D．5【變式6-1】（2024·高一單元測試）滿足1≤z≤3的復(fù)數(shù)A．π