高中數(shù)學(xué)幾何證明題

新課標(biāo)立體幾何?？甲C明題匯總

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，旦己6,〃分別是邊43,8。,。。,04的中點(diǎn)

(1)求證：EFGH是平行四邊形

(2)若BD=2jLAC=2,EG=2o求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

證明：在中，:E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)；.EH〃BD,EH=工BD

2

同理，F(xiàn)GHBD,FG=LBD：.EH//FG,EH=FG：.四邊形EFGH是平行四邊形。

2

(2)90°30°

考點(diǎn)：證平行(利用三角形中位線)，異面直線所成的角

2、如圖，已知空間四邊形ABC。中，BC=AC,AD=BD,E是A3的中點(diǎn)。

求證：(1)A8_L平面CDE;

(2)平面COEJ?平面ABC.

BC^AC]

證明:(1)=>CE±AB

AE=BE\

AD=BD\

同理,=>DELAB

AE=BE\

又,：CEcDE=EAB_L平面CDE

(2)由(1)有AB,平面COE

又?；ABc平面鉆。，，平面CDE±平面ABC

考點(diǎn)：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABC。-A4GA中，E是A%的中點(diǎn),

求證：AC〃平面BDE。

證明：連接AC交BO于。，連接EO,

???￡為A4的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)

E0為三角形4AC的中位線EO//A.C

又EO在平面BDE內(nèi),4c在平面BDE外

/.A?！ㄆ矫?DE。

考點(diǎn)：線面平行的判定

4、已知A46c中N4C8=90,S4L面A8C,A￡>_LSC,求證：4D_L面SBC.

證明：VZACB=90oBC±AC

又面ABC:.SA±BC

BC±AD

又SC上AD,SCcBC=C.犯±面SBC

考點(diǎn)：線面垂直的判定

5、已知正方體48co—44G。，。是底ABC。對(duì)角線的交點(diǎn).

求證：(1)GO〃面A42；(2)4C_L面Ago一

證明：⑴連結(jié)4C，設(shè)4Gc3Q=a,連結(jié)401

???ABCD-^B^D,是正方體4ACG是平行四邊形

...AC〃AC且4G=AC

又。1，。分別是4。1,4。的中點(diǎn)，.?.0心〃4。且06=4。

；.AOG。是平行四邊形

.??G°//A°|,Aau面ABQ,“Z面ABQ.?.G。〃面ABQ

(2)vCC,_1面44GACC,±BQ、

又?.?AG，42,面A。。即qc,42

同理可證AC又￡>隹cA￡>|=￡>1

AC-L面ABQ

考點(diǎn)：線面平行的判定(利用平行四邊形)，線面垂直的判定

6、正方體ABC。'中，求證：（DAC_L平面8'O,DB；⑵3?！蛊矫?。3'

考點(diǎn)：線面垂直的判定

7、正方體A3CD—481clQi中.（1）求證：平面A山?！ㄆ矫?QC；

⑵若E、尸分別是AA”CG的中點(diǎn)，求證：平面E8Q〃平面FBD.

證明：（1）由8出〃力助，得四邊形BBQ1。是平行四邊形，.?.8|Oi〃B￡）,

又BO<z平面81DC，-U平面81QC,

.?.20〃平面8QC.

同理A。〃平面BiDiC.

而4。。8。=。，平面48?！ㄆ矫鍮CD

⑵由得8?！ㄆ矫鍱BQi.取BBi中點(diǎn)G,，AE〃BiG.

從而得8|E〃AG,同理GF〃AO.，AG〃QF.，B|￡：〃。尸....QF〃平面EBQi....平面EB|￡)i〃平面FBD.

考點(diǎn)：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、如圖尸是AABC所在平面外一點(diǎn)，24=依,。？_1平面抬3,是尸。的中點(diǎn)，N是4B上的點(diǎn)，

AN=3NBp

（1）求證：MN±AB；（2）當(dāng)NA尸8=90°,A5=2BC=4.時(shí)，求MN的長(zhǎng)。A

證明：（1）取Q4的中點(diǎn)。，連結(jié)MQN。，是的中點(diǎn)，M//\

J.MQUBC,VCB_L平面PLB,/.MQ_L平面HAS//\

...QN是MN在平面A鉆內(nèi)的射影，取A6的中點(diǎn)。，連結(jié)PD,I24=28,c//\A

PDLAB,又AN=3NB,：.BN=ND\/

由三垂線定理得

：.QN//PD,：.QN1AB,"N_LABBV^N

（2）VZAPB=90\PA=PB,；.PD=；AB=2,：.QN=l,：MQ_L平面MQJ.NQ,且

MQ=gBC=\,：.MN=&

考點(diǎn)：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABC。一AgG2中，E、F、G分別是43、AD.GQ的中點(diǎn).求證：平面0E尸〃

平面BOG.

證明：?:E、/分別是A3、A。的中點(diǎn)，.?.EF〃89

又￡戶。平面BDG,BOu平面BDG：.EF〃平面BDG

■：D,G&EB四邊形DQBE為平行四邊形，D,E//GB

又DtE<z平面BDG,GBu平面BDG。田〃平面BDG

??.平面AE/7〃平面BOG

考點(diǎn)：線面平行的判定(利用三角形中位線)

11、如圖，在正方體ABC?！?AG3中，E是A4的中點(diǎn).

(1)求證：4c〃平面

,:E、。分別是AA「AC的中點(diǎn)，.?.4C〃E。

又AC<Z平面BOE,EOu平面6DE,r.4?！ㄆ矫?DE

(2)?；A4,_L平面A8CO,比>(=平面48。，AA,VBD

又BOLAC,A°CA4|=A,..即，平面4AC,3。(=平面3。E，.?.平面3￡>￡_1_平面44。

考點(diǎn)：線面平行的判定(利用三角形中位線)，面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，24,平面ABCD,43=2,PA=AD=4,Ep

為6C的中點(diǎn).卜、

(1)求證：平面B4E；(2)求直線QP與平面Q4E所成的角.\X.

證明：在ZVLDE中，AD1=AEr+DE2,AELDE\

:%_L平面ABC。，OEu平面ABC。，A\.............

又Q4cAE=A，,。七，平面PAE

(2)NOPE為DP與平面QAE所成的角

在用AELD,PD=46,在R/ADCE中，DE=2母

在RtADEP中，PD=2DE,:.ZDPE=30°

考點(diǎn)：線面垂直的判定，構(gòu)造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是ND鉆=60°且邊長(zhǎng)為。的菱形，側(cè)面P4Q是等邊三角形,

且平面PAD垂直于底面ABCD.

(1)若G為4)的中點(diǎn)，求證：8G_L平面尸AD；P"

(2)求證：ADLPB；/VX.

(3)求二面角A—BC-P的大小./

證明：(1)ZVIB。為等邊三角形且G為AD的中點(diǎn)，；.BGLAO/

又平面PAD_L平面ABCD,BGJ?平面PAD/..........，

(2)BAO是等邊三角形且G為AO的中點(diǎn)，AD,PG/?'<'、、、.\/

且ADL6G,PGc5G=G,：.平面「BG,A上.......—

PBu平面PBG,AD±PB

(3)由AD_LP3,AD//BC,:.BCVPB

又BG上AD,AD//BC,BGA.BC

：.NP8G為二面角A—BC-P的平面角

在HAPBG中，PG=BG,:.ZPBG=45°

考點(diǎn)：線面垂直的判定，構(gòu)造直角三角形，面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的求法(定義法)

14、如圖1,在正方體ABCD-A5CQ中，M為CC］的中點(diǎn)，AC交8。于點(diǎn)。，求證：4。_1平面加8￡).

證明：連結(jié)MO,AM，：QB_LA1A,DB±AC,44cAe=A,

...￡)8_L平面AACC；，而4。u平面4ACC；：.DB1.AQ.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則AO2='q2,M02=_a2

"24

9

在RtZ\AGM中，4M2=彳。2??AO2+MO2A^M2TAA0±0M

'：OMHDB=O,：.A0_L平面MBD

考點(diǎn)：線面垂直的判定，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直

15、如圖2,在三棱錐4一仇力中，BC=AC,AD=BD,

焊BE,CD,為垂足，作AHLBE于H.求證：4L平面融力.

證明：取的中點(diǎn)尸，連結(jié)5DF.

:AC=BC,；,CF上AB.

?：AD=BD,C.DFA.AB.

又C/n。尸=/，平面以鞏

???8u平面的CDJ.AB.

又CD工BE,BEcAB=B,

C￡)_L平面/防，CD1AH.

?：AHLCD,AH±BE,CDcBE=E,

：.A"_L平面65.

考點(diǎn)：線面垂直的判定

16、證明：在正方體ABCD-AIBICIDI中，A|C_L平面BCQ

證明：連結(jié)AC

?/BD±ACAC為AC在平面AC上的射影

/.BD1A.C

>nACL平面BG。

同理可證ACL8G

考點(diǎn)：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過(guò)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC,且