新教材高中數(shù)學必修第一冊5 .1 任意角和弧度制

Chapter5

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【學習目標】1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角2理解并掌握終邊相同的角的概念,

能寫出終邊相同的角所組成的集合.3.了解象限角的概念.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一任意角

1.角的概念：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.

2.角的表不：

如圖，0A是角a的始邊,0B是角a的終邊,。是角a的頂點.角a可記為“角a”或“Na”

或簡記為“a”.

思考南的概念中主要包含哪些要素？

答案角的概念包含的三要素為：頂點、始邊、終邊.

3.角的分類：

名稱定義圖示

正角按逆時針方向旋轉形成的角"A

負角按順時針方向旋轉形成的角

零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角----------4(B)

知識點二角的加法與減法

設a,"是任意兩個角，—a為角a的相反角.

（l）a+A把角a的終邊旋轉角6.

（2）a—/：a-6=a+（—￡）.

知識點三象限角

把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那

么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,就認為這

個角不屬于任何一個象限.

思考“銳角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

答案銳角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是銳角，也可以大于360。，

還可能是負角，小于90。的角可以是銳角，也可以是零角或負角.

知識點四終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構成一個集合5={用夕=a+k360。，kb},即

任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？

答案終邊相同的角不一定相等，它們相差360。的整數(shù)倍；相等的角終邊相同.

■思考辨析判斷正誤

1.第二象限角是鈍角.（X）

2.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.（V）

3.終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360。的整數(shù)倍.（V）

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

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一、任意角的概念

例1下列結論：

①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；

③小于90。的角為銳角；

④鈍角比第三象限角小；

⑤小于180。的角是鈍角、直角或銳角.

其中正確的結論為（填序號）.

答案②

解析①90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；

③小于90。的角可以是零角，也可以是負角，故③不正確；

④鈍角大于一100°的角，而一100。的角是第三象限角，故④不正確；

⑤0°角或負角小于180。，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確.

反思感悟理解與角的概念有關的問題關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍南、平角、

周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小.另外需要掌握判斷結論正確與否的

技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可.

跟蹤訓練1若手表時針走過4小時，則時針轉過的角度為()

A.120°B.-120°C.-60°D.60°

答案B

,,,,4

解析由于時針是順時針旋轉，故時針轉過的角度為負數(shù)，即為一萬乂360。=-120。.

二、終邊相同的角及象限角

例2將下列各角表示為左360。+0((依2,0假61<360。)的形式，并指出是第幾象限角.

(1)420°；(2)-510°；(3)1020°.

解(1)420°=360°+60°,

而60。角是第一象限角，故420。是第一象限角.

(2)-510°=-2X360°+210°,

而210。是第三象限角，故一510。是第三象限角.

(3)1020°=2X360°+300°,

而300。是第四象限角，故1020。是第四象限角.

反思感悟首先把各角寫成上360。+a(AGZ,0°Wa<360。)的形式，然后只需判斷a所在的象限

即可.

跟蹤訓練2(1)在四個角20。，-30°,100°,220。中，第二象限角的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案B

(2)與一460。角終邊相同的角可以表示成()

A.4600+k360°,kS

B.100。+上360。，kGZ

C.260°+k360°,kGZ

D.-260°+^-360°,左ez

答案C

解析因為一460。=260。+(—2)X360。，故一460?？梢员硎境?60。+心360。，kU,故選C.

三、區(qū)域角的表示

例3已知角a的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角a的取值范圍.

解終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合為N={a|a=3()o+上180。,左^2},終邊在180。

一75。=105。角的終邊所在直線上的角的集合為52={30(=105。+4J80。，k^Z],因此，終邊

在圖中陰影部分內(nèi)的角a的取值范圍為{碘0。+左180。遼61<：105。+-180。,左GZ}.

反思感悟表示區(qū)域角的三個步驟

第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

第二步：分別標出起始和終止邊界對應的一180。?180。范圍內(nèi)的角a和P，寫出最簡區(qū)間

{x\a<x<P];

第三步：起始、終止邊界對應角a,￡再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.

跟蹤訓練3如圖所示，寫出頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分

的角的集合.

解如題圖(1)所示，以OB為終邊的角有330。角，可看成是一30。,

...以OB為終邊的角的集合分別是：

Si={x|x=75°+L360°,AGZ},

8={尤|尤=一30°+/360°,kJZ].

???終邊落在陰影部分的角的集合為

{4上360°-30°W6Wk360°+75°,k^Z].

如題圖(2)所示，以02為終邊的角有225。角，可看成是一135。，

終邊落在陰影部分的角的集合為

{a—135°+k360°W6W135°+k360°,k《Z}.

?核心素養(yǎng)之邏輯推理?

確定na及系斤在的象限

典例已知a是第二象限角，求角￡所在的象限.

解方法一是第二象限角,

上360°+90°<a<人360°+180°（左￡Z）.

與360。+45°<^<|-360°+90°（左eZ）.

當上為偶數(shù)時，令k=2n(nGZ),得

n

n?360°+45°<2<n-360°+90°,

這表明今是第一象限角；

當上為奇數(shù)時，令4=2"+l(wGZ),得

a

n-360°+2253600+270°,

這表明］是第三象限角.

為第一或第三象限角.

方法二如圖，

先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、

二、三、四，則標有二的區(qū)域即為3的終邊所在的區(qū)域，故卷為第一或第三象限角.

延伸探究

1.在本例條件下，求角2a的終邊的位置.

解?.七是第二象限角，

3600+90°<ct<^360°+l80°aeZ).

k-720°+180°<2a<k-720。+360。(止Z).

.?.角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

2.若本例條件中角a變?yōu)榈谌笙藿?，求角是第幾象限?

解如圖所示，

先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、

二、三、四，則標有三的區(qū)域即為角3的終邊所在的區(qū)域，故角3為第二或第四象限角.

［素養(yǎng)提升］分類討論時要對左的取值分以下幾種情況進行討論：女被"整除；左被"除余1;

女被w除余2,…，人被“除余”一1.然后方可下結論.幾何法依據(jù)數(shù)形結合，簡單直觀.通

過該類問題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).

隨堂演練----------基-礎-鞏-固、學-以-致-用-

1.與一30。終邊相同的角是（）

A.-330°B.150°C.30°D.330°

答案D

解析因為所有與一30。終邊相同的角都可以表示為。=左360。+（—30。），kRZ,取左=1,得

a=330°.

2.—240°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析因為一240。角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.

3.下列說法正確的是（）

A.銳角是第一象限角B.第二象限角是鈍角

C.第一象限角是銳角D.第四象限角是負角

答案A

解析由于銳角范圍是0°<a<90。，顯然是第一象限角；

—200。是第二象限角，但不是鈍角；380。是第一象限角，但不是銳角；330。是第四象限角，

但不是負角.

4.終邊與坐標軸重合的角a的集合是（）

A.{a|a=/360°,kGZ}

B.{a|a=kl80°+90°,kGZ}

C.{a|a=kl80。,<ez}

D.{a|a=%,90。，kGZ）

答案D

解析終邊在坐標軸上的角大小為90?；?0。的整數(shù)倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為

{a|a=/90°,kez}.故選D.

5.已知角a的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)（不包含邊界），那么角a的集合是.

3（汾、、/徐。

O

答案{a\k-360°+45°<a<k-360°+150°,左GZ}

解析觀察圖形可知，角a的集合是{砒-360。+45。*<左360。+150。，kGZ].

?課堂小結

1.知識清單：

⑴任意角的概念.

⑵終邊相同的角與象限角.

（3）區(qū)域角的表示.

2.方法歸納：數(shù)形結合，分類討論.

3.常見誤區(qū)：銳角與小于90。角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉上GZ.

課時對點練注重雙基強化落實

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X基礎鞏固

1.—870。角的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析一870°=-3X360°+210°,

；.一870。是第三象限角,故選C.

2.與一457。角的終邊相同的角的集合是（）

A.{砒/=457。+/360。，AGZ}

B.{a|ct=97°+^360°,kH}

C.{a|a=263°+k360°,k^Z]

D.{a|a=—263°+k360°,kU]

答案C

3.下面各組角中，終邊相同的是（）

A.390°,690°B.—330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,-840°

答案B

解析因為一330°=-360°+30°,750°=720°+30°,

所以一330。與750。終邊相同.

4.下面說法正確的個數(shù)為（）

①第二象限角大于第一象限角；

②終邊在x軸非負半軸上的角是零角;

③鈍角是第二象限角.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析第二象限角如120。比第一象限角390。要小，故①錯；360。的整數(shù)倍的角終邊都在x軸

非負半軸上，故②錯；③中鈍角是第二象限角是對的.所以正確的只有1個.

5.若a是第四象限角，則180。一a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析可以給a賦一特殊值一60。，

貝I180。-6(=240。，故180。一(/是第三象限角.

6.50。角的始邊與無軸的非負半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉3周，所得的角是—.

答案一1030。

解析順時針方向旋轉3周轉了一(3X360。)=一1080°.

又50。+(—1080°)=-1030°,故所得的角為一1030。.

7.與一2019。角終邊相同的最小正角是.

答案141°

解析因為一2019°=—6X360°+141。，

所以所求角為141°.

8.在0。?360。范圍內(nèi)，與角一60。的終邊在同一條直線上的角為.

答案120°,300°

解析根據(jù)終邊相同角定義知，與一60。終邊相同角可表示為尸=-60。+k360。(462),當k

=1時￡=300。與一60。終邊相同，終邊在其反向延長線上且在0。?360。范圍內(nèi)的角為120°.

9.在0。?360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.

(1)-150°；(2)650°.

解(1)因為一150。=-360。+210。,所以在。。?360。范圍內(nèi)，與一150。角終邊相同的角是210。

角，它是第三象限角.(2)因為650。=360。+290。，所以在0。?360。范圍內(nèi)，與650。角終邊相

同的角是290。角，它是第四象限角.

10.寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合.

解先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得

(l){a|30°+左360°WaW150°+左-360°,k^Z].

(2){a|150°+上360°WaW390°+左-360°,JteZ).

X綜合運用

11.若a=、180°+45°，GZ),則6(在()

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案A

解析當k=2m+l(mGZ)時，

ct=2m-180°+225°=w-360°+225°,

故a為第三象限角；

當左=2加(〃zGZ)時，a=%-3600+45°,

故a為第一象限角.

故a在第一或第三象限.

12.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()

A.90°-aB.90°+a

C.360°—aD.180°+ct

答案C

解析特例法，取a=30。，可知C正確.作為選擇題，用特例求解更簡便些.一般角所在的

象限討論，應學會用旋轉的方法找角所在的象限.如，a+90°,將角a的終邊逆時針旋轉90°,

a-90。，則將a的終邊順時針旋轉90。，角180。+.的終邊為角a的終邊反向延長線，180。

-a,先將角a的終邊關于x軸對稱，再關于原點對稱，即可得到180。一a的終邊等等.

13.已知角a的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么a的取值范圍是—.

答案{a|n-180°+30°<a<n-180°+150°,ziEZ）

解析方法一（并集法）

在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角為30。<好150。和210。*<330。.

所以ae{a\k-360°+30°<a<^360°+150°,左GZ}U{a|k360°+210°<a<左360°+330°,kQZ}

={a|2k?180°+30°<a<2k180°+150°,左eZ}U{a［（2左+1）?180°+30°<a<（2%+1）-180°+150°,

AeZ}={砒及180。+30°<c??-180o+150o,