淺談圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想

淺談圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想楊海炎圓錐曲線中直線和圓錐曲線結(jié)合在一起的題目較多，下文主要闡述了用數(shù)形結(jié)合思想來解決兩類問題。一、直線的條數(shù)我們在學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，遇到了這樣的問題：例1.過點A〔0，2〕可以作4條直線與雙曲線有且只有一個公共點。這個結(jié)論可以引申：平面直角坐標(biāo)系中任一點A〔〕，過A與雙曲線有且只有一個交點的直線條數(shù)問題。圖示說明：〔圖1〕可以證明：〔1〕區(qū)域①、②中的點，過這些點與雙曲線有且只有一個交點的直線有4條?！?〕在雙曲線的兩支上的點，過這些點與雙曲線有且只有一個交點的直線有3條?！?〕在雙曲線的漸近線上的點〔除原點〕或在雙曲線內(nèi)部〔區(qū)域③〕的點，過這些點與雙曲線有且只有一個交點的直線有2條?！?〕過原點與雙曲線有且只有一個交點的直線有0條。同樣，我們也可以引申：平面直角坐標(biāo)系中任一點A〔〕，過A與拋物線有且只有一個交點的直線條數(shù)問題。圖示說明：〔圖2〕可以證明：〔1〕點在拋物線內(nèi)部〔區(qū)域①〕時，過這些點與拋物線有且只有一個交點的直線有1條?！才c對稱軸平行的直線〕〔2〕點在拋物線上時，過這些點與拋物線只有一個交點的直線有2條?！?條切線＋1條與對稱軸平行的直線〕?！?〕點在拋物線外〔區(qū)域②〕時，過這些點與拋物線只有一個交點的直線有3條。〔2條切線＋1條與對稱軸平行的直線〕。橢圓中，比擬常規(guī)，這里從略?？偨Y(jié)：要注意的是直線與圓錐曲線相交有且只有一個交點的情況未必相切，但相切必定只一個交點；掌握了這些區(qū)域的特點，關(guān)于這類直線條數(shù)的問題就迎刃而解了。二、直線的斜率關(guān)于直線與圓錐曲線相交、相切及直線條數(shù)的問題，我們還能引申到求直線的斜率問題，而這類問題又以雙曲線比擬典型，下面著重就雙曲線中直線的斜率進(jìn)行說明。例1.設(shè)離心率為e的雙曲線C：的右焦點為F，直線l過點F且斜率k，直線l與雙曲線C的左、右支都相交的充要條件是〔〕。A.B.C.D.分析：這是與左、右支都相交的問題。方法1：作為選擇題，可以采用特殊法。顯然k＝0時，D符合題意。但k＝0時代入A、B、C均錯。方法2：漸近線的斜率為，左右支要都相交，那么〔圖3〕。變題：直線l：y＝kx＋1與雙曲線的左支有且僅有1個公共點，那么有〔D〕A.B.或C.或D.或分析：其實直線經(jīng)過定點〔0，1〕，只要圍繞定點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)即可得出答案。關(guān)于這一類求斜率范圍問題，一般有這樣的問法：①求過點A〔a，b〕與雙曲線的左〔或右〕支相交〔1個或2個交點〕的k的取值范圍；②求過點A〔a，b〕與雙曲線的兩支相交的k的取值范圍；〔例作圖4分析〕以與左支相交為例：〔1〕在區(qū)域①中的點，過這些點與左支相交的k的取值范圍是〔2〕在區(qū)域②中的點，過這些點與左支相交且只有一個交點的k的取值范圍是且〔指直線與雙曲線聯(lián)立時所求△＝0的k的正根〕；〔3〕在區(qū)域③中的點，過這些點與左支相交且只有一個交點的k的取值范圍是且〔指直線與雙曲線聯(lián)立時所求△＝0的k的負(fù)根〕；〔4〕在區(qū)域④中的點，過這些點與左支相交且只有一個交點的k的取值范圍是且〔指直線與雙曲線聯(lián)立時所求△＝0的k的正、負(fù)根〕；〔5〕在區(qū)域⑤中的點，過這些點與左支相交且只有一個交點的k的取值范圍是；說明：右支相交〔1個或2個交點〕、兩支相交求對應(yīng)的k的取值范圍可以通過類似