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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.正方體,是棱的中點(diǎn),在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中,與平面平行的直線有幾條()A.36 B.21 C.12 D.62.已知點(diǎn)在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為()A. B.C. D.4.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.75.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長(zhǎng)分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6426.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.9.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.010.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.11.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長(zhǎng)為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.對(duì)于函數(shù),定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1.,點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為_(kāi)_________.15.若,則_________.16.變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo),請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸,問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.18.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△MON的面積.20.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.21.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),且,求的面積.22.(10分)移動(dòng)支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動(dòng)支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對(duì)100位市民做問(wèn)卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先找到與平面平行的平面,利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面,平面,平面,共有,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義,涉及到了簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題,是一中檔題.2、C【解析】
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng),進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實(shí)軸,所以,得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4、A【解析】
先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c6、C【解析】
先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、B【解析】
作出可行域,平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),其截距最大,此時(shí)最大得,當(dāng)時(shí),故選:B【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長(zhǎng),可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長(zhǎng)為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長(zhǎng)為,它是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,幾何體的體積,對(duì)于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到,屬于中檔題.12、C【解析】
根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.15、【解析】
因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,又,所以,所?.16、5【解析】
分析:畫出可行域,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),可得有最大值.詳解:畫出束條件表示的可行性,如圖,由可得,可得,目標(biāo)函數(shù)變形為,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),可得有最大值,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)能夠滿足.【解析】
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格;(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件,對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計(jì)算結(jié)果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為:(萬(wàn)噸),因?yàn)椋誓軌驖M足該地區(qū)的糧食需求.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測(cè)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.(2)根據(jù)題意,求導(dǎo),令,易知;,易知當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,由零點(diǎn)存在定理得,使得,,使得,有從而得證.【詳解】(1)依題意,,因?yàn)椋?,故,故函?shù)在上單調(diào)遞減,故.(2)依題意,,令,則;而,可知當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,故,使得,故,使得,即函數(shù)單調(diào)遞增,即單調(diào)遞增;故當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想,屬于難題.19、(1)直線l的普通方程為x+y-4=0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】
(1)將直線l參數(shù)方程中的消去,即可得直線l的普通方程,對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以,利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的距離,再求出的弦長(zhǎng),從而得出△MON的面積.【詳解】解:(1)由題意有,得,x+y=4,直線l的普通方程為x+y-4=0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,兩邊同時(shí)乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因?yàn)椋詘2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過(guò)圓C的圓心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面積S=|MN|×d=4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式,還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí).20、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.21、(1);(2).【解析】
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