2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點(diǎn)規(guī)范練41　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

考點(diǎn)規(guī)范練41直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式一、基礎(chǔ)鞏固1.若O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為直線x-y+2=0上的動點(diǎn),則|OP|的最小值為()A.22 B.2 C.3 D.2.已知點(diǎn)A(cos10°,sin10°),B(cos100°,sin100°),則|AB|=()A.1 B.2C.3 D.23.若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則直線l1與l2之間的距離為()A.423 B.42 C.823 4.點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線3x+4y-12=0的距離的取值范圍為()A.125,175 C.75,1755.若三條直線2x+y-4=0,x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為()A.1 B.2 C.-2或1 D.-1或26.直線l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒過定點(diǎn),點(diǎn)P(1,1)到該直線的距離的最大值為.

7.直線l1:y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對稱的直線l2的方程為.

8.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線的方程為.

9.已知正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)A,B在直線x+y-4=0上,另兩個頂點(diǎn)C,D分別在直線2x-y-1=0,4x+y-23=0上,則正方形ABCD的邊長為.

10.已知直線l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.(1)若l1⊥l2,求m的值;(2)若l1∥l2,且它們間的距離為5,求m,n的值.二、綜合應(yīng)用11.已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線,若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4)12.若三條直線x-2y+2=0,x=2,x+ky=0將平面劃分成6個部分,則k的取值情況是()A.只有唯一值 B.有兩個不同的值C.有三個不同的值 D.無窮多個值13.(多選)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,點(diǎn)P在曲線y=x+1x(x>0)上,則點(diǎn)P到直線3x-4y-2=0的距離可以為(A.45 B.1C.65 D.14.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn),則點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為.

15.將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合,點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n=.

16.已知直線l:x-2y+8=0和點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4).(1)在直線l上求一點(diǎn)P,使|PA|+|PB|的值最小;(2)在直線l上求一點(diǎn)P,使||PB|-|PA||的值最大.三、探究創(chuàng)新17.已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若一條直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為“切割型直線”.給出直線:①y=x+1;②y=2;③y=43x,其中是“切割型直線”的是(A.②③ B.① C.①② D.①③18.定義:點(diǎn)M(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的有向距離為ax0+by0+ca2+b2.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),直線m過點(diǎn)P(3,0),若圓x2+(y-18)2=81上存在一點(diǎn)C,使得

考點(diǎn)規(guī)范練41直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.B由已知得原點(diǎn)O到直線x-y+2=0的距離d=22=2,故2.B|AB|=(=co=2=23.C∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,1a-2=a∴兩直線方程分別為l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0∴直線l1與l2之間的距離為d=64.C由點(diǎn)到直線的距離公式,得點(diǎn)P到直線3x+4y-12=0的距離為d=|3cosθ+4sinθ-12|32+42=因?yàn)?sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈5.C因?yàn)橹本€2x+y-4=0,x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個交點(diǎn),所以這三條直線必有兩條直線平行.又直線2x+y-4=0與x-y+1=0不平行,所以當(dāng)直線2x+y-4=0與ax-y+2=0平行時,a=-2;當(dāng)直線x-y+1=0與ax-y+2=0平行時,a=1.所以實(shí)數(shù)a的值為1或-2.6.(-2,3)13依題意,直線l的方程可化為λ(y-3)+x+2=0,所以直線l恒過定點(diǎn)Q(-2,3),點(diǎn)P(1,1)到該直線的距離的最大值為|PQ|=37.x-2y=0由y=2x+3,y=x+1,解得直線l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-1),所以可設(shè)直線l2的方程為y+1=k(x+2在直線l上取一點(diǎn)(1,2),由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線l1,l2的距離相等,由點(diǎn)到直線的距離公式得|k-2+2k-1|k2+1=|2-2+3|228.6x-y-6=0設(shè)點(diǎn)M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點(diǎn)為M'(a,b),則反射光線所在直線過點(diǎn)M',所以b-4a-(-3)·1=-1,又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6),所以所求直線的方程為y=6-02-1(x-1),即69.22或142因?yàn)锳B∥CD,所以可設(shè)直線CD的方程為x+y+m=0,由2x-y-1=0,由4x+y-23=0,所以|CD|=1-m3-m+23又直線AB與CD之間的距離d=|m所以223|m+11|=|m+4|2,解得所以正方形ABCD的邊長為22或14210.解(1)若l1⊥l2,則m+2=0,解得m=-2.(2)直線l1的方程可化為2x+2y+4=0.若l1∥l2,則m2=22≠又兩直線之間的距離為5,則|n-4|22+22=5,解得11.C設(shè)A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為(x,y),則y-2x+4×2=-1,y+22=2×-4+x2,解得x=4,y=-2,所以BC所在直線的方程為y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得點(diǎn)B(3,由3x+y-10=0,x-3y+10=0,解得x12.C若三條直線x-2y+2=0,x=2,x+ky=0將平面劃分成6個部分,則其中有2條直線互相平行,第三條直線和這2條平行線都相交,此時k=-2或k=0,或者三條直線經(jīng)過同一個點(diǎn),即直線x-2y+2=0和x=2的交點(diǎn)(2,2)在直線x+ky=0上,此時k=-1.綜上,k=-2或k=0或k=-1.13.CD由已知得y'=1-1x2,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為1當(dāng)點(diǎn)P到直線3x-4y-2=0的距離最小時,曲線y=x+1x(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率應(yīng)等于直線3x-4y-2=0的斜率,即1-1x02=34,解得x0=2,所以y0=2+12=52,點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,52,所以點(diǎn)P故選CD.14.5由解得x將x=1,y=2代入mx+ny+5=0,得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離d=m2當(dāng)n=-2時取等號,此時m=-1.所以點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為515.345由題意,可知紙的折痕既是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的垂直平分線,也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)連線的垂直平分線,易求得紙的折痕所在直線的方程為y=2x-于是3+n2故m+n=3416.解(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A'(m,n),則n解得m所以A'(-2,8).因?yàn)镻為直線l上一點(diǎn),所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,A'三點(diǎn)共線時,等號成立,此時點(diǎn)P為直線A'B與直線l的交點(diǎn),則有x解得x所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3)時,|PA|+|PB|的值最小.(2)因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),P為直線l上一點(diǎn),直線AB與l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時,等號成立,此時點(diǎn)P為直線AB與l的交點(diǎn).由題意可知直線AB的方程為y=x-2.由y解得x所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)時,||PB|-|PA||的值最大.17.A