工程力學(xué) 第2版 課件 第4、5章 點的運動描述和剛體的基本運動、點的合成運動

工程力學(xué)理論力學(xué)篇——

運動學(xué)

運動學(xué)是研究物體運動的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就是從幾何學(xué)方面來研究物體的機械運動。

運動學(xué)的內(nèi)容包括：運動方程、軌跡、速度和加速度。

學(xué)習(xí)運動學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)；其次運動學(xué)本身也有獨立的應(yīng)用。由于物體運動的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運動才有意義。

時間概念：瞬時和時間間隔。

運動學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點和剛體。運動實例1——刨床運動實例2——飛機機動飛行運動實例3——齒輪傳動運動實例4——齒輪齒條傳動運動實例5——四連桿機構(gòu)第四章點的運動描述和剛體基本運動

§4.1

點的運動描述

點運動時，在空間所占的位置隨時間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點的運動軌跡。點的運動可按軌跡形狀分為直線運動和曲線運動。當(dāng)軌跡為圓時稱為圓周運動。表示點的位置隨時間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點的運動方程。本節(jié)研究的內(nèi)容為點的運動方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。1.運動方程

選取參考系上某確定點O為坐標(biāo)原點，自點O向動點M作矢量r，稱為點M相對原點O的位置矢量，簡稱矢徑。當(dāng)動點M運動時，矢徑r隨時間而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即一、矢徑法MrO2.速度動點的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

動點的速度矢沿著矢徑矢端曲線的切線，即沿動點運動軌跡的切線，并與此點運動的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr3.加速度

點的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點的加速度等于它的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

有時為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，加“..”表示該量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

如在空間任意取一點O，把動點M在連續(xù)不同瞬時的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到點O，連接各矢量的端點M1，M2，M3，…，就構(gòu)成了矢量v端點的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動點的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點M的切線相平行。速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定二、直角坐標(biāo)法這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點的運動方程。

如以矢徑r的起點為直角坐標(biāo)系的原點，則矢徑r可表示為：MrOkijyyxxzz

速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。速度若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為

加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為加速度三、自然法1.弧坐標(biāo)這就是自然坐標(biāo)形式的點的運動方程。

設(shè)動點M的軌跡為如圖所示的曲線，則動點M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點O為參考點，并設(shè)點O的某一側(cè)為正向，動點M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動點M在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動點M運動時，s隨著時間變化，它是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即MOs(-)(+)2.自然軸系

即以點M為原點，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點M的自然坐標(biāo)系，這三個軸稱為自然軸系。且三個單位矢量滿足右手法則，即Mnbt

曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在M點的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點的曲率半徑。3.曲率MM'△s△jtt'兩個相關(guān)的計算結(jié)果(當(dāng)Δt→0)OMM't"t't△j△s△t4.點的速度用矢量表示為：

在曲線運動中，點的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對于時間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運動的一方。rr'△rMM'△stv5.點的切向加速度和法向加速度由于所以上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時間的變化率；分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時間的變化率。全加速度為at和an的矢量和大?。悍较颍航猓喝點的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動中心O為坐標(biāo)圓點。M點的坐標(biāo)為：例4-1下圖為偏心驅(qū)動油泵中的曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)。設(shè)曲柄OA長為r，自水平位置開始以勻角速度w轉(zhuǎn)動，即j=wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點A通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲柄帶動導(dǎo)桿B-B做上下直線運動。試求導(dǎo)桿的運動方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx

將j=wt帶入上式，得M點的運動方程：將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：例4-2一人高h(yuǎn)2，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1，求人影的頂端M沿地面移動的速度。解:取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得:上式對t求一階導(dǎo)數(shù)，得M點的速度為:h1h2xmx2Mx

例4-3桿AB繞A點轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運動，已知φ＝wt(w為常數(shù))。求小環(huán)M的運動方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則即為小環(huán)M的運動方程。故M點的速度大小為其方向余弦為故M點的加速度大小為且有§4.2

剛體的平移

如果在物體內(nèi)任取一直線段，在運動過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運動稱為平行移動，簡稱平移。當(dāng)剛體平行移動時，其上各點的軌跡形狀相同；在每一瞬時，各點的速度相同，加速度也相同。

因此，研究剛體的平移，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點的運動。剛體平移的速度和加速度yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O平移剛體各點的速度相同平移剛體各點的加速度相同§4.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動

在剛體運動的過程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動。該固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸。兩平面間的夾角用j表示，稱為剛體的轉(zhuǎn)角，用弧度(rad)表示。轉(zhuǎn)角j是一個代數(shù)量，它確定了剛體的位置。

符號規(guī)定：自z軸的正端往負(fù)端看，從固定面起，逆時針轉(zhuǎn)向為正；順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。一、轉(zhuǎn)角

當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角j是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運動方程。

轉(zhuǎn)角j對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角速度，用w表示:

角速度表征剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，其單位用rad/s(弧度/秒)表示。

角速度是代數(shù)量，從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時針轉(zhuǎn)動時角速度取正值，反之取負(fù)值。二、運動方程三、角速度

角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角加速度，用字母a表示，即

角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。

如果w與a同號，則轉(zhuǎn)動是加速的；如果w與a異號，則轉(zhuǎn)動是減速的。四、角加速度

工程上常用轉(zhuǎn)速n來表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)，w與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為勻速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動§4.4

定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)

各點的速度和加速度當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)任意一點都做圓周運動:圓心在軸線上;圓周所在的平面與軸線垂直;圓周的半徑R等于該點到軸線的垂直距離。動點速度的大小為

設(shè)剛體由定平面A繞定軸O轉(zhuǎn)動任一角度j，到達(dá)B位置，其上任一點由O'運動到M。以固定點O'為弧坐標(biāo)s的原點，按j角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是一、速度轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點速度的大小等于剛體角速度與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動的一方。

點M的加速度有切向加速度和法向加速度。切向加速度為：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點到軸線垂直距離的乘積，它的方向由角加速度的符號決定，當(dāng)a是正值時，它沿圓周的切線，指向角j的正向；否則相反。二、切向加速度法向加速度為：

轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。三、法向加速度1）如果w與a同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動，這時點的切向加速度at與速度v的指向相同；2）如果w與a異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動，at與v的指向相反。速度和加速度點的速度：(1)在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點的速度和加速度的大小，分別與這些點到軸線的垂直距離成正比。

(2)在每一瞬時，剛體內(nèi)所有各點的加速度a與半徑間的夾角q都有相同的值。點的全加速度：

例4-4齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、r2、w1、α1，求w2、α2。解：因嚙合點無相對滑動，所以由于于是可得即w1α1r1O1O2r2w2α2v1v2aτ1aτ2

解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為求當(dāng)t=1s時，則為因此輪緣上任一點M的速度和加速度為方向如圖所示。例4-5一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動方程為,

單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點M的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)t=1s時，物體A的速度和加速度。M點的全加速度及其偏角為現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因為因此上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得§4.5以矢量表示的角速度和角加速度·以矢積表示點的速度和加速度

角速度矢量從轉(zhuǎn)軸上任一點畫出，其長度按比例尺由決定，指向由右手法則確定。以表示z軸的單位矢量，則角速度矢量對上式求導(dǎo)，則角加速度矢量角速度矢量和角加速度矢量均為滑動矢量。當(dāng)二者方向相同時，剛體越轉(zhuǎn)越快；當(dāng)二者方向相反時，剛體越轉(zhuǎn)越慢。角速度矢量用矢積表示點的速度

在旋轉(zhuǎn)軸上任選一點O為原點，動點的矢徑用r表示，則點M的速度可以用角速度矢與它的矢徑的矢量積表示，即

轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度等于剛體的角速度矢量與該點矢徑的矢量積。用矢積表示點的加速度將速度矢量對時間求一階導(dǎo)數(shù)，有分析兩項的大小和方向，有

轉(zhuǎn)動剛體上任一點的切向加速度等于剛體的角加速度矢量與該點矢徑的矢量積；任一點的法向加速度等于剛體的角速度矢量與該點速度的矢量積。

轉(zhuǎn)動剛體上任一點的切向加速度等于剛體的角加速度矢量與該點矢徑的矢量積；任一點的法向加速度等于剛體的角速度矢量與該點速度的矢量積。工程力學(xué)第五章點的合成運動§5.1絕對運動、相對運動和牽連運動xy'x'yo'o

相對于某一參考體的運動可由相對于其它參考體的幾個運動組合而成，這種運動稱為合成運動。

習(xí)慣上把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考系，以O(shè)xy坐標(biāo)系表示；固定在其它相對于地球運動的參考體上的坐標(biāo)系稱為動參考系，以O(shè)'x'y'坐標(biāo)系表示。

用點的合成運動理論分析點的運動時，必須選定兩個參考系，區(qū)分三種運動：(1)動點相對于定參考系的運動，稱為絕對運動(absolute)；(2)動點相對于動參考系的運動，稱為相對運動(relative)；(3)動參考系相對于定參考系的運動，稱為牽連運動(embroil)。vavevr定參考系動參考系動點牽連運動絕對運動相對運動一點、二系、三運動xy'x'yo'ovavevr(1)動點相對于定參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的絕對速度va、絕對加速度aa和絕對軌跡。

(2)動點相對于動參考系的速度、加速度和軌跡，稱為動點的相對速度vr、相對加速度ar和相對軌跡。

由于動參考系的運動是剛體的運動而不是一個點的運動，所以除非動參考系做平動，否則其上各點的運動都不完全相同。

由于動參考系與動點直接相關(guān)的是動參考系上與動點相重合的那一點(牽連點)，因此定義：

在動參考系上與動點相重合的那一點(牽連點)的速度和加速度稱為動點的牽連速度(用ve表示)和牽連加速度(用ae表示)。解：靜系取在地面上，動系取在桿上，則牽連點的概念例5-1如圖桿長l，繞O軸以角速度w轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為r，繞O′軸以角速度w′轉(zhuǎn)動。求圓盤邊緣M1和M2點的牽連速度?！?.2點的速度合成定理點的速度合成定理：動點在某一瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。處理具體問題時應(yīng)注意：(1)選取動點、動參考系和定參考系。(2)應(yīng)用速度合成定理時,可利用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系解出未知數(shù)。也可以采用投影法：即等式左右兩邊同時對某一軸進(jìn)行投影，投影的結(jié)果相等。

動點和動系應(yīng)分別選擇在兩個不同的剛體上。

動點和動系的選擇應(yīng)使相對運動的軌跡簡單直觀。動點動系動點動系動點動系點線接觸點線接觸點圓接觸

點線、點圓接觸問題中，常取接觸點為動點，動系固連在具有長的直線形或圓形軌道的物體上(即直線或圓所在的物體上)。線圓接觸線圓接觸動點動系動點動系例5-2如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度w

繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時，桿AB的速度。ABeCOqwvevavrq解：因為桿AB做平動，選取桿AB的端點A作為研究的動點，動參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動。點A的絕對運動是直線運動，相對運動是以凸輪中心C為圓心的圓周運動，牽連運動則是凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動。例5-3刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為ω，通過滑塊A帶動搖桿O1B擺動。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水平時O1B的角速度ω1。解：在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動點，把動參考系固定在搖桿O1B上。點A的絕對運動是以點O為圓心的圓周運動，相對運動是沿O1B方向的直線運動，而牽連運動則是搖桿繞O1軸的擺動。jAO1OwBjvevavr例5-4水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點處的小環(huán)M的速度。解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：uABOMrjvrvave例5-5求圖示機構(gòu)中OC桿端點C的速度。其中v與θ已知，且設(shè)OA=a,AC＝b。解：取套筒A為動點，動系與OC固連，分析A點速度，有vAqBCOvavevrvCwOCO'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae§5.3牽連運動是平動時點的加速度合成定理點的速度合成定理兩邊對時間求導(dǎo)右邊第一項：右邊第二項：牽連運動是平動時點的加速度合成定理O'j'k'i'y'z'x'xyzOaaarMae

曲柄OA繞固定軸O轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動，如圖所示。鉸鏈在曲柄端A的滑塊可在丁字形桿的鉛直槽DE內(nèi)滑動。設(shè)曲柄以角速度ω做勻角速轉(zhuǎn)動，OA=r，試求桿BC的加速度。例5-6解：1.選擇動點，動系與定系：動系——Bx′y′，固連于丁字形桿。2.運動分析絕對運動——以O(shè)為圓心的圓周運動。相對運動——沿槽CD的直線運動。牽連運動——丁字形桿BC

沿水平方向平動。動點——滑塊A定系——固連于機座。應(yīng)用加速度合成定理3.加速度分析絕對加速度aa：aa=OAω

2，沿著OA，指向O。相對加速度ar：大小未知，方向沿鉛直槽DE。牽連加速度ae：大小未知，為所要求的量，沿水平方向得桿BC的加速度

凸輪在水平面上向右做減速運動，如圖所示。設(shè)凸輪半徑為R，圖示瞬時的速度和加速度分別為v和a。求桿AB在圖示位置時的加速度。例5-7

解：1.選擇動點，動系與定系動系——Ox′y′，固連于凸輪。2.運動分析絕對運動——直線運動牽連運動——水平平動動點——AB的端點A。相對運動——沿凸輪輪廓曲線運動定系——固連于機座。3.速度分析絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓

周的切線

。牽連速度ve：ve=

v，方向水平向右。根據(jù)速度合成定理可求得：4.加速度分析絕對加速度aa：大小未知，為所要求的量，方向沿直線AB。相對加速度切向分量art：

大小未知，垂直于OA，假設(shè)指向右下。牽連加速度ae：ae=

a

，沿水平方向。相對加速度法向分量arn：arn=vr

2/R，沿著OA，指向O。根據(jù)加速度合成定理上式投影到法線n上，得解得桿AB在圖示位置時的加速度例5-8圖示平面機構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度ω0轉(zhuǎn)動。套筒A可沿BC桿滑動。已知BC=DE，且BD=CE=l。求：圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。解：1.選擇動點，動系與定系動系——Cx′y′，固連于桿BC。2.運動分析絕對運動——以O(shè)為圓心的圓周運動。牽連運動——平動。動點——滑塊A。相對運動——沿桿BC直線運動。定系——固連于機座。

3.速度分析絕對速度va：va=ω0r，垂直于OA向下。相對速度vr：大小未知，方向沿桿BC向左。

牽連速度ve：ve=

vB，垂直于BD向右下?？傻靡蚨鴹UBD的角速度大小為應(yīng)用速度合成定理4.加速度分析。絕對加速度aa：aa=ω0r

，沿OA，指向O。牽連加速度切向分量aet：

與aBt相同，大

小未知，垂直于DB，假設(shè)向下。相對加速度ar：大小未知，沿BC桿，指向未知，假設(shè)向右。牽連加速度法向分量aen：aen

=aBn=ω2l=ω02r2/l，方向沿直線DB，指向D。上式兩端向y軸投影得解得根據(jù)加速度合成定理所以桿BD的角加速度例5-9平底頂桿凸輪機構(gòu)如圖所示，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下移動，偏心圓盤繞軸O轉(zhuǎn)動，軸O位于頂桿軸線上。工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面。該凸輪半徑為R，偏心距OC=e，凸輪繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為ω，角加速度為α。求OC與水平線成夾角φ時頂桿的速度和加速度。BACOjyxwMαM解法1用運動方程求解。因推桿做平動，其上各點的速度和加速度都相同，現(xiàn)取推桿上與凸輪的接觸點M分析：BACOjyxwMαMy解法2取圓盤的中心C為研究的動點，動參考系與平底推桿AB固連，分析動點的速度和加速度如圖所示。BACOjyxwMMαj可求得：向y軸正向投影：BACOjyxMj線圓接觸線圓接觸動點動系動點動系§5.4牽連運動是轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理rO'O'j'k'i'y'z'x'xyzO

設(shè)動參考系O'x'y'z'以角速度we繞定軸轉(zhuǎn)動，不失一般性，取定坐標(biāo)系的z軸為其轉(zhuǎn)軸。設(shè)k'的端點A的矢徑為rA，則A點的速度既等于rA對時間的一階導(dǎo)數(shù)，又可用矢積來表示，即ArAwe同樣可得i′、j′的導(dǎo)數(shù)：rMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzO

點的加速度合成定理：動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。令 ,稱為科氏加速度，于是有qwevraC科氏加速度等于動系角速度矢與點的相對速度矢的矢積的兩倍。aC大小為工程中常見的平面機構(gòu)中，we垂直于vr，此時aC=2wevr，且v