浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page23高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共6頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．全部答案必需寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩個(gè)集合求其并集即可.【詳解】由，得，由，得，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)化成形式，再求模．【詳解】∵，∴，∴.故選：A.3.已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆依據(jù)投影向量的定義即可得結(jié)果.【詳解】在方向上的投影向量為，故選：D.4.在空間中有3條不同的直線，滿意，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)命題的充分性和必要性推斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩條直線可以共面也可以異面，所以可以平行，也可以與異面或者相交，故，即不是充分條件；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故，即是必要條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B5.已知圓，圓，若與有公共點(diǎn)，則最小值為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】首先得到兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，依題意可得，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】圓則圓心，半徑為，圓則圓心，半徑，又，因?yàn)榕c有公共點(diǎn)，則，又，所以，即的最小值為.

故選：B6.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩角和差的正弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，為銳角，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿意題意；所以.故選：C7.已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線右支上，點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的離心率得到，左焦點(diǎn)，依據(jù)雙曲線的定義得到，然后依據(jù)幾何學(xué)問(wèn)得到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，最終求最大值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，解得，則左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義得，因?yàn)?，即?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，所以.故選：B.8.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在區(qū)間上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后結(jié)合圖象分析.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題意得，的圖象如下：由題意得時(shí)，，時(shí)，，若與只有有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立得，，解得，由圖可知與無(wú)交點(diǎn)，所以和是兩種臨界狀況，聯(lián)立，得，，解得或，聯(lián)立，得，，解得或，所以若函數(shù)在區(qū)間上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則，，，所以可以取.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.衢州市某七天每天的最高氣溫分別是（單位），則（）A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為36B.該組數(shù)據(jù)的極差為4C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36D.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為36【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)、極差、中位數(shù)和百分位數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】，故A錯(cuò)；，所以極差為4，故B正確；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為34,34,35,36,36,37,38，總共有7個(gè)數(shù)，所以第4個(gè)數(shù)，即36為中位數(shù)，故C正確；，所以數(shù)據(jù)34,34,35,36,36,37,38中第6個(gè)數(shù)，即37為該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，故D錯(cuò).故選：BC.10.已知正數(shù)滿意，下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)基本不等式和二次函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿意，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；由題意得，則，因?yàn)?，所以，所以，即，故C錯(cuò)；由A選項(xiàng)得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞減 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式并探討函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性推斷AC；求出函數(shù)的值域推斷B；探討函數(shù)的對(duì)稱性推斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，有，即函數(shù)是偶函數(shù)，又，則是函數(shù)的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，明顯函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的最小正周期為，A正確；明顯函數(shù)在上遞增，即有函數(shù)在上遞增，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在的取值集合為，從而函數(shù)在的取值集合為，即在上的值域?yàn)椋虼撕瘮?shù)在R上的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；由，得關(guān)于直線對(duì)稱，D正確.故選：AD12.勒洛四面體是一個(gè)特別奇異的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.存在正方體使得勒洛四面體能在該正方體中自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并始終保持與正方體六個(gè)面都接觸B.平面截勒洛四面體所得截面的周長(zhǎng)為C.勒洛四面體外接球半徑為D.勒洛四面體內(nèi)切球半徑為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，依據(jù)勒洛四面體的定義推斷；B選項(xiàng)，依據(jù)勒洛四面體的定義得到截面形態(tài)，然后求周長(zhǎng)；C選項(xiàng)，依據(jù)勒洛四面體的定義得到勒洛四面體的外接球即正四面體的外接球，然后計(jì)算；D選項(xiàng)，依據(jù)題意得勒洛四面體的內(nèi)切球與勒洛四面體的弧面相切，然后計(jì)算.【詳解】如圖，為正四面體，為底面的中心，是正四面體的中心，外接球半徑為，是高，，，由得，解得，依據(jù)勒洛四面體可以在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸可得存在正方體使得勒洛四面體能在該正方體中自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并始終保持與正方體六個(gè)面都接觸，故A正確；平面截勒洛四面體的截面如圖，則截面周長(zhǎng)為三個(gè)半徑為1，圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)，即，故B正確；由勒洛四面體的外接球即正四面體的外接球，所以勒洛四面體的外接球的半徑為，故C錯(cuò)；勒洛四面體的內(nèi)切球與勒洛四面體的弧面相切，如圖其中點(diǎn)為該球與勒洛四面體的切點(diǎn)，點(diǎn)為該球的球心，易知該球的球心為正四面體的中心，半徑為，連接，易知三點(diǎn)共線，且，，所以，故D正確.故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.雙曲線的漸近線方程是________.【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)雙曲線方程，令方程的右邊等于0求出漸近線的方程．【詳解】已知雙曲線令：=0即得到漸近線方程為：y=±2x故答案為y=±2x【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.已知側(cè)棱長(zhǎng)為5，高為4的正四棱錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)高為2的正四棱錐，所得的棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．【答案】21【解析】【分析】依據(jù)相像求出臺(tái)體的上底面邊長(zhǎng)與高，依據(jù)臺(tái)體體積計(jì)算公式即可求得答案.【詳解】如圖正四棱錐，其中底面于，側(cè)棱，高，所以，所以下底面邊長(zhǎng)，因?yàn)槠矫嫫叫杏诘酌?，且?所以在與相像，且，所以，則正方形面積，正方形面積，所得的棱臺(tái)體積為.故答案為：2115.已知是邊長(zhǎng)為3的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由圖，分別作出過(guò)，外心的所在平面的垂線，則其交點(diǎn)為外接球球心，后結(jié)合二面角的大小為可得外接球半徑，即可得答案.【詳解】如圖，取AB中點(diǎn)為E，連接DE，CE.設(shè)外心為，則在線段EC上.在DE上任取一點(diǎn)F，過(guò)F點(diǎn)作與所在平面垂直的垂線，與過(guò)點(diǎn)且與所在平面垂直的垂線交于點(diǎn)G.因二面角的大小為，則，又，則.留意到E為外心，過(guò)E作與所在平面垂直的垂線，交于O，則O為外接球球心，且.因是邊長(zhǎng)為3的正三角形，外心為，則，又，則.故外接球半徑為，則外接球表面積為.故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_____．【答案】或##或【解析】【分析】依據(jù)題中所給線段比例關(guān)系，畫(huà)出圖像，分與兩類探討，分別求出對(duì)應(yīng)狀況的橢圓離心率即可.【詳解】由，依據(jù)橢圓定義，又因?yàn)椋?，由即，則，即，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，如上圖，即，得，所以，帶入橢圓方程得：橢圓離心率且，化簡(jiǎn)得：，解得：或舍去；當(dāng)時(shí)，如下圖，則，得，所以，帶入橢圓方程得：由橢圓離心率且，化簡(jiǎn)得：解得：或舍去；綜上：橢圓的離心率為或.故答案為：或四、解答題：本題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若該直線l與圓C相交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程．【答案】（1）或.（2）或【解析】【分析】（1）分類探討直線的斜率存在與不存在，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；（2）由題意知直線的斜率確定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，圓的圓心為，半徑1，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線的方程為,此時(shí)直線與圓相離，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為.即或.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線l斜率確定存在，設(shè)斜率為k，設(shè)直線l的方程為，記圓心到直線l的距離為d，則，所以，解得．所以，解得，所以直線l的方程為．即或18.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，．（1）證明：平面；（2）若是棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）首先證明平面，從而得到，再結(jié)合勾股定理和線面垂直的判定即可證明平面；（2）利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法并結(jié)合棱錐體積公式即可.【小問(wèn)1詳解】在菱形中，，又平面平面平面，平面，所以．在中，，因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜芍海制矫嫫矫嫫矫妫拘?wèn)2詳解】因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以．19.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，滿意．（1）求；（2）若是的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角即可求解.（2）利用正弦定理結(jié)合已知可得，再由余弦定理及三角形面積公式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理得，即，而，所以．【小問(wèn)2詳解】在中，，在中，，而，則，即，由余弦定理得，而，解得，．20.據(jù)調(diào)查，某市政府為了激勵(lì)居民節(jié)約用水，削減水資源的奢侈，支配在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：噸），月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布狀況，通過(guò)抽樣，獲得了戶居民某年的月均用水量（單位：噸），其中月均用水量在內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求和值；（2）若該市政府希望使的居民月用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)噸，試估計(jì)的值；（3）在（2）的條件下，若實(shí)施階梯水價(jià)，月用水量不超過(guò)噸時(shí)，按3元噸計(jì)算，超出噸的部分，按5元噸計(jì)算．現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求全部居民的月用水費(fèi)均不超過(guò)70元，則該市居民月用水量最多為多少噸？【答案】（1），（2）16.6噸（3）20.64噸【解析】【分析】（1）頻率分布直方圖總面積為1，由此即可求解.（2）先推斷所求值所在的區(qū)間，再按比例即可求解.（3）按題意列不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，用水量在的頻率為，（戶）【小問(wèn)2詳解】，，（噸）【小問(wèn)3詳解】設(shè)該市居民月用水量最多為噸，因?yàn)椋?，則，解得，答：該市居民月用水量最多為20.64噸．21.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，平面平面．（1）若的中點(diǎn)為，求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行學(xué)問(wèn)可求解.（2）依據(jù)題意做幫助線找到二面角，再結(jié)合余弦定理，從而求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)是中點(diǎn)，連接，如下圖所示：在中，為為中位線，所以：，又因?yàn)椋海裕?，所以：四邊形為平行四邊形，得：，又因?yàn)椋浩矫嫫矫妫裕浩矫?【小問(wèn)2詳解】如圖，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，連接.過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接.因?yàn)椋浩矫嫫矫?，平面平面，所以：平面，因?yàn)椋?，且平面，所以：平面，所以：為所求二面角的平面角，在中，，得：，所以：，所以?22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿意．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知直線，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（與不重合）在上，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)直線的斜率為，且與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若點(diǎn)和點(diǎn)三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的定義即可求解橢圓的方程；（2）先求出直線，再聯(lián)立與橢圓，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線即可求出的值；（3）先設(shè)出直線通過(guò)聯(lián)