高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(附答案)

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.空間中點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來(lái)表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．2.空間中直線的向量表示式直線l的方向向量為a，且過(guò)點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．3.空間中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們稱為空間平面ABC的向量表示式．考點(diǎn)二空間中平面的法向量平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過(guò)點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考點(diǎn)三：空間中直線、平面的平行1.線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2.線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.考點(diǎn)四：空間中直線、平面的垂直1.線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【題型歸納】題型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））已知直線過(guò)點(diǎn)，平行于向量，平面經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2021·山西·太原市第六十六中學(xué)校高二期中）已知平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，是平面的法向量，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．平面的法向量為（

）A． B． C． D．題型二：空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示4．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是平行四邊形所在的平面外一點(diǎn)，如果，，.對(duì)于結(jié)論：①；②；③是平面的法向量；④.其中正確的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．①②5．（2022·全國(guó)·高二）已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－1,2)，它的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是（）A．(1，－1,1) B．(1,3，)C．(1，－3，) D．(－1,3，－)6．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，且有，則，，是,,,四點(diǎn)共面的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件題型三：空間中直線、平面的平行7．（2022·福建·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在長(zhǎng)方體體中，分別是棱的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（

）A．平面B．平面C．D．8．（2022·山東淄博·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面的法向量為，直線l的方向向量為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．平面與所有坐標(biāo)軸相交 D．原點(diǎn)一定不在平面內(nèi)9．（2022·安徽宣城·高二期末）如圖已知正方體，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面 B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)為直角三角形時(shí)， D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，題型四：空間中直線、平面的垂直10．（2021·湖北黃岡·高二期中）已知、分別為直線、的方向向量（、不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．； B．；C． D．11．（2021·安徽·高二期中）給出以下命題，其中正確的是（

）A．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．平面?的法向量分別為，，則D．平面經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若空間兩直線與的方向向量分別為和，則兩直線與垂直的充要條件為（

）A．，，（）B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．D．題型五：空間向量研究直線、平面的位置綜合問(wèn)題13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若P、Q均在平面上，滿足，．(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；(2)求的最小值．14．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn).(1)若，證明：直線平面PAB：(2)線段PD上是否存在點(diǎn)M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說(shuō)明理由15．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二期中）如圖，在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B為直角項(xiàng)點(diǎn)，邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一點(diǎn)E使得，那么（

）A．1 B．2 C． D．17．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二期中）已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A． B． C． D．或18．（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面19．（2022·全國(guó)·高二）有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個(gè)方向向量為；②直線的一個(gè)方向向量為；③平面的一個(gè)法向量為；④平面的一個(gè)法向量為．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·全國(guó)·高二）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于向量，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于向量，求與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．22．（2022·全國(guó)·高二）如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題23．（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B． C． D．或24．（2022·江蘇蘇州·高二期末）已知平面的一個(gè)法向量為=（2，－2，4），=（－1，1，－2），則AB所在直線l與平面的位置關(guān)系為（）A．l⊥ B．C．l與相交但不垂直 D．l∥25．（2021·全國(guó)·高二如圖，在三棱錐中，平面，，，．以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB和平面PBC的法向量分別為和，則下面選項(xiàng)中正確的是（

）．A．點(diǎn)P的坐標(biāo)為 B．C．可能為 D．26．（2021·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二）設(shè)，是不重合的兩個(gè)平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個(gè)充分條件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且27．（2021·浙江金華第一中學(xué)高二期中）平面四邊形和四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B． C． D．28．（2021·湖北·武漢市第十四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，是兩條直線，，分別為直線a，b的方向向量，α，β是兩個(gè)平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件29．（2021·河南·高二階段練習(xí)（理））給出下列命題：①直線的方向向量為，直線的方向向量為，則②直線的方向向量為，平面的法向量為，則.③平面的法向量分別為，則.④平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，則u＋t＝1.其中真命題的序號(hào)是（

）A．②③ B．①④ C．③④ D．①②30．（2021·安徽省五河第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在平面內(nèi)，，1，是平面的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是（

）A．，， B． C． D．31．（2021·北京·匯文中學(xué)高二期中）若表示不同的平面，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定32．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高二期中）已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．與相交但不垂直二、多選題(共0分)33．（2022·浙江省長(zhǎng)興中學(xué)高二期末）直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．對(duì)于棱上任意點(diǎn)，有B．棱上存在點(diǎn)，使得面C．對(duì)于棱上任意點(diǎn)，有面D．棱上存在點(diǎn)，使得34．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．頂點(diǎn)到平面的最大距離為 B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值 D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為鈍角35．（2022·江蘇·連云港高中高二期中）給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B．若直線的方向向量，平面的法向量，則C．若平面，的法向量分別為，，則D．若存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面36．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在平行六面體中，，，點(diǎn)M，N分別是棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．向量共面C．平面D．若AB=1，則該平行六面體的高為37．（2022·江蘇常州·高二期中）下列命題是真命題的有（

）A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)是平面α的法向量，則38．（2022·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直39．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的最小值為C．異面直線與的距離是定值D．40．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直三、填空題41．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知平面，寫出平面的一個(gè)法向量______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直線l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．43．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量，則下列所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①；②；③；④.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．45．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）向量分別代表空間直角坐標(biāo)系與軸同方向的單位向量，若，，若與垂直，則實(shí)數(shù)______．46．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.47．（2022·上海·格致中學(xué)高二期末）已知向量是直線l的一個(gè)方向向量，向量是平面的一個(gè)法向量，若直線平面，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．48．（2021·河北省鹽山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知P是所在的平面外一點(diǎn)，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是平面的一個(gè)法向量；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是__________．四、解答題49．（2022·全國(guó)·高二）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求證：；(2)若、E、F、四點(diǎn)共面，求證：．50．（2022·全國(guó)·高二）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱底面ABCD，E?F?G分別為AB?SC?SD的中點(diǎn).若，.(1)求；(2)求；(3)判斷四邊形AEFG的形狀.51．（2022·湖南·高二）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．52．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．(1)分別指出平面PAD、平面PAB的一個(gè)法向量；(2)若，試在圖中作出平面PDC的一個(gè)法向量；(3)是否有可能是直角三角形？(4)根據(jù)法向量判斷平面PBC與平面PDC是否有可能垂直．53．（2022·浙江紹興·高二期末）正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若E為棱上的中點(diǎn)，求直線BE到平面的距離.【答案詳解】1．A【解析】【分析】設(shè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由題意可得,設(shè)經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)平面的法向量為.故選：A2．B【解析】【分析】由是平面的法向量，可得，即可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以，即，解?故選：B.3．C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.【詳解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量為，則，得，，結(jié)合選項(xiàng)，可得，故選：C.4．B【解析】【分析】求出判斷①不正確；根據(jù)判斷②正確；由，判斷③正確；假設(shè)存在使得，由無(wú)解，判斷④不正確.【詳解】由，，，，2，，，2，，知：在①中，，故①不正確；在②中，，，，故②正確；在③中，，，又因?yàn)?，，知是平面的法向量，故③正確；在④中，，3，，假設(shè)存在使得，則，無(wú)解，故④不正確；綜上可得：②③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了平面的法向量以及空間向量的模，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．B【解析】【分析】要判斷點(diǎn)P是否在平面內(nèi)，只需判斷向量與平面的法向量是否垂直，即判斷是否為0即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，則，故排除A；對(duì)于選項(xiàng)B，，則對(duì)于選項(xiàng)C，，則，故排除C；對(duì)于選項(xiàng)D，，則，故排除D；故選:B6．B【解析】【分析】利用空間中共面定理：空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，且,得,,,四點(diǎn)共面等價(jià)于，然后分充分性和必要性進(jìn)行討論即可.【詳解】解：空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，且則,,,四點(diǎn)共面等價(jià)于若，，，則，所以,,,四點(diǎn)共面若,,,四點(diǎn)共面，則，不能得到，，所以，，是,,,四點(diǎn)共面的充分不必要條件故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中四點(diǎn)共面定理，充分必要性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】【分析】對(duì)A：由平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)B：若平面，則，這與和不垂直相矛盾，從而即可判斷；對(duì)C、D：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由與不是共線向量，且，從而即可判斷.【詳解】解：對(duì)A：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)有平面平面，又平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，且，所以與不垂直，所以若平面，則，這與和不垂直相矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，因?yàn)榕c不是共線向量，且，所以與不平行，且與不垂直，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.故選：A.8．C【解析】【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系的向量方法依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，故或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，故或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于法向量的橫、縱、豎坐標(biāo)均不取零，故平面不與坐標(biāo)軸確定的平面平行，所以平面與所有坐標(biāo)軸相交，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由法向量不能確定平面的具體位置，故不能確定原點(diǎn)與平面關(guān)系，故錯(cuò)誤.故選：C9．D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)椋?，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對(duì)于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確．故選：．10．B【解析】【分析】按照方向向量和法向量在線面關(guān)系中的應(yīng)用直接判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椤⒉恢睾?，所以，A正確；B選項(xiàng)：或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，不重合，所以，D正確.故選：B.11．D【解析】【分析】判斷直線的方向向量和平面的法向量間的關(guān)系，判斷線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋耘c不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，不成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榕c不平行，所以不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，由，，解得，，所以，D正確.故選：D.12．C【解析】【分析】由空間直線垂直時(shí)方向向量，即可確定充要條件.【詳解】由空間直線垂直的判定知：.當(dāng)時(shí)，即，兩直線與垂直.而A、B、D說(shuō)明與平行.故選：C13．(1)PQ與BD的位置關(guān)系是平行(2)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷PQ與BD的位置關(guān)系；（2）用含參數(shù)的表達(dá)式求出，進(jìn)而求出最小值.(1)以D為原點(diǎn)，以射線DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．因?yàn)镻、Q均在平面上，所以設(shè)，，則，，．因?yàn)?，，所以解?所以，，即，，所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行．(2)由（1）可知：，，所以．當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為．14．(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明；（2）利用向量法計(jì)算，判斷出點(diǎn)M不存在.(1)如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則若，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以又因?yàn)樗云矫鍼AB平面PAB的其中一個(gè)法向量為所以，即又因?yàn)槠矫嫠云矫?2)不存在符合題意的點(diǎn)M，理由如下：設(shè)平面PCD的法向量則不妨令，則設(shè)，即則解得或，不滿足，故不存在符合題意的點(diǎn)M.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【解析】【分析】（1）連接，，取的中點(diǎn)為M，連接，ME，根據(jù)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，分別得到，，從而有，再由平面的基本性質(zhì)證明；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)，分別求得平面BEF的一個(gè)法向量和平面GEF的一個(gè)法向量，根據(jù)平面平面BEF，由求解.(1)證明：如圖所示：連接，，取的中點(diǎn)為M，連接，ME，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以B，E，，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)G，設(shè)，由已知，，，則，，，設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則，即，取，則；設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為，則，即，取，則；因?yàn)槠矫嫫矫鍮EF，所以，所以，所以.所以存在滿足題意的點(diǎn)G，使得平面平面BEF，DG的長(zhǎng)度為.16．B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，根據(jù)垂直和唯一的點(diǎn)E得到方程由唯一解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布問(wèn)題求出.【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，則，因?yàn)樵诶馍嫌形ㄒ坏囊稽c(diǎn)E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因?yàn)?，所以解得：故選：B17．B【解析】【分析】求出，即與平行，從而求出【詳解】因?yàn)?，即與平行，所以直線與平面垂直.故選：B18．B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對(duì)于B，因，則，即，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B19．A【解析】【分析】根據(jù)平面單位法向量的定義可判斷①，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷②，根據(jù)兩平面法向量關(guān)系判斷③，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷④.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)平面的單位法向量方向不同，所以有2個(gè)，故①錯(cuò)誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行時(shí)，則這條直線和這個(gè)平面垂直，故②錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓚€(gè)平面的法向量平行時(shí)，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④錯(cuò)誤.故選：A20．A【解析】【分析】由直線的方向向量及平面的法向量的定義即可求解.【詳解】解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則，，，，，，對(duì)①：因?yàn)椋灾本€的一個(gè)方向向量為正確；對(duì)②：因?yàn)?，所以直線的一個(gè)方向向量為不正確；對(duì)③：因?yàn)槠矫妫?，所以平面的一個(gè)法向量為不正確；對(duì)④：因?yàn)?，，，，，所以平面的一個(gè)法向量為不正確.故選：A.21．（不唯一）【解析】【分析】由題設(shè)，、是直線、的方向向量，設(shè)面的法向量，應(yīng)用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求法向量即可.【詳解】由題設(shè)，直線、的方向向量分別為、，而，所以直線、不平行，設(shè)與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量，所以，令，則.故與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo).22．(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，可得，再將用表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律證明，即可得證；（2）根據(jù)（1），根據(jù)，將用表示，從而可得出答案.(1)證明：在矩形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因平面，所以，，所以，所以?2)解：因?yàn)?，所以，則，即的長(zhǎng)為.23．C【解析】【分析】推導(dǎo)出，利用空間向量法可得出線面關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，則，即，因此，.故選：C.24．A【解析】【分析】由向量與平面法向量的關(guān)系判斷直線與平面的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．25．C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，，，，分別計(jì)算即可求值.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖：由題意可得，，，，所以，.設(shè)，則，取，可得.因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?，所以，所?綜上所述，A，B，D錯(cuò)，C正確.故選：C26．C【解析】【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關(guān)系及充分條件的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，，且，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，且，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，且，則，故C正確；對(duì)于D，，，且，則與相交或平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.27．D【解析】【分析】以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再由向量的模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求得范圍.【詳解】解：因?yàn)槠矫嫠倪呅魏退倪呅味际沁呴L(zhǎng)為1的正方形，且平面，所以以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，設(shè)，，所以，，又，所以，即，整理得，所以，又，所以，故選：D.28．C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合面面垂直的向量證明方法，即可求解.【詳解】由題意可得，分別是平面α，β的法向量，所以等價(jià)于，即“”是“”的充要條件．故選：C.29．B【解析】【分析】依據(jù)題意得到：①求數(shù)量積，得到，即；②求數(shù)量積，可得到，故或；③利用與的關(guān)系，兩者既不平行，也不垂直，故兩個(gè)平面不平行，是相交關(guān)系；④利用法向量的定義得到，解出，，進(jìn)而可求解．【詳解】①，所以，即，所以①正確．②，所以，所以或，所以②錯(cuò)誤．③因?yàn)?，且，所以與是相交的．所以③錯(cuò)誤．④因?yàn)?，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，所以．所以，即，解得，，所以．所以④正確．故選：B.30．B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，依次驗(yàn)證是否滿足即可.【詳解】設(shè)，，，則，，；由題意知，，則，，化簡(jiǎn)得.驗(yàn)證得，在A中，，不滿足條件；在B中，，滿足條件；在C中，，不滿足條件；在D中，，不滿足條件.故選：B.31．A【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)平面的法向量平行即可判斷出平面與平面平行.【詳解】對(duì)于平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋云叫?又表示不同的平面，所以平面與平面平行.故選：A32．C【解析】【分析】由，知，從而確定l與的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，所以l與的位置關(guān)系是或，故選：C.33．AD【解析】【分析】對(duì)于A，連接，證明平面即可；對(duì)于B，建立空間直角坐標(biāo)系，判斷MN與BN是否可能垂直即可；對(duì)于C、D，當(dāng)N是AC中點(diǎn)時(shí)，MN∥DE，即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：連接，由題可知四邊形是正方形，則，由題知平面平面，平面平面，，平面ABC，∴平面，又，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.故A正確；B選項(xiàng)：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝＝2，則，，，，，設(shè)，，則，，若BN⊥MN，則，即，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即BN與MN不垂直，則不存在點(diǎn)N，使得平面，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)N是AC中點(diǎn)時(shí)，MN∥，∥DE，∴MN∥平面；當(dāng)N不是AC中點(diǎn)時(shí)，MN和B1C相交，若∥平面，結(jié)合∥平面可知平面∥平面，這顯然與圖形不符(與AC相交)，故此時(shí)與平面不平行；故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由C項(xiàng)可知，N為AC中點(diǎn)滿足題意，故D正確.故選：AD.34．ABC【解析】【分析】對(duì)A，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷A；對(duì)B，當(dāng)平面，則，則有，求出，即可判斷B；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；對(duì)D，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對(duì)于A，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故A正確.當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，，所以，所以為銳角，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.35．AD【解析】【分析】對(duì)于A：先計(jì)算出，判斷出，即可證明與垂直；對(duì)于B：判斷出，即可得到不成立；對(duì)于C：判斷出不垂直，即可得到不成立；對(duì)于D：不共線，由平面向量基本定理可以判斷；共線時(shí)，可以判斷共線，則點(diǎn)共面也成立.即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量，且，所以，所以與垂直.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正確；對(duì)于D：若不共線，則可以取為一組基底，由平面向量基本定理可得存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面；若共線，則存在實(shí)數(shù)使所以共線，則點(diǎn)共面也成立.綜上所述：點(diǎn)共面.故D正確.故選：AD36．AD【解析】【分析】選定空間的一個(gè)基底，表示出相關(guān)向量，計(jì)算數(shù)量積判斷A，C；利用共面向量定理判斷B；求出正四面體的高判斷D作答.【詳解】在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點(diǎn)M，N分別是棱的中點(diǎn)，則，，有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；因，，因此，與不垂直，不垂直平面，C不正確；連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點(diǎn)到平面的距離，即正四面體的高h(yuǎn)，由知，由選項(xiàng)A知，，則平面，是平面的一個(gè)法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：AD37．ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對(duì)于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對(duì)于C，，故，可得l在α內(nèi)或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.38．ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由線面垂直的定義可判斷正確；B選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行；C選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行；D選項(xiàng)，兩平面垂直，則它們的法向量垂直.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由線面垂直的定義若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們稱直線和平面垂直，所以，∴，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，∴或∴，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，兩平面垂直它們的法向量垂直，所以兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直，D正確.故選：ACD.39．ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?，故，故A正確；，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故B正確；因?yàn)?，平面，平面，則平面，所以點(diǎn)到平面的距離為異面直線與的距離，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，，則，因?yàn)?，則，故D正確；故選：ABD40．ACD【解析】【分析】根據(jù)平面的法向量與平面的關(guān)系依次判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)A，若，分別是平面，的法向量，則，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)C，若是平面的法向量，則與平面的任意直線的方向向量均垂直，所以，故C正確；對(duì)D，若兩個(gè)平面垂直時(shí)，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.故選：ACD.41．（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)出法向量，利用數(shù)量積為0列出方程組，求出一個(gè)法向量即可.【詳解】設(shè)法向量為，則有，令得：，所以故答案為：42．垂直或【解析】【分析】由題意可得與共線，從而可得答案【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，且，所以與共線，，所以直線l與平面的位置關(guān)系為垂直，故答案為：垂直或43．①②③④【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面向量的法向量的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?分別為不重合的兩直線?的方向向量，?分別為不重合的兩平面?的法向量；直線，的方向向量平行（垂直）等價(jià)于直線?平行（垂直），故①、②正確；平面，的法向量平行（垂直）等價(jià)于平面，平行（垂直）、故③、④正確；故答案為：①②③④44．【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系可知，平面A′C′D內(nèi)的P滿足，PM=PD的P滿足，則可得，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界），則，點(diǎn)P的軌跡線段．【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量則有，令，則則設(shè)，則∵，則又∵PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在空間中，滿足PM=PD的P為過(guò)MD的中點(diǎn)且與MD垂直的平面兩個(gè)平面的公共部分為直線，即點(diǎn)P的軌跡為平面A′C′D，則故答案為：．45．6【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的條件即可求得的值.【詳解】解：由題意可得：，向量的坐標(biāo)表示為，若與垂直，，解得.故答案為：646．

【解析】【分析】先求出正四面體中各邊的長(zhǎng)度，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)于（1）（2）：直接求出方向向量；對(duì)于（3）：根據(jù)法向量的定義列方程組，即可求得；對(duì)于（4）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.【詳解】由題意可得：,,..由圖示，可得：，，，，，，（1）直線BC的一個(gè)方向向量為，（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量為；（3）,.設(shè)為平面BHD的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一