高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(原卷版+解析)

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求橢圓焦點(diǎn),焦距；求共焦點(diǎn)的橢圓方程；橢圓中x,y的取值范圍；橢圓的對稱性；求橢圓的短軸，長袖；求橢圓的離心率；橢圓的實(shí)際應(yīng)用

課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。②因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；；；（2）；；；（3）；；；焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長短軸的長

長軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱離心率e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁通徑過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：2b2/a考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求橢圓焦點(diǎn),焦距例1．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________.【方法技巧】求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，用三角換元法表示點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算距離的積，利用三角函數(shù)性質(zhì)得取值范圍．【變式訓(xùn)練】【變式1】．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【變式2】．橢圓的焦點(diǎn)為?，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則是的___________倍.【變式3】．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，點(diǎn)在橢圓C的第一象限上，交于點(diǎn)E，直線交軸于點(diǎn)，且，則______．考點(diǎn)2：求共焦點(diǎn)的橢圓方程例2．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧】根據(jù)共焦點(diǎn)，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出.【變式訓(xùn)練】【變式1】．若橢圓與橢圓焦點(diǎn)相同，則實(shí)數(shù)___________.【變式2】．求與橢圓的焦點(diǎn)相同，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考點(diǎn)3：橢圓中x,y的取值范圍例3．已知點(diǎn)A，B是橢圓上不關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【方法技巧】利用兩點(diǎn)間距離公式及橢圓方程可得，再利用橢圓的有界性即求.【變式訓(xùn)練】【變式1】．點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過橢圓中心O的一條弦，則△PQF的面積的最大值是（其中）（

）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn)c D．bc【變式2】．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.【變式3】．已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求證：．考點(diǎn)4：橢圓的對稱性例4．橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【方法技巧】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為（

）A． B． C． D．【變式2】．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足為直角三角形的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)考點(diǎn)5：求橢圓的短軸，長袖例5．已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（

）．A． B． C． D．【方法技巧】根據(jù)離心率的定義列方程求，根據(jù)長軸長的定義求橢圓E的長軸長.【變式訓(xùn)練】【變式1】．用周長為36的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓，且橢圓與矩形ABCD的四邊相切，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【變式2】．焦點(diǎn)在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)6：求橢圓的離心率例6．1.如果橢圓的離心率為，則（

）A． B．或 C． D．或2．已知橢圓（）與雙曲線（，）有公共焦點(diǎn)，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P．若是以為底邊的等腰三角形，曲線，的離心率分別為和，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.分焦點(diǎn)在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達(dá)式，進(jìn)而求得c的表達(dá)式，然后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可．2.設(shè)曲線，的焦距為2c，則可得，然后結(jié)合橢圓和雙曲線的定義可求出的關(guān)系，變形后可得結(jié)果.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知橢圓（），橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】．（多選）已知為橢圓的焦點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（且不是離最近的那個(gè)頂點(diǎn)），若，，則橢圓的離心率可以為（

）A． B． C． D．【變式3】．設(shè)是橢圓：上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．考點(diǎn)7：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系例7．點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外部得不等式，解不等式得結(jié)果.【變式訓(xùn)練】【變式1】．若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【變式2】．已知點(diǎn)(3，2)在橢圓上，則點(diǎn)(-3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________.考點(diǎn)8：橢圓的實(shí)際應(yīng)用例8．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是，則衛(wèi)星軌道的離心率為___________.【方法技巧】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，求出橢圓的長半軸和半焦距，進(jìn)而確定橢圓的離心率，得到答案.【變式訓(xùn)練】【變式1】．中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界上首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】．年月日，嫦娥四號探測器在月球背面預(yù)選著陸區(qū)成功軟著陸，并通過鵲橋中繼衛(wèi)星傳回了世界第一張近距離拍攝的月背影像圖，揭開了古老月背的神秘面紗．如圖所示，地球和月球都繞地月系質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，，，設(shè)地球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，萬有引力常數(shù)為，月球繞做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為，且，則（

）A． B．C． D．知識小結(jié)知識小結(jié)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長短軸的長

長軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱離心率e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁通徑過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：2b2/a鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知橢圓的焦距為2，離心率，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．4．嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓有四個(gè)結(jié)論：①焦距長約為300公里；②長軸長約為3988公里；③兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為；④離心率約為．則上述結(jié)論正確的是（

）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③④5．若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，過橢圓C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．8．已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓C上（與點(diǎn)A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．二、多選題9．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．△面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．為定值10．設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為B．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為C．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為D．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為三、填空題11．寫出一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：___________.12．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以為______．13．若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2：1，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”寫出一個(gè)長軸長為6的“倍徑橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．14．已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的取值范圍是_________．四、解答題15．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸在x軸上，長軸的長為12，離心率為；(2)經(jīng)過點(diǎn)和.16．橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求橢圓焦點(diǎn),焦距；求共焦點(diǎn)的橢圓方程；橢圓中x,y的取值范圍；橢圓的對稱性；求橢圓的短軸，長袖；求橢圓的離心率；橢圓的實(shí)際應(yīng)用

課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。②因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；；；（2）；；；（3）；；；焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長短軸的長

長軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱離心率e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁通徑過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：2b2/a考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求橢圓焦點(diǎn),焦距例1．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________.【答案】[3，5]【詳解】橢圓方程橢圓的焦點(diǎn)由在圓上，設(shè)，?的取值范圍[3，5].故答案為：[3,5].【方法技巧】求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，用三角換元法表示點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算距離的積，利用三角函數(shù)性質(zhì)得取值范圍．【變式訓(xùn)練】【變式1】．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】，【分析】分與兩種情況進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，則，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，則，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：，【變式2】．橢圓的焦點(diǎn)為?，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則是的___________倍.【答案】【詳解】解：由橢圓，得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)，代入橢圓方程得，解得，則，所以，即是的倍.故答案為：.【變式3】．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，點(diǎn)在橢圓C的第一象限上，交于點(diǎn)E，直線交軸于點(diǎn)，且，則______．【答案】解；方法二用橢圓第二定義進(jìn)行求解.【詳解】由題意可知：，的方程為，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，，因?yàn)?，，所以與相似，，，所以，即，即，代入橢圓的方程可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的第一象限上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法一：．方法二：，由橢圓的第二定義可知，，所以．故答案為：考點(diǎn)2：求共焦點(diǎn)的橢圓方程例2．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)要求解的橢圓方程為：，將點(diǎn)代入得，解得：，所以，C正確.故選：C【方法技巧】根據(jù)共焦點(diǎn)，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出.【變式訓(xùn)練】【變式1】．若橢圓與橢圓焦點(diǎn)相同，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】由橢圓方程可得，由此可構(gòu)造方程求得.【詳解】由得：，則且焦點(diǎn)在軸上由得：，與共焦點(diǎn)，；，解得：.故答案為：.【變式2】．求與橢圓的焦點(diǎn)相同，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】.【分析】由題設(shè)可得且焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓為且，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上求參數(shù)，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題設(shè)，橢圓焦點(diǎn)為則，令橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為且，又在橢圓上，則，整理得，解得或(舍).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)3：橢圓中x,y的取值范圍例3．已知點(diǎn)A，B是橢圓上不關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】由題可設(shè)，且，由，可得，∴又，∴，∴，由，可得，即，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【方法技巧】利用兩點(diǎn)間距離公式及橢圓方程可得，再利用橢圓的有界性即求.【變式訓(xùn)練】【變式1】．點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過橢圓中心O的一條弦，則△PQF的面積的最大值是（其中）（

）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn)c D．bc【答案】D【分析】利用橢圓的對稱性及范圍即得.【詳解】由橢圓的對稱性可知P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，故當(dāng)時(shí)，△PQF的面積最大，最大值為.故選：D.【變式2】．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為___________.【答案】##【分析】將求最小值的問題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到圓心距離最小值的問題，結(jié)合點(diǎn)滿足橢圓方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為，，則，則設(shè)圓的圓心為，則坐標(biāo)為則的最小值，即為的最小值與圓的半徑之差.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；故.故答案為：.【變式3】．已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求證：．【答案】詳見解析.【分析】利用橢圓方程及兩點(diǎn)間公式可得，再根據(jù)橢圓的有界性即證.【詳解】由，可得，又，∴，即.考點(diǎn)4：橢圓的對稱性例4．橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】令橢圓C的右焦點(diǎn)，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D【方法技巧】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的方程求出，再由橢圓的對稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A【變式2】．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足為直角三角形的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的對稱性及的值，分類討論，即可求解.【詳解】當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點(diǎn)有2個(gè)；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，由橢圓，可得，可得，則，，所以，故，所以不存在以為直角頂點(diǎn)的，故滿足本題條件的點(diǎn)共有4個(gè).故選：B.考點(diǎn)5：求橢圓的短軸，長袖例5．已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為，所以，，，又橢圓的離心率為所以，解得，所以,所以橢圓E的長軸長為．故選：C.【方法技巧】根據(jù)離心率的定義列方程求，根據(jù)長軸長的定義求橢圓E的長軸長.【變式訓(xùn)練】【變式1】．用周長為36的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓，且橢圓與矩形ABCD的四邊相切，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知矩形ABCD是橢圓的外切矩形，故可得，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】矩形ABCD的四邊與橢圓相切，則矩形的周長為，則.對于A:，不符合，對于B:，不符合，對于C:，符合，對于D:，不符合，故選：C.【變式2】．焦點(diǎn)在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長軸長算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殚L軸長為，故長半軸長，因?yàn)?，所以半焦距，故，又焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D考點(diǎn)6：求橢圓的離心率例6．1.如果橢圓的離心率為，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，可得：，解得，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，可得：，解得．或.故選：B．2．已知橢圓（）與雙曲線（，）有公共焦點(diǎn)，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P．若是以為底邊的等腰三角形，曲線，的離心率分別為和，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】設(shè)曲線，的焦距為2c．是以為底邊的等腰三角形，則．由點(diǎn)P在第一象限，知，即，即，即．故選：B3．橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可求得，，即可得出，再根據(jù)離心率范圍即可求出【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又,，，，，則，即線段的長度的取值范圍是，故選：C【方法技巧】1.分焦點(diǎn)在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達(dá)式，進(jìn)而求得c的表達(dá)式，然后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可．2.設(shè)曲線，的焦距為2c，則可得，然后結(jié)合橢圓和雙曲線的定義可求出的關(guān)系，變形后可得結(jié)果.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知橢圓（），橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由，得，根據(jù)表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，可得選項(xiàng)【詳解】解：由已知得，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選：B．【變式2】．（多選）已知為橢圓的焦點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（且不是離最近的那個(gè)頂點(diǎn)），若，，則橢圓的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，分情況討論與的位置，可得離心率.【詳解】不妨設(shè)焦點(diǎn)在軸上且為右焦點(diǎn)，顯然不會是右頂點(diǎn)，分類討論：①若為左頂點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，則，解得，此時(shí)離心率；②若為左頂點(diǎn)，為上（下）頂點(diǎn)，則，無解，不滿足；③若為上（下）頂點(diǎn)，為左（右）頂點(diǎn)，則，無解，不滿足；④若為上（下）頂點(diǎn)，下（上）頂點(diǎn)，則，解得，，，此時(shí)離心率為，故選：AB.【變式3】．設(shè)是橢圓：上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．【答案】##【分析】利用已知條件推出，然后求解橢圓的離心率即可．【詳解】解：是橢圓上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．考點(diǎn)7：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系例7．點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.【方法技巧】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外部得不等式，解不等式得結(jié)果.【變式訓(xùn)練】【變式1】．若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】由在橢圓的內(nèi)部有，即可求參數(shù)m的范圍.【詳解】∵點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，∴，整理得，解得．故答案為：【變式2】．已知點(diǎn)(3，2)在橢圓上，則點(diǎn)(-3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________.【答案】點(diǎn)在橢圓外【分析】由已知得=1，繼而有，由此可得答案.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)(3，2)在橢圓上，所以=1，又，所以，故點(diǎn)(-3，3)在橢圓外.故答案為：點(diǎn)在橢圓外.考點(diǎn)8：橢圓的實(shí)際應(yīng)用例8．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是，則衛(wèi)星軌道的離心率為___________.【答案】【詳解】如圖所示，可得，即，又由，所以橢圓的離心率為，故答案為：.【方法技巧】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，求出橢圓的長半軸和半焦距，進(jìn)而確定橢圓的離心率，得到答案.【變式訓(xùn)練】【變式1】．中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界上首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，，即，因?yàn)?，所以，即，故A錯(cuò)誤；∵，∴，，，，∴，故B錯(cuò)誤；由B可知，，，則，故C錯(cuò)誤；由B可知，，則，故D正確；故選：D【變式2】．年月日，嫦娥四號探測器在月球背面預(yù)選著陸區(qū)成功軟著陸，并通過鵲橋中繼衛(wèi)星傳回了世界第一張近距離拍攝的月背影像圖，揭開了古老月背的神秘面紗．如圖所示，地球和月球都繞地月系質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，，，設(shè)地球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，萬有引力常數(shù)為，月球繞做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題干中的等式結(jié)合可求得、、，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于AB選項(xiàng)，，由可得，，所以，，所以，，A錯(cuò)B對；對于C選項(xiàng)，由可得，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，由，可得，所以，得，D錯(cuò).故選：B.知識小結(jié)知識小結(jié)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長短軸的長

長軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱離心率e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁通徑過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：2b2/a鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知橢圓的焦距為2，離心率，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得與的值，進(jìn)而得的值，然后得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由于2c=2,所以c=1,又因?yàn)?，故，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：C2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出橢圓的c，再寫出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)得解.【詳解】由題得，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.3．已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.【詳解】由橢圓方程得..故選：D.4．嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓有四個(gè)結(jié)論：①焦距長約為300公里；②長軸長約為3988公里；③兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為；④離心率約為．則上述結(jié)論正確的是（

）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得橢圓對應(yīng)的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，①正確；，②錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，③正確；離心率，④正確.所以正確的為①③④.故選：C5．若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)取最大值，再根據(jù)橢圓方程求出、，最后根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算可得.【詳解】解：易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以、，此時(shí)，，所以，所以為等腰直角三角形，所以．故選：D6．已知點(diǎn)A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，過橢圓C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，，再根據(jù)列式求解即可【詳解】由已知得：，，所以，由得：所以所以由得：所以

故選：C7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦長公式求解即可.【詳解】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8．已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓C上（與點(diǎn)A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】不妨假設(shè)，，則可求，將B，D代入橢圓，然后兩式進(jìn)行相減可得，整理出，代入之后再結(jié)合基本不等式即可求出答案【詳解】解：設(shè)，，則．∵點(diǎn)B，D都在橢圓C上，∴兩式相減，得．∴，即．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．故選：B．二、多選題9．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．△面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．為定值【答案】BD【分析】由，直接求橢圓離心率即可，將看成△的底，高的最大值即為，即可求出△面積的最大值，寫出以線段為直徑的圓方程，圓心到直線的距離即可判定直線和圓的位置關(guān)系，直接用斜率公式求解即可.【詳解】對于選項(xiàng),由已知得，，則，即，故錯(cuò)；對于選項(xiàng),由已知得，要使△的面積最大，當(dāng)?shù)走吷系母咦畲蠹纯?，高的最大值即為，則△的面積最大值為，故正確；對