精講高中數(shù)學必修第二冊6. 2. 3 向量的數(shù)乘運算及其幾何意義

6.2.3向量的數(shù)乘運算及其幾何意義

導學案

編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波

【學習目標】

1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運算的幾何意義.

2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘運算律進行向量運算

3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)共線向量

問題

【自主學習】

知識點1向量數(shù)乘運算

實數(shù)％與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作〃，

其長度與方向規(guī)定如下：

(l)|Aa|=|l||a|.

［當乃>0時,與Q方向相同，

(2)2a(aW0)的方向匕方臼如后

I=2<0時,與。方向相反；

特別地，當2=0或。=0時、0〃=0或70=0.

知識點2向量數(shù)乘的運算律

⑴如a)=(2")a.

(2)(2+4)a=勿+jLia.

(3)2(。+))=癡+2b.

特別地，有(一外。=—(癡)=2(—a)；

A（a-b）=Aa-Ab.

知識點3共線向量定理

向量a(a#O)與6共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使6=癡.

知識點4向量的線性運算

向量的加、減、數(shù)型運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b,

以及任意實數(shù)2、幺1、〃2，恒有：A(/i?a+fiib)—A/iia+}./.i2b.

【合作探究】

探究一向量的數(shù)乘運算

【例1】計算：

(1)(—3)X4”；

(2)3(。+〃)一2(。一b)一。；

(3)(2a+3b——c)——(3a——2)+c).

解(1)原式=(-3X4)°=-12a；

(2)原式=3。+36—2〃+2力-a=5b；

(3)原式=2a~\~3b—c—3a~\~2b—c=1a+5)一2c.

歸納總結(jié)：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是'合并同類項”、“提取公因式”，

但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).

【練習1】跟蹤訓練1計算：

(l)6(3a—2b)+9(—2a+A)；

(2)6(0—0+c)—4(°—2b+c)-2(—2a+c).

解(1)原式=18。-12ft-180+9。=-3b.

(2)原式=6a—6)+6c—4o+8b-4c+4a—2c

=(6。-4a+4a)+(8b—60)+(6c—4c—2C)=6Q+2》.

探究二用已知向量表示未知向量

-?-A

【例2】如圖所示，已知弘8?！?的邊BC,C。的中點分別為K,L,且4K=e〃AL=e2,試

—?-?

用R，€2表示BC,CD.

DLC

AB

［分析］利用向量的加法和數(shù)乘運算進行化簡.

［解］設(shè)反?=x,則/=去，AB=et—^xf

DL=^DC=^AB=^ej—^x.

由量）+應(yīng)=屐，得x+ge/一3=&,

4?—42

解方程得工=丞2—羽，即8C=我一個.

——1

由C￡>=—A8,A5=e/—/,

得而=*一均=翁02一,切）一e；=—+|e2.

歸納總結(jié)：由已知向量來表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、

數(shù)乘等線性運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相

似三角形的對應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進行求解.

【練習2】如圖，設(shè)△A8C的重心為M,。為平面上任一點，OA=a,OB=b,OC=c9試

用。、b、c表示向量OM.

解：連接AM并延長交8c于0點.

???/是△ABC的重心，

二。是BC的中點，且4W=|A。

—?2—*,2->■—

：.AM=^AD=^AB+BD)

=|AB+|BD

2f1-*

=^AB+^BC

=l(OB-OA)+^(OC-OB)

2,1

=^(b—a)+^(c-b)

=-1a+|*+|c.

.\OM=OA+AM=a+(^^a+^b+^c^

=|(a+fe+c).

探究三向量共線定理的應(yīng)用

【例3T】已知ci,及是不共線的向量，a=3ei+4e2,力=6e1一802,則Q與〃是否共線？

解若。與》共線，則存在7WR,使a=2b,

BP3Q+4c2=2(6ei——8e2),

所以(3—6A)ei+(4+82)02=。，

3—67=0,

因為g與及不共線，所以一，所以人不存在，

〔4+82=0,

所以〃與〃不共線.

【例3-2】已知兩個非零向量力和及不共線，如果還=2幻+3改，BC=6ei+23e2fCD=4ei

—802，求證：4、B、。三點共線.

證明Vic=6ei+23e2,CD=4ei-8e2f

???應(yīng))=正+麗=(66]+23也)+(44-8電)

=10ei+15^2.

又：贏=2e1+3e2,：.BD^5AB,

：.AB,麗共線，且有公共點B".A、B、。三點共線.

歸納總結(jié)：(1)本題充分利用了向量共線定理，即6與a(aWO)共線ob=，a,因此用它

既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.

(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷

共線.

【練習3-1】已知非零向量e”e2不共線.

(1)如果油=ei+e2，BC=2et+8e2,CD=3(ei-e2)，求證：A8,而共線;

(2)欲使Aei+e?和e+髭2共線，試確定實數(shù)k的值.

解(l)；B=ei+e2,BD=BC+cb=2e,+8e2+3ei-3e2=5(ei+c2)=5AB.

：.AB,而共線.

(2)：ke1+e2與ei+&2共線，

存在),使kei+e2=2(ei+Ze2),

即(k—7)ei=(2A—l)e2,由于ei與e2不共線,

HO,

只能有

/左一1=0,

【練習3-2】已知O,A,8是不共線的三點，且5>=加工+"為("，”6R).

(1)若加+〃=1,求證：AtP,B三點共線；

(2)若A,P,B三點共線，求證：m+〃=1.

證明(1)若"?+〃=1,

則而=，"后+(1一僧)勵=勵+"7(宓一勵),

：.OP-OB=m(OA-OB},

即萬>=機函，游與函共線.

又?.?崩與函有公共點B,則A,P,B三點共線.

(2)若A,P,B三點共線，則存在實數(shù)2,使麗=2函,

：.OP-OB=^OA-OB).

又碎=，*<%+”3k

故有inOA+(n-\)OB=).OA—XOB,

即(機一Q后+(〃+2-1)勵=0.

'：O,A,8不共線，蘇，協(xié)不共線,

Jnz—2=0,

?*in~\~〃=1.

[H+A-1=0,

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.設(shè)e/,e2是兩個不共線的向量，若向量析=一切+品2（AWR）與向量"=e2—2ei共線，則

（）

A.k=QB.k—lC.k—2D.k=；

答案D

解析當k=3時，m=-et+^e2,n=-2e\+ei.

'.n=2m,此時，m,n共線.

2.下列各式計算正確的有（）

①（一7）6。=一4%；②7（a+，）-8b=7a+15。；

③a—26+a+2Z>=2a；④4（2a+6）=8a+4/>.

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案C

3.已知△48C的三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點尸，且現(xiàn)+而+正=初，則（）

A.P在△A8C內(nèi)部

B.P在△4BC外部

C.P在AB邊上或其延長線上

D.P在AC邊上

答案D

解析PA+PB+PC^PB-PA,

.?.正=一2百，尸在AC邊上.

4.設(shè)。，E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點，貝ijEB+FC等于（）

—?1—A

A.BCB.2AD

C.ADD.5BC

答案c

解析

如圖，EB+FC

^EC+CB+FB+BC

^EC+FB=^(AC+AB)

—^-2AD—AD.

5.已知向量a,b,設(shè)B=a+2b,BC^~5a+6b,CD=1a-2b,那么下列各組中三點一

定共線的是()

A.4,B,CB.4,C,D

C.A,B,DD.B,C,D

答案C

解析由向量的加法法則知礪=正+而=-5。+68+7。-2/>=2（。+2勿=2贏，又兩線段

均過點8,故A,B,。三點一定共線

6.已知楊，〃是實數(shù)，a,b是向量，則下列命題中正確的為（）

?tn（a~b）=ma-mb；?（rn-n）a—ma-na；

③若）na=,nb,貝ija=〃；④若加則加=〃.

A.①④B.①②

C.①③D.③④

答案B

解析①和②屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；③中，若，"=0,則不能推出4=6,

錯誤；④中，若。=0,則〃?，"沒有關(guān)系，

7.己知△ABC和點M滿足宓+訕+就7=0.若存在實數(shù)擾使得施+病=〃i病成立，則m

的值為（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析,JMA+MB+MC^Q,

...點M是△48C的重心.

：.AB+AC=3AM,：.m=3.

二、填空題

8.已知。48。。的對角線4c和8。相交于點。，且晶=“，OB=b,則詼=,BC

—.（用a，b表示）

答案。一4一a-b

解析如圖，DC=AB=OB—OA=b—ai

BC^OC-OB^-OA-OB^-a-b.

9.在平行四邊形ABC。中，若而+病|=|后一在|,則四邊形A8C。的形狀為.

答案矩形

解析如圖，因為歸+而=送,

AB~AD=DB,

所以|前1=|加|.

由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCO是矩形.

10.如圖所示，設(shè)例，N為△ABC內(nèi)的兩點，且病=拗+茨;而=|@+吳?，則AABM

的面積與AABN的面積之比為.

答案2：3

解析

如圖所示，設(shè)布=；崩，AQ—\AC,

則Qf=Q+恁.

由平行四邊形法則知，MQ//AB,

.SAABA|A0|1

SAABC?而3-

S/\ABN1.ScABM2

同理

S4ABe2'?'ABN3

三、解答題

11.如圖，ABCD為一個四邊形，E、F、G、H分別為BD、48、AC和8的中點，求證:

四邊形EFG//為平行四邊形.

證明VF,G分別是AB、AC的中點.

FG=^BC.

同理，EH=^BC.

：.FG=EH.

...四邊形EFGH為平行四邊形.

12.已知e”e2是兩個非零不共線的向量,a=2e\-e2,b=ket+e2,若a與5是共線向量，

求實數(shù)k的值.

解???。與6是共線向量，，a=助，

2e\——e2=k(ke\-\-ei)=^ke\+%也,

入k=2,伏=—2,

???????：.k=-2.

/=一1,〔2=一1,

13.設(shè)ei，e2是兩個不共線的向量，而=2ei+&2，CB=ei+3e2,cb=2e,-e2.若A,B,

。三點共線，求&的值.

解若A,B,。三點共線，則矗與訪共線，

所以可設(shè)贏=7訪.

又因為麗

=(2&一。2)—(ei+3。2)=0-4e?,

所以2e\-\-kei=X(e\—4e2),

即(42+k)e2=(2-2)ei,

因為ej,e2是兩個不共線的向量,

X~2

若42+20,則e?=目4,

于是的與e2是共線向量，與已知條件矛盾;

.....42+左

若%—2*0,則3=Re2

于是的與e2是共線向量，與已知條件矛盾,

4A+k=0,

所以故)=2,k=S.

4一2=0,

14.如圖所示，在平行四邊形A3C。中，點M是43的中點，點N在3。上，且BN=^BD.

求證：M.N、C三點共線.

證明設(shè)區(qū)4=0,BC=b,則由向量減法的三角形法則可知：CM=BM—BC=^BA—BC=^a

-b.

又：N在80上且BD=3BN,

.?.礪=；彷=上前+而）=；（a+。）,

CN=BN-BC^a+b')-b

號等=給。一“

CN^CM,

又?.?麗與麗的公共點為C,

，C、M、N三點、共線.

B組能力提升

一、選擇題

1.在"SC中，A。為BC邊上的中線，E為A。的中點，則EB=()

3113

---一-

47C所4Ac

-4-4

3--->.1--->1--->.3--->

C.^ABACD.AB+^AC

【答案】A

【解析】作出示意圖如圖所示.~EB=^ED+~DB=^~AD+^CB+^4C)+1

CAB-~AC)=^AB-^AC

2.在四邊形ABC。中，就=初，AC與8。交于點。，E是線段。。的中點，AE的延長線

與CC交于點尸，則()

__1__2__2_1_

初B.#=1病+,初

初D.#=,祀+；瓦)

【解析】

在四邊形A8CD中，如圖所示，因為覺=勸，所以四邊形43CQ為平行四邊形.由已

11777

知得的=§或，由題意知△OE/?s/\8E4,則防=亍磅，所以中=§劭=§(初一歷)=可

Bb—AtBt)—AC亡-1ffff2f.1—i_

x——=—g—，所以#=祀+#=祀+-g-=1祀+］防，故選B.

【答案】B

3.如圖，在直角梯形ABCC中，或=油,就=2反'，且初一協(xié)+s才方，則2r+3s=()

A.1B.2

C.3D.4

凄］

【解析】法一：由題圖可得益=范+旗=牯+海=部+|屈+病+比）=沙+

，（m+成尸;露+段（歷+1顯）=.

JJJ4J

因為力；=癡&+$元），所以〃=今$=,，則2r+3s=l+2=3.

法二：因為法=2愛,所以於一輻=2（祀一碣，整理，得屈=1^+|啟=拗+；0彷

+比）=4方+各方，以下同法一.

碣

法三：如圖，延長A。，BC交于點P,則由成=拗得OC〃A8,且A8=4OC.

4

在

且-

又就=2比，所以E1為P8的中點,-3

于是，助=；（初+#）=茅/+軻5）=＜荏+各方以下同法一.

法四：如圖，建立平面直角坐標系xAy,依題意可設(shè)點8（4〃7,0）,。（3小，3/?）,仇4小,

2/z）,其中能>0,h>0.

由然=癡&+5融，得（4〃?，2h）=i\4m,O）+s（3"?,3萬）,

=1

4加=4w+37%s,r

所以解得，

2h=3hs,_2

=y

所以2r+3s=1+2=3.

【答案】C

4.如圖，已知#=小誦，用溫，彷表示則辦等于（）

14

--

33

C.-jOX+^oh

D.—

【答案】c

【解析】赤二次+獷二^^+為&=況+1彷—次尸—:況+^^故選C.

5.在AABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,40為3c邊上的高，。為AO的中點，若劭

=派+〃覺，其中九〃￡凡則2+〃等于（）

A.1B.2

C.gD.1

【答案】D

【解析】由題意易得用=初+沉＞=屈+］設(shè)1,所以2冗）=筋+］比,即初=］屈+；比.

332o

M-1.12

故2+〃=5+不=§.

6.已知A,B,C三點不共線，且點。滿足16次一12加-3求=0,則（）

A.溫=12顯+3祀B.次=12屈一3祀

C.溫=-12勘+3RD.溫=一12顯一3祀

【答案】A

【解析】對于A,溫=12屈+3祀=12（彷一次）+3（求一次）=12彷+3求一15況,

整理，可得1604—12防一3OC=0,這與題干中條件相符合，故選A.

7.如圖，在AABC中，?=|&，Bp=^Bb,若#=海+〃正，則，的值為（）

A.-3B.3

C.2D.-2

【答案】B

【解析】因為#=屈+即，勵=；沉）=g（?—屈）=；花—；勘=3,祀—；霜=,證—

；初，

22

--

V尸9,所以介

29

--

3X2

8.已知向量a,5不共線，且c=/a+"d=a+（2X~1）b,若c與d反向共線，則實數(shù)2的值

為（）

A.1B.—2

C.1或一gD.—1或一；

【答案】B

【解析】由于c與d反向共線，則存在實數(shù)%使c=Ad/<0）,于是%+0=*a+（22-

2=k,

\）b],整理得〃+b=ka+（2崩一k）b.由于a,%不共線，所以有整理得2乃一％一

2AK—K—1,

1=0,解得4=1或2=一；.又因為&<0,所以2<0,故％=一1.

二、填空題

9.已知。為AABC內(nèi)一點，且2葩=彷+衣，無力=f祀，若8,O,。三點共線，則

t的值為.

【解析】設(shè)線段BC的中點為M，則彷+比=2成.

因為2劭=仍+比，所以劭=血,

則初屈+祀）=；（屈+：初）=；屈+3?）.

由8,O,。三點共線，得1+t=1，解得/=；.

【答案】!

10.在A4BC中，ZA=60°,NA的平分線交BC于點O,若AB=4,且力=；祀+濕

GSR）,則AO的長為

13

【解析】因為8,D,。三點共線，所以：+2=1,解得％=本如圖，過點。分別作4C,

A8的平行線交力8,AC于點M,N,則磁=汕，因為AABC中，乙4=60。，

/A的平分線交BC于點力，所以四邊形AM￡W是菱形，因為48=4,所以AN=AM=3,

A￡>=3小

【答案】3小

11.在AABC中，點。是邊BC上任意一點，M是線段AO的中點，若存在實數(shù)2和〃,

使得旅=淋+/尿則;1+A=.

【解析】如圖，因為點。在邊8c上，所以存在啰R,使得防=/尻'=/（企一屈）.因

為M是線段AD的中點，所以說=；（就+夙>）=；（—屈+￡病一道）=—1（r+1）-A^+^tAt.

又就腦+"汽，所以2=-g（f+l）,"=/，所以/+"=—].

【答案】V

12.已知產(chǎn)為A4BC所在平面內(nèi)一點，屈+油+網(wǎng)=0,|霜|=|屈|=|反1=2,則AABC

的面積為.

【解析】因為初+協(xié)+及'=0,所以露=一（成+苗.由平行四邊形法則可知，以防,

互為邊組成的平行四邊形的一條對角線與顯反向，且長度相等.因為|勘1=1成1=1曲=2,

所以以防,互為邊的平行四邊形為菱形，且除8c外的另一條對角線長為2,所以8C=24，

ZABC=90°,所以SAABC=%?8C=：X2X2小=2小.

【答案】24

三、解答題

13.在如圖所示的方格紙中，向量4c的起點和終點均在格點（小正方形頂點）上，若c

與M+加，y為非零實數(shù)）共線，求抻值.

【解析】設(shè)幻，。2分別為水平方向（向右）與豎直方向（向上）的單位向量，則向量C=Q

—2/，a=2?+e2,。=-2%一2級，由c與xa+yb共線，得c="m+yb),所以g—2也=2"1

3

2A(x—y)=1,%=二，

I(L2))=一2,所以;所以扣值為去

—y)ei+Mx—2y)e2，所以“

產(chǎn)藥

14.經(jīng)過△QAB重心G的直線與。4,OB分別交于點P,Q,設(shè)毋=加次，的=〃彷，根,

〃WR,求［+（的值.

【解析】設(shè)溫=mOh=b,則5&=g（o+。），

P^=O^—Op=nb—nm,

芯=Ob—9=g（〃+b）-ma—（；一加）Q+；0.

由尸，G,。共線得，存在實數(shù)%使得匝=2砧，

即-ma=,

卜”=心-“

則，?消去心得廿2=3.

C組挑戰(zhàn)壓軸題

一、選擇題

1.如圖，在AABC中，點。在線段8c上，且滿足80=4。。，過點。的直線分別交直線A8,

AC于不同的兩點M,N若磕="漏,病=〃曲，則()

A.m+〃是定值，定值為2

B.2加+〃是定值，定值為3

C.是定值，定值為2

D.^+；是定值，定值為3

【答案】D

【解析】法一：如圖，過點C作CE平行于MN交AB于點E.由RV="證可得笫=[,

所以爵號力由吁/c可得翳；，所以厚—=含，因為加加

?4--2-

所以機=產(chǎn)彳，整理可得5+：=3.

377-1mn

法二：因為M,D,N三點共線，所以用=/1砌+(1—2)?初.乂詢=〃?勘，初=〃祀，

所以勸=癡霜+(1—2)?〃祀.又防=3成，所以初一；勸，所以A5=g/+薪^.

2121

比較系數(shù)知癡=],(1—X)n=y所以/+卜=3,故選D.

—?

2.已知。是平面內(nèi)一定點，A、8、C是平面上不共線的三個點，動點「滿足5?=宓+2(42

的

Jr

+——)(Ae[O,+8)),則點P的軌跡一定通過△48(7的()

\AC\

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

答案B

Z1Ac?這為北上的單位向量，則AC

解析皿為A8上的單位向量,的方向為NBAC的角

河||AC|而I的

平分線病的方向.

ZRATARAC-?fJR

又4G[0,+~),Az("+若)的方向與"+若的方向相同.而OP=O4+4(空+

\AB\|AC|而|\AC\\AB\

|AC|

...點尸在上移動.

.?.點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

3.A,B,C是圓。上不同的三點，線段CO與線段AB交于點。(點。與點。不重合)，若

OC=kdA+/iOB(X,蚱R),則計"的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+°°)

C.(1,r1D.(-1,0)

答案B

解析設(shè)詼=〃i