統(tǒng)考版2024高考數學二輪專題復習第四篇滿分專項突破第2講六大常用方法增分有招文

第2講六大常用方法(增分有招)高考客觀題分為選擇題與填空題，選擇題是屬于“小靈通”題，其解題過程“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是：充分地利用題干和選項兩方面的條件所供應的信息作出推斷，先定性后定量，先特別后推理，先間接后干脆，先解除后求解．而填空題是不要求寫出計算或推理過程，只須要將結論干脆寫出的“求解題”．解答選擇題與填空題的方法一般有干脆法、特例法、數形結合法(圖解法)、估算法、構造法、解除法等．方法1干脆法方法詮釋干脆從題設的條件動身，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則，通過精確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，然后比照題目所給出的選項“對號入座”作出相應的選擇，從而確定正確選項的方法．適用范圍涉及概念、性質的辨析或運算，較簡潔的題目常用干脆法．例1[2024·湖南湘潭三模]已知集合A＝{x|x2－7x+12≤0}，B＝{x|2x+m>0}，若A?B，則mA．(－6，＋∞)B．[－6，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－∞，－6]名師點題干脆法的運用技巧干脆法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要依據題目的要求靈敏處理，多角度思索問題，留意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈敏應用，將計算過程簡化，從而得到結果，這是快速精確求解客觀題的關鍵．對點訓練[2024·廣西崇左模擬]已知復數z＝1－3i，那么eq\f(1,z)＝()A．eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)iB．eq\f(1,10)－eq\f(3,10)iC．－eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)iD．－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)i方法2解除法方法詮釋解除法也叫篩選法或淘汰法，運用解除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是接受簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相沖突的干擾項逐一解除，從而獲得正確結論．適用范圍這種方法適用于干脆法解決問題很困難或者計算較繁瑣的狀況．例2(1)函數y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖象大致為()(2)[2024·全國甲卷，文]下列函數中是增函數的為()A．f(x)＝－xB．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝x2D．f(x)＝eq\r(3,x)名師點題解除法的運用技巧解除法適用于不易干脆求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先依據某些條件找出明顯與之沖突的選項予以否定，再依據另一些條件在縮小的范圍內找出沖突，這樣逐步解除，干脆得到正確的選項．對點訓練已知函數f(x)＝x(1＋a|x|).設關于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集為A，若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))?A，則實數a的取值范圍是()A．(eq\f(1－\r(5),2)，0)B．(eq\f(1－\r(3),2)，0)C．(eq\f(1－\r(5),2)，0)∪(0，eq\f(1＋\r(3),2))D．(－∞，eq\f(1－\r(5),2))方法3特例法方法詮釋從題干(或選項)動身，通過選取構造特別狀況代入，將問題特別化，再進行推斷．特別化法是“小題小做”的重要策略，要留意在怎樣的狀況下才可運用，特別狀況可能是：特別值、特別點、特別位置、特別數列等．適用范圍適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題．例3(1)設四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，若點M，N滿意eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．20B．15C．9D．6(2)設橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的長軸的兩端點分別是M，N，P是C上異于M，N的隨意一點，則直線PM與PN的斜率之積等于________．名師點題特例法具有簡化運算和推理的優(yōu)點，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題或填空題，但用特例法解題時，要留意以下幾點：第一，取特例盡可能簡潔，有利于計算和推理；其次，若在不同的特別狀況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例狀況再檢驗，或改用其他方法求解；第三，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，不能運用該種方法求解．對點訓練已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60°，eq\f(cosB,sinC)·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m·eq\o(AO,\s\up6(→))，則m的值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\r(2)C．1D．eq\f(1,2)方法4數形結合法方法詮釋依據題設條件作出所探討問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性給出正確的推斷，習慣上也叫數形結合法．有些選擇題可通過命題條件中的函數關系或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形態(tài)、位置、性質等，綜合圖象的特征，得出結論．圖形化策略就是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略．適用范圍適用于求解問題中含有幾何意義命題的．例4若直角坐標平面內的兩點P，Q滿意條件：①P，Q都在函數y＝f(x)的圖象上；②P，Q關于原點對稱，則稱點對[P，Q]是函數y＝f(x)的一對“友好點對”(注：點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”).已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x（x>0），,－x2－4x（x≤0），))則此函數的“友好點對”有()A．0對B．1對C．2對D．3對名師點題圖解法實質上就是數形結合的思想方法在解題中的應用，利用圖形的直觀性并結合所學學問便可干脆得到相應的結論，這也是高考命題的熱點．精確運用此類方法的關鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關系，利用幾何圖形中的相關結論求出結果．對點訓練1.已知非零向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為()A．60°B．90°C．120°D．150°2．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln（x＋1），x>0.))若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2，1]D．[－2，0]方法5構造法方法詮釋構造型客觀題的求解，須要利用已知條件和結論的特別性構造出新的數學模型(如構造函數、方程或圖形)，從而簡化推理與計算過程，使較困難的數學問題得到簡捷地解決，它來源于對基礎學問和基本方法的積累，須要從一般的方法原理中進行提煉概括，主動聯想，橫向類比，從曾經遇到過的類似問題中找尋靈感．適用范圍構造出相應的函數、幾何圖象等具體的數學模型問題．例5(1)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD．eq\r(6)π(2)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________．名師點題構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，須要依據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向．一般通過構造新的函數、不等式或數列等新的模型將問題轉化為自己熟識的問題．在立體幾何中，補形構造是最為常用的解題技巧．通過補形能將一般幾何體的有關問題在特別的幾何體中求解，如將三棱錐補成特別的長方體等．對點訓練已知函數f(x)是定義在R上的可導函數，且對于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有()A．e2024f(－2024)<f(0)，f(2024)>e2024f(0)B．e2024f(－2024)<f(0)，f(2024)<e2024f(0)C．e2024f(－2024)>f(0)，f(2024)>e2024f(0)D．e2024f(－2024)>f(0)，f(2024)<e2024f(0)方法6估值法方法詮釋估值法就是不須要計算出代數式的精確數值，通過估計其大致取值范圍從而解決相應問題的方法．該種方法主要適用于比較大小的有關問題，尤其是在選擇題或填空題中，解答不須要具體的過程，因此可以揣測、合情推理、估算而獲得，從而削減運算量．適用范圍近幾年的高考題連續(xù)出現了一些估值、估算題，這類題主要考查了考生的估算實力．是一種粗略的計算方法．例6(1)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)(eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿意上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至頸項下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm(2)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)名師點題估算法是依據變量變更的趨勢或極值的取值狀況進行求解的方法．當題目從正面解析比較麻煩，特值法又無法確定正確的選項時，如難度稍大的函數的最值或取值范圍、函數圖象的變更等問題，常用此種方法確定選項．對點訓練圖中陰影部分的面積S是h的函數(0≤h≤H)，則該函數的大致圖象是()第2講六大常用方法（增分有招）[例1]解析：因為A＝{x|3≤x≤4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>－\f(m,2)))，A?B，所以－eq\f(m,2)<3，解得m>－6.故選A.答案：A對點訓練解析：eq\f(1,z)＝eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,（1－3i）（1＋3i）)＝eq\f(1＋3i,10)＝eq\f(1,10)＋eq\f(3i,10).故選A.答案：A[例2]解析：（1）令f（x）＝eq\f(4x,x2＋1)，則f（x）的定義域為R，且f（－x）＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f（x），所以函數為奇函數，解除C，D.又當x＝1時，f（1）＝eq\f(4,2)＝2＞0，解除B.故選A.（2）取x1＝－1，x2＝0，對于A項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A項不符合題意；對于B項有f（x1）＝eq\f(3,2)，f（x2）＝1，所以B項不符合題意；對于C項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C項不符合題意．故選D.答案：（1）A（2）D對點訓練解析：當x＝0時，有f（a）<f（0）＝0，a＜0，解除C.由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))?A，當x＝－eq\f(1,2)，a＝－eq\f(1,2)時，有f（a）＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝－eq\f(3,8)<0，解除B、D，所以選擇A.答案：A[例3]解析：（1）若四邊形ABCD為矩形，建系如圖，由eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，知M（6，3），N（4，4），所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝（6，3），eq\o(NM,\s\up6(→))＝（2，－1），所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝6×2＋3×（－1）＝9.故選C.（2）取特別點，設P為橢圓的短軸的一個端點（0，eq\r(3)），又M（－2，0），N（2，0），所以kPM·kPN＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(3,4).答案：（1）C（2）－eq\f(3,4)對點訓練解析：如圖，當△ABC為正三角形時，A＝B＝C＝60°，取D為BC的中點，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2\o(AD,\s\up6(→)),3)，則有eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\r(3))＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),\r(3))＝2m·eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\f(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))）,\r(3))＝2m×eq\f(2\o(AD,\s\up6(→)),3)，∴eq\f(2\o(AD,\s\up6(→)),\r(3))＝eq\f(4m\o(AD,\s\up6(→)),3)，∴m＝eq\f(\r(3),2)，故選A.答案：A[例4]解析：依據題意，將函數f（x）＝－x2－4x（x≤0）的圖象繞原點旋轉180°后，得到的圖象所對應的解析式為y＝x2－4x（x≥0），再作出函數y＝log2x（x>0）的圖象，如圖所示．由題意，知函數y＝x2－4x（x>0）的圖象與函數f（x）＝log2x（x>0）的圖象的交點個數即為“友好點對”的對數．由圖可知它們的圖象交點有2個，所以此函數的“友好點對”有2對．故選C.答案：C對點訓練1．解析：如圖，因為〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90°，即a與c的夾角為90°.故選B.答案：B2．解析：函數y＝|f（x）|的圖象如圖所示．①當a＝0時，|f（x）|≥ax明顯成立．②當a>0時，只需在x>0時，ln（x＋1）≥ax成立．比較對數函數與一次函數y＝ax的增長速度．明顯不存在a>0使ln（x＋1）≥ax在x>0上恒成立．③當a<0時，只需x<0時，x2－2x≥ax成立，即a≥x－2成立，∴a≥－2.綜上所述：－2≤a≤0.故選D.答案：D[例5]解析：（1）如圖所示，構造棱長為eq\r(2)的正方體PBJA-CDHG，明顯滿意題設的一切條件，則球O就是該正方體的外接球，從而體積為eq\r(6)π.故選D.（2）構造函數g（x）＝eq\f(f（x）,x)，則g′（x）＝eq\f(f′（x）·x－f（x）,x2).依據條件，g（x）為偶函數，且x>0時，g′（x）<0，g（x）為減函數，g（－1）＝g（1）＝0.∴當0<x<1時，g（x）>0