2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3講函數(shù)的奇偶性與周期性考點3函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足f(x)≥0的取值范圍是(C)A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)[解析]由已知得圖象，故選C.[引申1]若將“奇函數(shù)”改為偶函數(shù)，則結(jié)果為D.[解析]如圖．[引申2]若將不等式改為xf(x－1)≥0呢？結(jié)果為[－1,0]∪[1,3].[解析]奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，且f(－2)＝0.由xf(x－1)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,fx－1≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,－2≤x－1≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2，))解得－1≤x≤0或1≤x≤3.角度2奇偶性與周期性結(jié)合[解析]由偶函數(shù)的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì)，分析函數(shù)的周期性和對稱性，由此推斷各選項．∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函數(shù)，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,0)軸對稱，f(x)為周期函數(shù)且周期為8，故選AD.角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合[解析]因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．名師點撥：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略1．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．留意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．2．周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．3．周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2024·郴州其次次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測)已知f(x)是定義在[2b,1－b]上的偶函數(shù)，且在[2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≤f(2x)的解集為(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))[解析]∵f(x)是定義在[2b,1－b]上的偶函數(shù)，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，∵f(x)在[2b,0]上為增函數(shù)，即函數(shù)f(x)在[－2,0]上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在(0,2]上為減函數(shù)，則由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤eq\f(1,3).又因為定義域為[－2,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))∴－1≤x≤eq\f(1,3).2．(角度2)(多選題)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是偶函數(shù)，則(CD)A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x＋3)是偶函數(shù) D．f(x)＝f(x＋4)[解析]因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，從而f(－x)＝f(x＋2)．因為f(x－1)是偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x－1)，從而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．因為f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函數(shù)．3．(角度3)(2024·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋1)為奇函數(shù)，f(x＋2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝(D)A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(7,4) D．eq\f(5,2)[解析]由于f(x＋1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.依據(jù)①②可得a＝－2，b＝2，所以當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)＝－2x2＋2.依據(jù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且關(guān)于點(1,0)對稱，可得函數(shù)f(x)的周期為4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\l