河北省邢臺(tái)市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

邢臺(tái)市2023—2024學(xué)年高三（上）期末測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．若，則（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，則（）A． B．2 C． D．44．已知橢圓的上焦點(diǎn)為，則（）A． B．5 C． D．75．若，且為第三象限角，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．設(shè)，若，則的最小值為（）A．6 B． C． D．4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)（23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，人睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個(gè)，如下表：編號(hào)12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B．早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C．晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D．早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若到一條漸近線的距離為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．的坐標(biāo)可能是D．若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與的左支有交點(diǎn)，則11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B．過(guò)，，的截面面積為C．直線與所成角的余弦值為 D．與平面所成角的正弦值為12．已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．1三、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為_(kāi)_________．14．已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則其展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）15．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）求的取值范圍．18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）證明：．19．（12分）如圖，在四棱雉中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為．（1）證明：平面．（2）若二面角為，求銳二面角的余弦值．20．（12分）某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一的概率．（2）現(xiàn)學(xué)校欲對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對(duì)每道題計(jì)1分，答錯(cuò)計(jì)0分；后2道題答對(duì)每道題計(jì)2分，答錯(cuò)計(jì)0分，累積計(jì)分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員．現(xiàn)已知張同學(xué)前2道題每道題答對(duì)的概率均為，后2道題每道題答對(duì)的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學(xué)在本次考核中累積計(jì)分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號(hào)的概率．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．22．（12分）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求拋物線的方程．（2）的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間．（i）證明：，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．（ii）記的面積為，的面積為，求的取值范圍．

邢臺(tái)市2023—2024學(xué)年高三（上）期末測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案1．A因?yàn)?，所以?．C因?yàn)椋裕?．A因?yàn)?，，所以?．C因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，．因?yàn)椋?，所以?．B因?yàn)椋覟榈谌笙藿?，所以，故?．D因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，所以排除A，C．因?yàn)?，所以，所以排除B．故選D．7．B因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)椋?，所以平面．如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓．因?yàn)?，所以弧的長(zhǎng)為．8．D設(shè)，，令，解得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．9．BD因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因?yàn)橥硭后w的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對(duì)比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確．10．D因?yàn)榈綕u近線的距離為，所以．因?yàn)椋?，所以，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，，所以的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤．由上知的離心率，所以B正確．因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，直線只與右支相交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與左右兩支各交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與右支相交于兩點(diǎn)，故D正確．11．BCD取的中點(diǎn)，連接（圖略），則．因?yàn)?，相交，所以，異面，故A不正確．取的中點(diǎn)，連接，，（圖略），則等腰梯形即為過(guò)，，的截面．因?yàn)?，，所以等腰梯形的高為，面積為，故B正確．連接（圖略），因?yàn)?，所以即直線與所成的角．在中，，，所以，故C正確．連接（圖略），即與平面所成角的平面角，因?yàn)椋?，所以與平面所成角的正弦值為，故D正確．12．CD令，則，所以為奇函數(shù)．因?yàn)?，且，，所以，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)榈葍r(jià)于，所以，所以，即在上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，．令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．13．（答案不唯一）由題意知所得圖象的解析式為，令，，得，，所以所得圖象的對(duì)稱中心為．14．1792由，得．的通項(xiàng)公式為．令，得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為．15．因?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)椋褂幸饬x，需滿足，解得．16．2設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓．因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．17．解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)闉殇J角三角形，所以．（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以得．因?yàn)?，且，所以?8．證明：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，故的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知．當(dāng)時(shí)，，所以，所以．19．（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?，均為正三角形，所以，，所以為二面角的平面角，即．如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，則令，得．設(shè)平面的法向量為，，，則令，得，所以，所以銳二面角的余弦值為．20．解：（1）設(shè)事件為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一”，則．（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以的分布列為0123456所以的數(shù)學(xué)期望．張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號(hào)的概率為．21．（1）解：，，．故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：由（1）得．令函數(shù)，則，所以是增函數(shù)．因?yàn)?，，所以存在，使得，即．所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．因?yàn)?，所以，所以?/p>