上海市實驗學校2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題

上海實驗2023學年第二學期高二年級數(shù)學期中2024.05一、填空題（本大題滿分40分，共有10題．）1．己知直線經(jīng)過兩點，，則它的斜率為________．2．己知橢圓的方程為，則它的焦點坐標為________．3．己知函數(shù)，則________．4．已知點在拋物線上，則到的準線的距離為________．5．己知點，，若直線與線段有公共點，則實數(shù)的取值范圍是________．6．圓在點處的切線方程為________．7．已知點，在直線和上分別有點和，則的周長最小值為________．8．已知實數(shù)，滿足，則的最大值是________．9．設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上焦點，點在上，且，則的離心率為________．10.已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則下列命題正確的是________．（1）的準線為；（2）直線與相切；（3）；（4）．二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題．）11．是直線和直線垂直的（）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要12．已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點，則（）.A． B． C． D．13．已知直線與圖，點，則下列說法錯誤的是（）.A．若點在圓上，則直線與圓相切B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相離C．若點在圓外，則直線與圓相離D．若點在直線上，則直線與圓相切14．雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）.A． B．C． D．三、解答題（本大題滿分44分，共有4原，解答下列各題必須寫出必要的步驟）15．（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）己知圓內(nèi)一點，過點的直線的傾斜角為，直線交圓于，兩點．（1）求當時，弦的長；（2）當弦被點平分時，求直線的方程．16．（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）已知、，若動點滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若斜率為1的直線與曲線交于，兩點，且，求直線的方程．17．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題8分）己知為坐標原點，雙曲線的焦距為4，且經(jīng)過點（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點，且．（i）設(shè)直線的方程為，求證：；（ii）求的取值范圍．18．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，動點、分別在直線與橢圓上．（1）求線段的長；（2）若線段的中點在軸上，求的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點的縱坐標；若不存在，請說明理由．四、附加題19．（本題共10分，第1小題5分，第2小題5分）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．20．（本題滿分10分，第1小題2分，第2小題8分）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．

參考答案一、填空題1.;2.，;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.（2）（3）（4）；9．設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上焦點，點在上，且，則的離心率為________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得,設(shè),又點在橢圓上,∴橢圓的離心率為.10.已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則下列命題正確的是________．（1）的準線為；（2）直線與相切；（3）；（4）．【答案】（2）（3）（4）；【解析】（1）因為在拋物線上,所以,得:

所以拋物線的準線方程為:,故（1）錯誤.（2）,所以直線的方程為:由可得,拋物線方程為:聯(lián)立直線和拋物線方程可得：可得：因為,所以方程有唯一解所以直線與拋物線相切,故（2）正確.

（3）若直線的斜率不存在,則直線的方程為,直線與拋物線只有1個交點,不合題意.所以直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立可得:所以故（3）正確（4）故（4）正確.故答案為:（2）（3）（4）.二、選擇題11.A12.D13.C14.D13．已知直線與圖，點，則下列說法錯誤的是（）.A．若點在圓上，則直線與圓相切B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相離C．若點在圓外，則直線與圓相離D．若點在直線上，則直線與圓相切【答案】C【解析】圓心到直線的距離,若點在圓上,則,所以,則直線與圓相切故A正確;若點在圓內(nèi),則,所以,則直線與圓相離,故B正確；

若點在圓外,則,所以,則直線與圓相交,故C錯誤；若點在直線上,則,即，所以直線與圓相切,故D正確，綜上故選C.14．雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因為過作一條漸近線的垂線,垂足為,則,所以,聯(lián)立,可得,,即,

因為直線的斜率,整理得,

(1)(2)聯(lián)立得,,故雙曲線方程為.故選：D.三．解答題15.（1）（2）16.（1）（2）17．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題8分）己知為坐標原點，雙曲線的焦距為4，且經(jīng)過點（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點，且．（i）設(shè)直線的方程為，求證：；（ii）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）略（ii）【解析】(1)由題意知,的方程為;

(2)（i）略（ii）當斜率不存在時,設(shè),

由,此時,

當斜率存在時,設(shè)方程:,,

聯(lián)立,消去化簡得則,

,即且,

則,即,

又

令,則且,或,-,

令,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

則,即,,綜上,的取值范圍為;18．（本題滿分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，動點、分別在直線與橢圓上．（1）求線段的長；（2）若線段的中點在軸上，求的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點的縱坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在滿足題意的點,其縱坐標為-1或【解析】（1）依題意得:,由軸,得:,代入橢圓方程得：,

所以線段的長為(2)顯然,線段的中點在軸上,則,即軸,

所以(3)假設(shè)存在以為鄰邊的矩形,使得點在橢圓上,顯然,設(shè),1),,則,

因為四邊形是矩形,一定為平行四邊