高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)培優(yōu)2

高中數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第一冊第四章對數(shù)運算與對

數(shù)函數(shù)培優(yōu)專練2

第I卷(選擇題)

請點擊修改第1卷的文字說明

一、單選題

1.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點尸,。滿足條件：①P,Q都在函數(shù)y=/(x)的圖象上；②P,Q

關(guān)于原點對稱.則稱點對(尸,。)是函數(shù)y=/(x)的一對“友好點對”,(點對(P,Q)與(Q,P)

/、k)g〃x,x>0

看作同一對“友好點對").己知函數(shù)/(x)={1%...n(。>0且4W1),若此函數(shù)

X+&入<U

的“友好點對”有且只有一對，則”的取值范圍是()

A.(1)B.\，1)U(1,4)C.(；，1)U(1，+S)D.(；，l)u(4,+oo)

2.已知a=0.75,*=21og,2,c=llog23,則。、b、c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.a<b<cC.h<a<cD.c<h<a

3.已知函數(shù)/(x)=x2+/—l(x<0)與g(x)=x2+in(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,

則。的取值范圍是()

A.(-oo,l]B.(-8,&)C.(—℃,!)D.(1,&)

4.已知log〃(3a-l)恒為正數(shù)，則。取值范圍是()

122112

A.(l,+a))u(-,-)B.(1/)C.(l,+oo)u(0,-)D.

5.若21gA+5電)'25尾+2葉，則下列正確的是()

A.x>yB.x<yC.xy>\D.xy<l

6.設(shè)函數(shù)=+函數(shù)g(x)=bg2*,則方程/(x)=g(x)實數(shù)解的

個數(shù)是().

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、多選題

7.我們知道，任何一個正實數(shù)N都可以表示成N=axO(L,a<K),〃eZ).定義：W(N)

N的整數(shù)部分的位數(shù),?>0,

1￥(1.2X102)=3,IV(1.23X10)=2,

N的非有效數(shù)字0的個數(shù),〃<0,

W(3xlO-2)=2,W(3.OOlxlO')=l,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)時，W(M-N)=W(M)+W(N)

B.當(dāng)"<0時，W(N)=-n

C.若N=2'°°,1g2*0.301,則做N)=31

D.當(dāng)keN*時，W(2*)=W(2")

8.已知5"=3,8"=5，則()

A.a<bB.—l—>2C.a+-<b+^-D.a+ah<h+ba

abah

第H卷(非選擇題)

請點擊修改第II卷的文字說明

三、填空題

9.給出下列四個命題：

①函數(shù)y=/(x),xeR的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點;

②函數(shù)y=iog2/與函數(shù)y=2iogy是相等函數(shù)；

③對于指數(shù)函數(shù)y=2'與累函數(shù)y=x?,總存在X。，當(dāng)彳＞不時，有2、＞/成立；

④已知%是方程x+lgx=5的根，%是方程x+10'=5的根，則%+々=5.

其中正確命題的序號是.

10.己知函數(shù)〃x)=,(,八的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是_________

log^x-+-J,x＜0

11.如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一

種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)A。的周長和面積同時等分成兩個部

分的函數(shù)稱為圓。的一個“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說法中：

①函數(shù)/。)=五+1是圓O：f+(y-l)2=l的一個太極函數(shù);

②函數(shù)/(尤)=尸-8*+2是圓O：(x-l)2+(y-2)2=l的一個太極函數(shù);

試卷第2頁，共4頁

③函數(shù)/(x)=,尤A(A-是圓O：/+y2=1的一個太極函數(shù)；

-x-x(x<0)

④函數(shù)/(*)=111(4*2+1+q是圓。：Y+y2=1的一個太極函數(shù).

所有正確的是.

12.給出下列四個命題：①函數(shù)”司=1。&(2*-1)-1的圖像過定點(1,0)；②已知函數(shù)

“X)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)X40時，/(x)=x(x+l),則的解析式為

“x)=x2—W；③函數(shù)>=點的圖像可由函數(shù)>=色圖像向右平移一個單位得到；④

1，、「

函數(shù)>=用圖像上的點至M°，i)距離的最小值是6?其中所有正確命題的序號是

四、解答題

13.若f(x)=log?(x+2a)+log,,(x+3tz)(a>0Ka*1).

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性(不必證明);

(2)當(dāng)()<a<l時，若/(“近1在(O,y)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=2時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[見川(其中上的值域為

[log,,(p/n),log(,(/??)],求實數(shù)P的取值范圍.

=+123

14.已知函數(shù)f(x)號，g(X)7MTI-

(1)若f(a)=2,求實數(shù)〃的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并證明；

1

(3)設(shè)函數(shù)/?(x)=g(x)+](亍(彳>0),若九(2t)+mh(/)+4>0對任意的正實

數(shù)，恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍.

15.(1)/5)是以(0,+8)為定義域的減函數(shù),且對于任意x,ye(0,4w),恒有

f(xy)=fM+f(y),寫出一個滿足條件的函數(shù)f(x)的解析式；

(2)f(x)是以(7,轉(zhuǎn))為定義域的奇函數(shù),且對于任意x,ye(0,+oo),恒有

/(x+y)=,寫出一個滿足條件的函數(shù)f(x)的解析式；

(3)f(x),g(x)都是以(l,+oo)為定義域的函數(shù)，寫出一組滿足下列條件的函數(shù)/(x),g(x)

的解析式，對于下列三組條件，只需選做一組，滿分分別是①，②，③；若選擇了多于

一種的情形，則按照序號較小的解答計分.

①對于任意xe(1，+8)，恒有/[g(x)]=g"(x)l=x；

②對于任意Ke(l,+oo),恒有加(刈=g[f(x)]=x2；

③對于任意xe(l,+oo),恒有/[g(x)]=x2,glf(x)]=x4.

16.已知函數(shù)g(x)=f—2x+a在xe[l,間時有最大值為1,最小值為0.

(1)求實數(shù)“的值；

(2)設(shè)〃x)=.，若不等式，[-1。8|犬]+2-081》40在、€[4,8]上恒成立，求實數(shù)

X\2/2

k的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.c

【分析】

由“友好點對''概念知，可結(jié)合丫=1咆,兌》＞。關(guān)于原點對稱的圖像與丫=,+3|,-44》＜0的交

點情況進(jìn)一步確定即可

【詳解】

由于參數(shù)a不確定性，可分為ae（0,1）和ac（1收）兩種情況：

當(dāng)ae（l,y）時，y=log.x關(guān)于原點的對稱圖像與y=|x+3|TMx＜0的圖像如圖所示：

當(dāng)ae（O,l）時，y=bg.x關(guān)于原點的對稱圖像與y=|x+3卜-4。＜0的圖像如圖所示:

要符合“友好點對''有且僅有一對，則需滿足Tog"＞卜4+3|,解得貝

綜上所述，“c（；，l）u（l，+8）

故選C

【點睛】

本題考查函數(shù)新定義的理解，函數(shù)圖像的變換法則與數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題

2.A

【分析】

根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質(zhì)比較Ac與。的大小，利用作商法比較"c的大小.

【詳解】

答案第1頁，共17頁

3

由。=0.75=二，

4

33

因為(54)4=125<44=256，故6<4，

3

4

所以〃=log55<log54=6，

33

因為⑵)4=8〈(我4=9，故2：<6，

3

4

所以〃=log22<log2yfi=C

因為165〉58,故16〉5：，

因為35<28,故3<25，

8

叱，_2logs2_410g52_logs16log,55_

所九百"晦3一晦3肉一，

所以,

故avcvb，

故選：A

【點睛】

,33

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)將。寫成對數(shù)log、5"log"'，利用函數(shù)的單調(diào)性比較真

數(shù)大小即可，利用作商及放縮的方法可得瓦。的大小，屬于較難題目.

3.C

【分析】

〃力=/+/-1(;<:<。)關(guān)于^軸對稱的函數(shù)為：/(-%)=%2+^-1(%>0),函數(shù)

〃x)=Y+e*-1(x<0)與g(x)=幺+In(尤+“)圖像上存在關(guān)于y軸對稱的點，即/(-x)=g(x)

有解，通過數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

/(力=%2+/—l(x<0)關(guān)于)軸對稱的函數(shù)為：/(-x)=x2+^-l(x>0),

函數(shù)〃x)=x2+/—l(x<0)與g(x)=f+in(x+a)圖像上存在關(guān)于y軸對稱的點，

即/(-x)=g(x)有解，即f-1=尤2+ln(x+a)有解，

答案第2頁，共17頁

整理得：e-*-l=ln(x+a),

轉(zhuǎn)化為y=/，-1和產(chǎn)ln(x+〃)的圖像存在交點，如圖:

故當(dāng)4<1時>="，-1和y=ln(x+a)的圖像存在交點，

故選：C.

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍：

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

4.A

【分析】

分兩種情況分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

當(dāng)0<”1時,y=log°x是減函數(shù)，log“(3a-l)>0,

12

貝ij0<3a—1<1>解得q<a<q；

當(dāng)a>l時，yTog”》是增函數(shù)，log(,(3a-l)>0,

,2

則3?—1>1,解得—<a,又a>l,所以a>l；

12

綜上”取值范圍是

故選A

答案第3頁，共17頁

【點睛】

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、利用單調(diào)性解不等式，分類討論，屬于中檔題.

5.C

【分析】

由題：均為正數(shù)，進(jìn)行變量分離，便可構(gòu)造一個單調(diào)函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性比較變量大

小.

【詳解】

,?,,ig-is1,.ig-ig1.

,2lgc+5lgv>5>'+2>'*'2lgJ-5r>2-5lgv

即涉、一5味令/(犬)=2匹—(J,則/(I=2*-5虞

：/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/。注/'),.門之5.?.孫之1

故選C.

【點睛】

此題考查指數(shù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判別，利用單調(diào)性比較大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造出所需單

調(diào)函數(shù)，對分析問題能力要求較高.

6.C

【分析】

根據(jù)函數(shù)g(x)=log?x在(0,+8)上單調(diào)遞增和在任意區(qū)間+neN上,函數(shù)/(X)的值

為定值得在任意區(qū)間[”,"+1),neN上,方程f(x)=g(x)至多有一個實數(shù)解，再分別對

x€(0,l)時，xe[l,2)時,xw[2,3)時,求得八幻=g(x)的解，再運用數(shù)學(xué)歸納法證明

+n>3,〃eN時，/*)>g(x)恒成立，即/(幻=g(x)無解，從而得選項.

【詳解】

由題意知/(x)="T,xe[?,n+l),nwN,g(x)=log2x,則f(x)=g(x)時，x>0.

由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)g。)=log,x在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由/(x)=〃-l,+知：在任意區(qū)間+,neN上,函數(shù)的值為定

值.

則在任意區(qū)間[〃，"+1),"?N上，方程/(x)=g(x)至多有一個實數(shù)解.

答案第4頁，共17頁

①當(dāng)xe(O,l)時，/(x)=O-l=-l,令g(x)=log2X=-l,解得x=ge(O,l),

故此時f(x)=g(x)有唯一解x=1；

②當(dāng)xe[l,2)時，/(x)=l-l=O,令g(x)=O,解得x=20=le[l,2),

故此時f(x)=g。)有唯一解x=l；

③當(dāng)xe[2,3)時，/(x)=2-1=1,令g(x)=l,解得x=21=2e[2,3),

故此時/(x)=g(x)有唯一解x=2；

④當(dāng)xw[3,4)時,/(x)=3-1=2,令g(x)=2,解得x=2?=4任[3,4),

故此時〃x)=g(x)無解，S^g(x)=log2x<log24=2,所以〃x)>g(x)恒成立；

⑤設(shè)xe[w,〃+l),n>3,時，/(尤)>g(x)恒成立，

而x￡[〃,〃+l),n>3,時，g(x)e[log2M,log2(/z+l)),

則/(x)>g(x)恒成立等同于log2(n+l)<〃-1恒成立，

當(dāng)X€[〃+1,〃+2),n>3,“eN時，

2n+2

g(x)<log,(〃+2)=log,(〃+1)+log2<log,(〃+1)+log2=log,(n+l)+l

n+\n+\

<(“-1)+1="=/(x),

所以當(dāng)xe["+l,〃+2),“23,〃eN時，則有f(x)>g(x)仍然恒成立.

由④知〃=3時，即xe[3,4)時，/(x)>g(x)恒成立，

則+n>3,”wN時，/(x)>g(x)恒成立，即f(x)=g(x)無解.

綜上所述，方程/(x)=gW的實數(shù)根為x=g,x=l以及x=2,共3個.

故選C.

【點睛】

本題主要考查對數(shù)函數(shù)和對數(shù)方程的解，本題的主要思考要點有兩點：一是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性和在任意區(qū)間+〃eN上，函數(shù)Ax)的值為定值得出，在任意區(qū)間5,〃+1),

〃eN上，方程f(x)=g(x)至多有一個實數(shù)解:二是運用數(shù)學(xué)歸納法證明+

〃eN時，f(x)>g(x)恒成立，本題屬于難度題.

7.BCD

【分析】

答案第5頁，共17頁

先要通過舉例，搞清楚W（N）的意義，Ne[10"/0"M）（”eN）時，N的整數(shù)部分的位數(shù)為n+1,

當(dāng)"410",10"”）（〃=-1,-2,-3一..）1的非有效數(shù)字中0的個數(shù)為〃.然后通過舉例可以否定

A；通過一般性論證判定B；借助于對數(shù)指數(shù)運算，和不等式的性質(zhì)，判定CD：

【詳解】

當(dāng)NW10,100）時，N的整數(shù)部分位數(shù)為2,當(dāng)Ne[100,1000）時，N的整數(shù)位數(shù)為3,一般

地，/Ve[10M0n+l）（neN）^,N的整數(shù)部分的位數(shù)為〃+1,

當(dāng)Nw[0.1,l）時，N的非有效數(shù)字中。的個數(shù)為1,當(dāng)Ne[0.01,0.1）時，比如，0.010101023,

其非有效數(shù)字中。的個數(shù)為2,一般地，當(dāng)Ne[10",10"M）（n=-1,-2,-3,…）,N的非有效數(shù)字

中0的個數(shù)為〃.

取N=T0,則W（M）=3,W（N）=2,W（MN）=W（1（）3）=4H5=W（M）+W（N）,

取用=500,*=50,卬（知）=3,卬（2=2,卬（的）=卬（25000）=5=卬（例）+卬（7）,故人有不

正確的時候，故A錯誤；

當(dāng)〃<0時，N=axl0"e[l（T",10e）,.?.W（N）=-〃，B正確；

因為N=2i°°,Ig2=0.301,則lg2100=1001g2=30.1,n=30,10304N<10",W（N）=31,故C

正確；

AeN*時，根據(jù)定義，由于2"為正整數(shù)，且不可能是10的倍數(shù)，，存在力eN,使得

10"'<2k<10"",此時卬（2*）=〃?+1

KT5叫<2"<10。W（2"）="+1,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】

結(jié)論點睛：本題考查新定義問題，涉及指數(shù)與指數(shù)基的運算，對數(shù)與對數(shù)運算，難度較大.必

要的時候通過具體實例理解新定義函數(shù)的意義是重要的思維途徑.在D的判定中，注意不等

式的性質(zhì)的運用，上€“時，2’為正整數(shù)，且不可能是10的倍數(shù)是關(guān)鍵的，由此才能得出

Mg）<2“<]0-，"，特別是右端不能取等號，否則比如0.01<x40.1的話，不能得出W（x）=2

的結(jié)論，其中卬（。/）=1.注意小數(shù)中非有效數(shù)字概念，比如0010101023中10101023是有效

答案第6頁，共17頁

數(shù)字.

8.ABD

【分析】

根據(jù)條件求得表達(dá)式，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正確,

通過作差法判斷C錯，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正確.

【詳解】

解：；5“=3,8"=5，

/.a=log；,b=log；,

因為34<5。=3<5’nlog53<log55"=^-,

又由54>83n5>8?=>log85>k)g881=：,所以。選項A正確；

。<a=log；<1,0<b=log^<1,則一>1,—>1?所以—b—>2,選項B正確；

abab

因為0<a<Z?<l,則b-a>0,此時

ab

&+=(a_b)+>0,

所以〃+_1>力+:，故選項C不正確；

ab

iQa

由和；<匕<1知f(x)=a*與g(x)=6，均遞減，

再由“，b的大小關(guān)系知dv/Zc/ndc/ncz+a'c匕+b",故選項D正確.

故選：ABD

【點睛】

本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運用了指對數(shù)運算性質(zhì)，作差法和放縮法.

9.③④

【分析】

由函數(shù)的定義對①②判斷，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對③判斷，利用數(shù)形結(jié)合思想對④判斷.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)定義，對定義域內(nèi)的任意一個工值，只有唯一的)'值與之對應(yīng)，，函數(shù)y=/(x),

xwR的圖象與直線x=a可能有一個或0個交點，因此①錯；

y=log2/中定義域是(-co,0)U(。,+8),函數(shù)y=2log?x的定義域是(0,+oo),定義域不相同，

答案第7頁，共17頁

不是同一函數(shù)，②錯；

當(dāng)x>4時，2*>f,因此③正確;

如圖，和三分別是函數(shù)y=lgx、y=10'的圖象與直線y=5-x的交點尸、。的橫坐標(biāo)，由

于y=lgx與y=10,是互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，而直線丫=5-》與直線

尸x垂直，因此AQ兩點關(guān)于直線V=x對稱，直線y=5-x與直線y=x的交點為（注），

???玉+W=2xg=5.④正確.

故答案為③④.

【點睛】

本題考查函數(shù)的概念，考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).掌握函數(shù)概念，掌握指數(shù)函

數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).在解決方程的根與函數(shù)零點關(guān)系問題時，數(shù)形結(jié)合思想是

重要的方法之一.

【分析】

可由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性確定其范圍，要滿足值域為R,指數(shù)函數(shù)的值域

也就確定了，然后把指數(shù)部分的二次三項式重新設(shè)函數(shù)，通過分類討論去求解對應(yīng)的取值范

圍.

【詳解】

2/T+\X>OI

函數(shù)/（》）=,（,nc，所以當(dāng)X40時，log,（X2+-）<1,

log.lx-+-l,x<012

答案第8頁，共17頁

所以x>0時，2/一?川得取遍所有大于1的數(shù)，故其指數(shù)得取遍所有大于0的數(shù).

因為x>0,g(x)=ax2-x+l,

當(dāng)a=0時，g(x)=-x+l〈l不成立；

當(dāng)4<0時，其開口向下，有最大值，無法去到正無窮，舍去；

當(dāng)aX)時，其開口向上，對稱軸大于0,故需對稱軸對應(yīng)的值小于等于0,故有：aX)且

中40=0<aV；,綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是0,；.

4a414」

故答案為：10,；.

【點睛】

二次三項式在進(jìn)行討論的時候要首先考慮二次項系數(shù)為0的情況，然后根據(jù)題意，去討論開

口或者討論△.

11.①②③④

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，作出每個函數(shù)的圖像，探討每個函數(shù)的對稱性，進(jìn)而得到答案.

【詳解】

①兩曲線的對稱中心均為點(0,1),且兩曲線交于兩點，所以/。)=分+1能把圓

故正確；

②函數(shù)/5)=61-61+2關(guān)于點(1,2)對稱，經(jīng)過圓的圓心，且兩曲線交于兩點，如圖:

答案第9頁，共17頁

所以函數(shù).f(x)=e'T-ej+2是圓O:(x-iy+(y-2)2=l的一個太極函數(shù)，故正確;

③函數(shù)。;黑為奇函數(shù)，如圖:

二式設(shè)是圓。:f』的一個太極函數(shù)，故正確;

所以函數(shù)，(x)=

④函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，如圖,

所以函數(shù)/(x)=ln(V?W+x)是圓。:/+丁=1的一個太極函數(shù)，故正確.

故答案為：①②③④.

12.②④

【詳解】

試題分析:

對于①，當(dāng)x=l時，/(l)=log(,(2xl-l)-l=-l,,故①錯；對于②，當(dāng)xNO時，-x<0,

答案第10頁，共17頁

又因為函數(shù)/*)是偶函數(shù)，0fW/(x)=/(-%)=-X(-X+1)=X2-X,綜上有/0)二12一國

11

故②正確；對于③，函數(shù)了=H圖像向右平移一個單位得到的函數(shù)的解析式為丁=兩，不

是)丁去，所以③錯誤；對于④，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)丁=卡的圖象(如下圖所示),

1

因為函數(shù)丁=時是偶函數(shù)，所以只需考慮xNO的情況即可，由圖象可知當(dāng)-ivxvl時，

函數(shù)圖象上的點到(0,1)距離的最小值為2,當(dāng)國＞1時，因為函數(shù)1'=而"是偶函數(shù)，所以

只需考慮X＞1即可，這時＞=去，所以函數(shù)圖象上的點到(0,1)的距離d=Jx2+(W-lj

因為

12>>12

-----7-----+l=(x-l)~+-----7+2(%—1)------+2

(1)2x-l(x-l)2X-1

2

1

=(x—1)+2(x-1)-+4

xX--1x-1

令(1)-占“則〃=Jf+2_________________________

|=,產(chǎn)―2，+4=J?_l)2+3，所以當(dāng)

“有最小值石，即④正確，故應(yīng)填②④.

考點：1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.函數(shù)的奇偶性：3.函數(shù)圖象的平移變換；4.基本不等式.

【名師點睛】

本題考查參數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、圖象變換、基本不等式，屬難題；解決正

確命題的序號問題是較難的題，學(xué)生必須對所有命題逐個甄別，才能得出正確結(jié)論，而且考

查知識面大，用到的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想較多，是體現(xiàn)學(xué)生綜合素質(zhì)的題型.

答案第11頁，共17頁

13.(1)當(dāng)”>1時，/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<“<1時，/(x)單調(diào)遞減；(2)(3)

(10+4跖20).

【分析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可分類得到結(jié)果；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=x2+5ar+6/-心0在(0,轉(zhuǎn))上恒成立，通過分析二次函數(shù)的圖

象可知只需g(0)20即可滿足題意，由此構(gòu)造不等式求得。的范圍；

(3)將問題轉(zhuǎn)化為〃(刈=9+(10-〃戶+24在(0,6)上有兩個不等實根，通過分析二次函數(shù)

的圖象得到不等式組，由不等式組可求得。的范圍.

【詳解】

(1)由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可知：

當(dāng)a>1時，y=1og〃(x+2a)與y=log“(x+3a)均單調(diào)遞增，.?J(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<白<1時，丁=108。(%+2〃)與丁=108”(工+3々)均單調(diào)遞減，，/(6單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)0<。<1時，由(1)知：/(x)單調(diào)遞減；

,//(x)=log”[(x+2a)(x+3a)]=log”(爐+5or+6/)<1,

/.x2+5ax+6a2>a,BPx2+5以+6'『一aNO在(。,+向上恒成立，

令g(%)=%2+5OT+6Q2-a,

則g(x)為開口方向向上，對稱軸為x=-|a<0的二次函數(shù)，

若g(x)Z0在(0,+的上恒成立，則只需g⑼=6/一心0,解得：<o(舍)或

flO

實數(shù)〃的取值范圍為七』).

(3)由(1)知：當(dāng)a=2時，f(x)單調(diào)遞增，

[/(?)=logjpn)

m24-10m+24=pm+(10-p)〃？+24=0

〃-+10〃+24=pn+(10-p)〃+24=0

則可將問題轉(zhuǎn)化為〃(x)=%2+(I0-p)x+24在(0,6)上有兩個不等實根；

答案第12頁，共17頁

A=(10-p)2-96>0

10—p

<?~<,解得：10+4太<p<20,

〃(0)=24>0

/?(6)=36+6(10-p)+24>0

實數(shù)P的取值范圍為(10+4跖20).

【點睛】

思路點睛：本題考查了函數(shù)中的恒成立和根據(jù)值域求參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)?/p>

個問題都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的分析問題，通過分析所需的二次函數(shù)圖象得到不等關(guān)

系，進(jìn)而由不等關(guān)系求得參數(shù)范圍.

14.(1)a=log23；(2)函數(shù)/(x)在(-8,0),(0,+oo)上單調(diào)遞減，證明見解析(3)

[-3,+oo).

【分析】

Q)根據(jù)/(。)=2,代入解析式求解.

(2)函數(shù)/(x)在(-oo,0),(0,+oo)上單調(diào)遞減，用單調(diào)性的定義證明.

(3)化簡得至U〃(x)=2，+!(x>0),將〃(2。+〃也(/)+4=2”+套+小(2'+：)+4>0對任

意的正實數(shù)f恒成立，通過換元〃=2'+5。>0),(2,+oo),轉(zhuǎn)化為始+,叩+2>0對任

意蚱(2,+8)恒成立，即+：對任意再(2,+8)恒成立，再求解y=+

最大值即可.

【詳解】

⑴???"〃)=沿=2，

z—1

???2。=3,

.*.6f=10g23；

(2)函數(shù)/(x)在(-8,0),(0,+00)上單調(diào)遞減,

證明如下：

函數(shù)的定義域為(-8,0)u(0,+00),

答案第13頁，共17頁

2T+1

因為/（.）

2-t-l

所以/(x)是奇函數(shù)

任取玉,與w(0,+oo)且由＜x?

-l+^_

2r-l

/(玉)一〃々)=|+七一(l+舟)2（2e—2為）

（2'1-l）（2t;-1）

因為玉,赴e(0,+oo)

所以2』-1>0,2匹-1>0

因為西＜X［

所以2/-2由＞0

所以〃西)-/伍)＞0

所以/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

又因為/(x)是奇函數(shù)

故函數(shù)/(X)在(-8,0),(0,+oo)上單調(diào)遞減；

2

(3)式加百二+修舊。)，心)=2，+鼻＞0),

為72

.?.%(〃)+加(f)+4=2”+,+《2'+")+4＞0對任意的正實數(shù)什亙成立,

令〃=2'+白＞0),則昨(2,+oo),

爐+叫1+2＞0對任意(2,+oo)恒成立，

即，〃＞-〃+2］對任意(jG(2,+oo)恒成立，

又y=-(〃+(在(2,+oo)上單調(diào)遞減，故一(〃+

貝1」成2-3,即實數(shù)，”的取值范圍為［-3,+oo).

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的

能力，屬于中檔題.

答案第14頁，共17頁

2\x>0

15.(1)/(x)=log05x,x>0;(2)/W=-0,x=0；(3)答案不唯一，具體見解析.

-Tx,x<Q

【分析】

(1)根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)和單調(diào)性，即可得出/。)=logos》，%>0,滿足

條件；

2\x>0

(2)根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)