蘇教版初中數(shù)學(xué)相似三角形-有答案有解釋

蘇教版初中數(shù)學(xué)相似三角形專題

一.填空題(共7小題)

1.已知aABC在坐標(biāo)平面內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,2)、B(3,3)、C(2,

1).以B為位似中心，畫(huà)出與AABC相似(與圖形同向)，且相似比是3的三角

形，它的三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是—.

2.如圖，將^ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在

格點(diǎn)上.

(I)AABC的面積等于—；

(II)若四邊形DEFG是aABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所

示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫(huà)出該正方形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法(不要求證

明)—.

3.如圖是兩張大小不同的4X4方格紙，它們均由16個(gè)小正方形組成，其中圖

①與圖②中小正方形的面積比為5：4,請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出格點(diǎn)正方形EFGH,使它

與圖①中格點(diǎn)正方形ABCD的面積相等.

D

-AZc

B

①②

4.如圖,在RtAABC中，ZC=90°,CD±AB,垂足為D,AD=8,DB=2,則CD

的長(zhǎng)為.

5.如圖，在RtaABC中，NACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,CD=2,BD=1,則AD的

長(zhǎng)是____,AC的長(zhǎng)是____.

C

ADB

6.如圖，若CD是RtAABC斜邊CD上的高，AD=3cm,CD=4cm,則BC的長(zhǎng)等

于A___cm.

cB

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0),D(30),AABC與aDEF位

似，原點(diǎn)0是位似中心.若AB=1.5,則DE=____.

二.解答題(共23小題)

8.如圖，四邊形ABCDs四邊形ABCD，，求邊x、y的長(zhǎng)度和角a的大小.

9.已知矩形ABCD中，在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將4ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在

AD上的F點(diǎn)，且四邊形EFDC與矩形ABCD相似.

(1)求證：四邊形ABEF是正方形；

(2)求證：F點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn).

AFD

BEC

10.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交

點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一

個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完

美分割線.

(1)如圖①，在^ABC中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°,求證：CD是4

ABC的完美分割線；

(2)如圖②，在^ABC中，AC=2,BC=&,CD是aABC的完美分割線，且4ACD

是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng).

11.如圖，BD〃AC,AB與CD相交于點(diǎn)O,AOBD^AOAC,四2,OB=4,求

OC3

AO和AB的長(zhǎng).

12.如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，4PCD是等邊三角形，且△ACPs^PDB,求

13.已知：如圖，D是BC上一點(diǎn)，AABC^AADE,求證：Z1=Z2=Z3.

14.如圖，^ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s

的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以lcm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、

Q同時(shí)出發(fā)，要使△CPQ與4CBA相似，所需要的時(shí)間是多少秒？

15.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED,DF=±DC,

4

連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：△ABES/XDEF；

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4,求BG的長(zhǎng).

16.如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，4ACD和4BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE,

BD,設(shè)AE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：△ACEgZWCB；

(2)求證：aADFs^BAD.

17.如圖：已知ABLDB于B點(diǎn)，CD_LDB于D點(diǎn)，AB=6,CD=4,BD=14,在DB

上取一點(diǎn)P,使以CDP為頂點(diǎn)的三角形與以PBA為頂點(diǎn)的三角形相似，則DP的

長(zhǎng).

DPB

18.如圖，在aABC中，ZC=90°,DM，AB于點(diǎn)M,DNJ_BC于點(diǎn)N,交AB于

點(diǎn)E.

求證：△DMEsaBCA.

19.在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE垂直AC交AC于點(diǎn)F,求證：Z^DEF

s/XEBD.

20.如圖，在aABC中，ZBAC=90°,M是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AM的垂線，交

CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：△DBAsaDAC.

21.如圖，已知AC〃BD,AB和CD相交于點(diǎn)E,AC=6,BD=4,F是BC上一點(diǎn),

SABEF：S^EFC=2：3.

(1)求EF的長(zhǎng)；

(2)如果4BEF的面積為4,求^ABC的面積.

22.如圖，已知在四邊形ABCD中，AD〃BC,E為邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE

交邊AB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G,且羽_=也.

GDCE

(1)求證：AB〃CD；

(2)如果AD2=DG?DE,求證：EG—AG

CE2AC

23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZCDA,AB=DC=Vab，CE=a,AC=b,

求證:

(1)ADEC^AADC；

(2)AE?AB=BC?DE.

D

E

B

24.已知：如圖，菱形ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,BE1DC,垂足為點(diǎn)E,

交AC于點(diǎn)F.求證：

(1)AABF^ABED；

(2)至圖.

BEDE

25.某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城

南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾

何知識(shí)測(cè)量"望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過(guò)

觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)

量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣"

之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM

上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)

D時(shí)，看至?xí)缤麻w”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小

亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方

法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到

達(dá)"望月閣"影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米,FG=1.65

米.

如圖，已知ABLBM,ED±BM,GF±BM,其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度

忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出"望月閣"的高AB的長(zhǎng)度.

26.小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，影子的大小與光源

到物體的距離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長(zhǎng)度計(jì)算光源到物體

的位置.于是，他們做了以下嘗試.

(1)如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,邊長(zhǎng)AB為30cm,在其正上

方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A-B,D，C的長(zhǎng)度和為

6cm.那么燈泡離地面的高度為.

(2)不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為30cm的正方形框架按圖2擺放,

請(qǐng)計(jì)算此時(shí)橫向影子A，B,D，C的長(zhǎng)度和為多少？

(3)有n個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形按圖3擺放，測(cè)得橫向影子AB,Dt的長(zhǎng)度和為

b,求燈泡離地面的距離.(寫(xiě)出解題過(guò)程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示)

27.如圖，一位同學(xué)想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高(AB),他在某一時(shí)刻測(cè)得高為1m的

竹竿影長(zhǎng)為0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)量樹(shù)影時(shí)，因樹(shù)靠近一幢建筑物，影子不全落

在地面上，有一部分影子在墻上(CD),他先測(cè)得留在墻上的影高(CD)為1.2m,

又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)(BC)為2.7m,他測(cè)得的樹(shù)高應(yīng)為多少米？

28.如圖，M、N為山兩側(cè)的兩個(gè)村莊，為了兩村交通方便，根據(jù)國(guó)家的惠民政

策，政府決定打一直線涵洞.工程人員為了計(jì)算工程量，必須計(jì)算M、N兩點(diǎn)之

間的直線距離，選擇測(cè)量點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測(cè)得AM=1

千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N兩點(diǎn)之間的直線

距離.

29.如圖，要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長(zhǎng)2米，且與

燈柱BC成120。角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線D。與燈臂CD垂直，當(dāng)燈

罩的軸線DO通過(guò)公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳，求路燈的燈柱BC高度.

D

AB

30.如圖，以原點(diǎn)。為位似中心，把^OAB放大后得到AOCD,求AOAB與4

蘇教版初中數(shù)學(xué)相似三角形專題

參考答案與試題解析

一.填空題（共7小題）

1.（2014?黃岡模擬）已知aABC在坐標(biāo)平面內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,2）、

B（3,3）、C（2,1）.以B為位似中心，畫(huà)出與aABC相似（與圖形同向），且

相似比是3的三角形，它的三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-6,0）、（3,3）、

（0,-3）.

【考點(diǎn)】作圖一相似變換.

【專題】作圖題.

【分析】根據(jù)把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相

似圖形，在改變的過(guò)程中保持形狀不變（大小可變）即可得出答案.

【解答】解：把原三角形的三邊對(duì)應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對(duì)應(yīng)的相

似圖形.

它的三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：（-6,0）、（3,3）、（0,-3）.

故答案為：（-6,0）、（3,3）、（0,-3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似變換作圖的知識(shí)，注意圖形的相似變換不改變圖形中每

一個(gè)角的大??；圖形中的每條線段都擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù).

2.（2013?天津）如圖，將aABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、

B、C均落在格點(diǎn)上.

（I）AABC的面積等于6；

（II）若四邊形DEFG是aABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所

示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫(huà)出該正方形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）

取格點(diǎn)P連接PC,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q,連接PQ與AC相

交得點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線，與AB相交得點(diǎn)E,分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平

行線，與CB相交得點(diǎn)GF,則四邊形DEFG即為所求.

【考點(diǎn)】作圖一相似變換；三角形的面積；正方形的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】（I）^ABC以AB為底，高為3個(gè)單位，求出面積即可；

（II）作出所求的正方形，如圖所示，畫(huà)圖方法為：取格點(diǎn)P,連接PC,過(guò)點(diǎn)A

畫(huà)PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q,連接PQ與AC相交得點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平

行線，與AB相交得點(diǎn)E,分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線，與CB相交得點(diǎn)G,F,

則四邊形DEFG即為所求

【解答】解：（I）^ABC的面積為：1X4X3=6；

2

（II）如圖，取格點(diǎn)P,連接PC,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q,連

接PQ與AC相交得點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線，

與AB相交得點(diǎn)E,分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線，與CB相交得點(diǎn)G,F,

則四邊形DEFG即為所求.

故答案為：（I）6；（II）取格點(diǎn)P,連接PC,過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線，與BC交

于點(diǎn)Q,連接PQ與AC相交得點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線，與AB相交得點(diǎn)E,

分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線，與CB相交得點(diǎn)G,F,則四邊形DEFG即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了作圖-位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質(zhì)，作出

正確的圖形是解本題的關(guān)鍵.

3.（2012?鼓樓區(qū)一模）如圖是兩張大小不同的4X4方格紙，它們均由16個(gè)小

正方形組成，其中圖①與圖②中小正方形的面積比為5：4,請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出格

點(diǎn)正方形EFGH,使它與圖①中格點(diǎn)正方形ABCD的面積相等.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)圖①與圖②中小正方形的面積比為5：4,求出圖①中正方形ABCD

的面積為8,進(jìn)而得出正方形EFGH的面積即可.

【解答】解：根據(jù)圖①與圖②中小正方形的面積比為5：4,

圖①中正方形ABCD的面積為8,使它與圖①中格點(diǎn)正方形ABCD的面積相等，

則圖②中正方形EFGH的面積為10,

如圖所示：

E

H

G

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形相似的性質(zhì)，根據(jù)圖①與圖②中小正方形的面積比

為5：4得出兩個(gè)大正方形面積之比是解題關(guān)鍵.

4.（2016春?蘇州期末）如圖,在RtaABC中，ZC=90°,CD±AB,垂足為D,

【考點(diǎn)】射影定理.

【分析】根據(jù)射影定理得到：CD2=AD.BD,把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入計(jì)算即可.

【解答】解：?.?在RtAABC中，ZC=90",CD1AB,垂足為D,AD=8,DB=2,

，CD2=AD?BD=8X2,

則CD=4.

故答案是：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了射影定理.Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊BC上的高,

則有射影定理如下：①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD*BC.

5.（2015春?成都校級(jí)期末）如圖,在RtaABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,

CD=2,BD=1,貝UAD的長(zhǎng)是4,AC的長(zhǎng)是2亞.

【考點(diǎn)】射影定理.

【分析】由在RtaABC中，ZACB=90°,CD1AB,根據(jù)同角的余角相等，可得/

ACD=ZB,又由NCDB=NACB=90°,可證得△ACDs/\CBD,然后利用相似三角形

的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AD,然后根據(jù)勾股定理即可求得AC.

【解答】解:?..在RtZXABC中,ZACB=90°,CD±AB,

/.ZCDB=ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,

，NACD=NB,

.,.△ACD^ACBD,

?ADCD.

，，CDBD，

VCD=2,BD=1,

?AD2

??z:-，

21

；.AD=4,

在RgACD中，AC=^AD2+cD2=^2^2=275,

故答案為：4,2、后.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).此題難度

不大，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成

比例定理的應(yīng)用.

6.（2015秋?太原校級(jí)期末）如圖，若CD是RtAABC斜邊CD上的高，AD=3cm,

CD=4cm,則BC的長(zhǎng)等于型cm.

-J_一

B

【考點(diǎn)】射影定理.

【分析】根據(jù)射影定理求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)射影定理計(jì)算即可.

【解答】解：；CD是RtAABC斜邊CD上的高，

.*.CD2=AD*DB,

/.BD=W,

3

則AB=AD+BD=空，

3

BC2=BD?BA*_X空，

33

/.BC=%

3

故答案為：20.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是射影定理的應(yīng)用，射影定理：直角三角形中，斜邊上的高

是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射

影和斜邊的比例中項(xiàng).

7.（2016?三明）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1,0）,D（3,0）,AABC

與4DEF位似，原點(diǎn)。是位似中心.若AB=1.5,則DE=4.5.

【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出AO,D。的長(zhǎng)，進(jìn)而得出地=坐=工，求出DE

DODE3

的長(zhǎng)即可.

【解答】解：:△ABC與DEF是位似圖形，它們的位似中心恰好為原點(diǎn)，已知A

點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

/.AO=1,DO=3,

???A--O--_--A--B-—_—1.J

DODE3

VAB=1.5,

ADE=4.5.

故答案為：4.5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)已知點(diǎn)的

坐標(biāo)得出必膽=L是解題關(guān)鍵.

DODE3

二.解答題（共23小題）

8.（2016秋?長(zhǎng)春期中）如圖，四邊形ABCDs四邊形ABCD,求邊x、y的長(zhǎng)度

和角a的大小.

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【分析】直接根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：..?四邊形ABCDs四邊形AEUDZ,

，工一-3ZC=a,ZD=ZDz=140°.

8~11~6

：.x=12,力％a=ZC=360°-ZA-ZB-ZD=360°-62°-75°-140°=83°.

丫2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)

應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2015秋?蕭縣校級(jí)月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將4

ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，且四邊形EFDC與矩形ABCD相似.

（1）求證：四邊形ABEF是正方形；

（2）求證：F點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn).

AFD

、、

%、

X、

、

、

BEC

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；黃金分害I.

【分析】（1）根據(jù)題意證明四邊形ABEF是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AF,

證明結(jié)論；

（2）根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到AB2=FD?AB,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到答案.

【解答】證明：（1）VZB=ZBAF=ZAFE=90°,

四邊形ABEF是矩形，

由折疊的性質(zhì)可知AB=AF,

二四邊形ABEF是正方形；

（2）?四邊形EFDC與矩形ABCD相似

比里，又AB=CD,

ABAD

.*.AB2=FD?AB,又AB=AF,

/.AF2=FD*AB,

，F(xiàn)點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)和黃金分割的概念，掌握相似多邊形的

性質(zhì)為：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵，注意把線段分成兩條線段,

且使較長(zhǎng)是已知線段和較短的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割.

10.（2016秋?灤南縣期中）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射

線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果

分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條

線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.

（1）如圖①，在^ABC中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°,求證：CD是4

ABC的完美分割線；

（2）如圖②，在^ABC中，AC=2,BC=&,CD是aABC的完美分割線，且4ACD

是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NACB=80。，根據(jù)角平分線的定義得到

ZACD=40°,證明△BCDs^BAC,證明結(jié)論；

(2)根據(jù)△BCDs^BAC,得到風(fēng)型_,設(shè)BD=x,解方程求出X,根據(jù)相似三

BABC

角形的性質(zhì)定理列式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)VZA=40",ZB=60°,

，ZACB=80°,

.??△ABC不是等腰三角形，

VCD平分NACB,

/.ZACD=ZBCD=iZACB=40°,

2

，ZACD=ZA=40°,

/.△ACD是等腰三角形，

VZBCD=ZA=40°,ZCBD=ZABC

/.△BCD^ABAC,

ACD是4BAC的完美分割線；

(2)v△BCDABAC,

；iBCBD；

VAC=AD=2,BC=&,

設(shè)BD=x,則AB=4+x,

?V2_x

x+2V2

解得x=-1±V3，

*.'x>0,BD=x=-1+A/3>

V△BCDABAC,

???C-D二--B-D,

ACBC

VAC=2,BC=&,BC=-I+V3

CD=^1x2=V6-近.

V2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似

三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

IL（2016秋?蓮都區(qū)校級(jí)月考）如圖，BD〃AC,AB與CD相交于點(diǎn)0,AOBD

^△OAC,嗎2,OB=4,求AO和AB的長(zhǎng).

0C3

AC

w

DB

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).

【分析】由相似比可求得OA的長(zhǎng)，再利用線段的和可求得AB長(zhǎng).

【解答】解：

,/△OBD^AOAC,

???0，B-L0，DL-2i,

OAOC3

.?.幺2,解得OA=6,

OA3

.*.AB=OA+OB=4+6=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解

題的關(guān)鍵.

12.（2015秋?佛山期末）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，Z\PCD是等邊三角形,

且△ACps/\PDB,求NAPB的度數(shù).

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NPCD=60。，根據(jù)相似三角形的判定定理證

明△ACPs^ABP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案.

【解答】解：:△PCD是等邊三角形，

.?.ZPCD=60°,

/.ZACP=120",

,/△ACP^APDB,

/.ZAPC=ZB,又NA=NA,

/.△ACP^AABP,

.,.ZAPB=ZACP=120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等

是解題的關(guān)鍵.

13.（2015秋?延慶縣期末）已知：如圖，D是BC上一點(diǎn)，AABC^AADE,求證:

Z1=Z2=Z3.

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).

【分析】由相似三角形的性質(zhì)易證N1=N2,再由三角形內(nèi)角和定理易證N2=N3,

進(jìn)而可證明N1=N2=N3.

【解答】證明：???△ABCS/XADE,

AZC=ZE,ZBAC=ZDAE,

AZBAC-ZDAC=ZDAE-NDAC,

即N1=N2,

在^AOE和△DOC中，

ZE=ZC,ZAOE=ZDOC（對(duì)頂角相等），

；.N2=N3,

/.Z1=Z2=Z3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的各種性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.（2015秋?泗縣期中）如圖，Z\ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以lcm/s的速度向點(diǎn)A

移動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，要使△CPQ與4CBA相似，所需要的時(shí)間是多

少秒？

0

B-----?PC

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】動(dòng)點(diǎn)型；分類討論.

【分析】若兩三角形相似，則由相似三角形性質(zhì)可知，其對(duì)應(yīng)邊成比例，據(jù)此可

解出兩三角形相似時(shí)所需時(shí)間.

【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，

①若RtAABC^RtAQPC則柜?二毀，即3=——解之得t=1.2；

BC-PC44-2t

②若RtAABC^RtAPQC則罵"二至，4-2t-旦解之得t=W；

QCBCt411

由P點(diǎn)在BC邊上的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,Q點(diǎn)在AC邊上的速度為lcm/s,可求出

t的取值范圍應(yīng)該為0VtV2,

驗(yàn)證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件.所以可知要使△CPQ與4CBA相

似，所需要的時(shí)間為1.2或反秒.

11

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題，并且

需要用到分類討論的思想，解題時(shí)應(yīng)注意解答后的驗(yàn)證.

15.(2016?興化市校級(jí)二模)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD

上的點(diǎn)，AE=ED,DF=1DC,連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

4

(1)求證：△ABES/XDEF；

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4,求BG的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；平行線分線段成比例.

【專題】計(jì)算題；證明題.

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)，可得NA=ND,根據(jù)已知可得膽黑，根據(jù)有

ABDE

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似，可得AABES^DEF；

(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：:ABCD為正方形,

，AD=AB=DC=BC,ZA=ZD=90°,

VAE=ED,

??.A,E■■1;

AB-2

VDF=ljDC,

4

DF1

DE-2

用EDF

BDE

A]

/.△ABE^ADEF；

(2)解：?；ABCD為正方形，

，ED〃BG,

?EDDF

，，CG=CF，

又,.,DF=J_DC,正方形的邊長(zhǎng)為4,

4

；.ED=2,CG=6,

BG=BC+CG=10.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定(有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相

似)、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.解題的關(guān)鍵

是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.(2016?蕭山區(qū)模擬)如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，4ACD和4BCE都是等

邊三角形，連結(jié)AE,BD,設(shè)AE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：△ACE^^DCB；

(2)求證：^ADFS/XBAD.

D

E

--------------?——SB

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；

（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，平行線的判定與性質(zhì)以及兩角法證

得結(jié)論.

【解答】解：（1）???△ACD和aBCE都是等邊三角形，

，AC=CD,CE=CB,ZACD=ZBCE=60°

,ZACE=ZDCB=120°.

.'.△ACE^ADCB（SAS）；

（2）VAACE^ADCB,

/.ZCAE=ZCDB.

,/ZADC=ZCAD=ZACD=ZCBE=60°,

；.D（:〃BE,

/.ZCDB=ZDBE,

，NCAE=/DBE,

AZDAF=ZDBA.

/.△ADF^ABAD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，并且它們所

夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對(duì)

的邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

17.（2016?廈門校級(jí)模擬）如圖：已知AB_LDB于B點(diǎn),CD_LDB于D點(diǎn),AB=6,

CD=4,BD=14,在DB上取一點(diǎn)P,使以CDP為頂點(diǎn)的三角形與以PBA為頂點(diǎn)的

三角形相似，則DP的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)已知可以分△PDCsAABP或△PCDsaPAB兩種情況進(jìn)行分析.

【解答】解:VAB±DB,CD±DB

AZD=ZB=90°,

設(shè)DP=x,

當(dāng)PD：AB=CD：PB時(shí)，△PDCs/xABP,

???x-―_------4----，

614-x

解得DP=2或12,

當(dāng)PD：PB=CD：AB時(shí)，△PCDS/XPAB,

?x_4

14~x6'

解得DP=5.6

，DP=5.6或2或12.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相

等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角

相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩

個(gè)三角形相似.平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三

角形與原三角形相似.

18.（2016?云南模擬）如圖，在△ABC中，ZC=90°,DM_LAB于點(diǎn)M,DN1BC

于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)E.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定.

【專題】證明題.

【分析】先證明NDEM=NA,再由NC=NDME=90。，根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩

個(gè)三角形相似即可證明△DMEs/\BCA.

【解答】證明：：NC=90。，DM_LAB于點(diǎn)M,DN_LBC于點(diǎn)N,

/.ZC=ZENB=ZDME=90°,

；.A（:〃DN,

，/BEN=NA,

VZBEN=ZDEM,

，NDEM=NA.

在aDME與ABCA中，

IZDME=ZC，

.'.△DME^ABCA.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行線法：平行于三角形

的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：

三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比

相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

三角形相似.

19.（2016?廈門校級(jí)模擬）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE垂直AC交

AC于點(diǎn)F,求證：△DEFs^EBD.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；矩形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】根據(jù)已知結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出匹處，進(jìn)而得出^DEFs

AEBE

△BED.

【解答】證明：???ACLBE,

/.ZAFB=ZAFE=90°,

?.,四邊形ABCD是矩形，

,NBAE=90°,

XVZAEF=ZBEA,

/.△AEF^ABEA,

???EFL_AE,

AEBE

???點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

，AE=ED,

???-E-F_--D-E,

EDBE

又?.?/FED=NDEB,

A^ADEF和ABED中

EF=DE

{ED^BE

ZFED=ZDEB

.'.△DEF^ABED.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確得出

鞏也是解題關(guān)鍵.

AEBE

20.（2016春?昌平區(qū)期末）如圖，在^ABC中，ZBAC=90°,M是BC的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A作AM的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：△DBAs^DAC.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定.

【專題】證明題.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AM=CM,推出NC=NCAM,求

出NDAB=NCAM,求出NDAB=NC,根據(jù)相似三角形的判定得出即可.

【解答】證明：［NBAC=90。，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

，AM=CM,

/.ZC=ZCAM,

DA1AM,

AZDAM=90°,

/.ZDAB=ZCAM,

/.ZDAB=ZC,

VZD=ZD,

/.△DBA^ADAC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)的應(yīng)用，

能求出NDAB=NC是解此題的關(guān)鍵.

21.(2017?松江區(qū)一模)如圖，已知AC〃BD,AB和CD相交于點(diǎn)E,AC=6,BD=4,

F是BC上一點(diǎn)，SABEF：S/\EFC=2：3.

(1)求EF的長(zhǎng)；

(2)如果4BEF的面積為4,求aABC的面積.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)先根據(jù)SABEF：SAEFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行線分線段成

比例定理即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)AC〃BD,EF〃BD得出EF〃AC,故△BEFs/^ABC,再由相似三角形

的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）VAC/7BD,

?CEAC

DEDB

AC=6,BD=4,

CE=6^3

△BEF和ACEF同高，且SABEF：SACEF=2：3,

CF“一3,

BF-2

CE_CF

DF^BF

EF〃BD,

EF_CF；

BD-^BC，

EF3

-----二—,

45

12

EF=

~5~

(2)VAC//BD,EF〃BD,

EF〃AC,

△BEF^AABC,

SABEF/BF^2

^AABCBC

里衛(wèi)

BF,一2?

BC-5

SABEF=4,

J一二母)'

iAABC°

SAABC=25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是

解答此題的關(guān)鍵.

22.（2017?閔行區(qū)一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD〃BC,E為邊CB延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G,且強(qiáng)延.

GDCE

(1)求證：AB〃CD；

2

(2)如果AD2=DG?DE,求證：EG=AG.

CE2AC

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)由AD〃BC,得到△ADGs^CEG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

結(jié)論；

22

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到理_萼_,根據(jù)等式的性質(zhì)得至ijEg二SE等量代

EGCEDG2AD2

換即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)???AD〃BC,

.,.△ADG^ACEG,

,ADAG

，，CE=CG，

???FGL_AD,

GDCE

???-A--G-",FG)

CG-GD

，AB〃CD；

(2)?.?AD〃BC,

.'.△ADG^ACEG,

???D-G一AD,

EG-CE

?EG2_CE?

DG2AD2>

.EGLDG2,

CE2AD2

VAD2=DG*DE,

?EG2-DG

,'CE2DE

：AD〃BC,

???AG-,-D--G-,

ACDE

,EG2；AG

^CErAC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.(2017?普陀區(qū)一模)已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZCDA,

AB=DC=JW，CE=a,AC=b,求證：

(1)ADEC^AADC；

(2)AE?AB=BC?DE.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，據(jù)此進(jìn)行

證明即可；

(2)先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出NBAC=NEDA,里盛?，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)

ABAC

邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行證明即可.

【解答】證明:(1)VDC=V^b，CE=a,AC=b,

/.CD2=CEXCA,

即五型，

CDCA

又,.?/ECD=NDCA,

/.△DEC^AADC；

(2)VADEC^AADC,

/.ZDAE=ZCDE,

VZBAD=ZCDA,

/.ZBAC=ZEDA,

VADEC^AADC,

?DE_DC

*'AD^AC'

VDC=AB,

?DE=ABanDE-AD

ADACABAC

/.△ADE^ACAB,

?AE.DE

^CB^AB'

即AE?AB=BC?DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：兩

組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

24.(2017?奉賢區(qū)一模)已知：如圖，菱形ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,

BE1DC,垂足為點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.求證：

(1)AABF^ABED；

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得出AUBD,AB〃CD,得出△ABFsaCEF,由互余

的關(guān)系得：ZDBE=ZFCE,證出△BEDs/\CEF,即可得出結(jié)論；

（2）由平行線得出至由相似三角形的性質(zhì)得出m即可得出結(jié)論.

BEBFDEBF

【解答】證明：（1）?四邊形ABCD是菱形，

/.AC±BD,AB〃CD,

/.AABF^ACEF,

VBE1DC,

，NFEC=NBED,

由互余的關(guān)系得：NDBE=NFCE,

.?.△BEDs/xCEF,

/.△ABF^ABED；

（2）?.?AB〃CD,

?AFBF

AC^BE,

?ACAF

，'BF^BF，

VAABF^ABED,

?BDAF

"DE^BF'

???ACL_BD，?

BEDE

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比

例定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

25.（2016?陜西）某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)

展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工

具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量"望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能

力.他們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣"底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研

究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小

亮和"望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)

記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回

走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到"望月閣"頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，

這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在陽(yáng)光下，他們

用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走

了16米，到達(dá)"望月閣"影子的末端F點(diǎn)處,此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5

米,FG=1.65米.

如圖，已知AB_LBM,ED_LBM,GF±BM,其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度

忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出"望月閣"的高AB的長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出△ABCs^EDC,△

ABF-AGFH,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得：ZABC=ZEDC=ZGFH=90°,

NACB=NECD,ZAFB=ZGHF,

故△ABCS^EDC,AABF^AGFH,

則坐里_,AB_BF?

EDDCGFFH

即AB=BC.AB=BC+18,

TXT'L652.5

解得：AB=99,

答：“望月閣"的高AB的長(zhǎng)度為99m.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用已知得出相似三角

形是解題關(guān)鍵.

26.（2016?桐城市模擬）小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體,

影子的大小與光源到物體的距離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長(zhǎng)

度計(jì)算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,邊長(zhǎng)AB為30cm,在其正上

方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子AB,D（C的長(zhǎng)度和為

6cm.那么燈泡離地面的高度為180cm.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為30cm的正方形框架按圖2擺放,

請(qǐng)計(jì)算此時(shí)橫向影子AB,D，C的長(zhǎng)度和為多少？

（3）有n個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形按圖3擺放，測(cè)得橫向影子A，B,Dt的長(zhǎng)度和為

b,求燈泡離地面的距離.（寫(xiě)出解題過(guò)程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示）

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【專題】壓軸題.

【分析】（1）設(shè)燈泡的位置為點(diǎn)P,易得△PADs^PAD一設(shè)出所求的未知數(shù)，

利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，可得燈泡離地面的高度；

（2）同法可得到橫向影子AB,Dt的長(zhǎng)度和；

（3）按照相應(yīng)的三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，

用字母表示出其他線段，即可得到燈泡離地面的距離.

【解答】解：（1）設(shè)燈泡離地面的高度為xcm,

?.?AD〃AD,

，NPAD=NPA'D',NPDA=NPD'A'.

.?.△PADS/XPAD'.

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得知=「工

A'D'PM

.30_x_30

??---------------,

36x

解得x=180.（4分）

（2）設(shè)橫向影子AB,Dt的長(zhǎng)度和為ycm,

同理可得

60+y180

解得y=12cm；（3分）

（3）記燈泡為點(diǎn)P,如圖：

?.?AD〃A'D',/.ZPAD=ZPA,D/,NPDA=NPD'A'.

.,.△PAD^APA,D,.

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得知=PN（1分）

A'D'PM

（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）

設(shè)燈泡離地面距離為X,由題意，得PM=x,PN=x-a,AD=na,AD=na+b,

?nax-a_1_a

na+bxx

旦二1-na

xna+b

x=na5±Sk（1分）.

b

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，注意運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高的

比等于相似比這個(gè)性質(zhì).

27.（2016?羅定市一模）如圖，一位同學(xué)想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高（AB）,他在某一

時(shí)刻測(cè)得高為1m的竹竿影長(zhǎng)為0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)量樹(shù)影時(shí)，因樹(shù)靠近一幢

建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上（CD）,他先測(cè)得留在墻上

的影高（CD）為1.2m,又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)（BC）為2.7m,他測(cè)得的樹(shù)高應(yīng)

為多少米？

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】先求出墻上的影高CD落在地面上時(shí)的長(zhǎng)度，再設(shè)樹(shù)高為h,根據(jù)同一

時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比列出關(guān)系式求出h的值即可.

【解答】解：設(shè)墻上的影高CD落在地面上時(shí)的長(zhǎng)度為xm,樹(shù)高為hm,

???某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)為0.9m,墻上的影高CD為1.2m,

解得x=1.08(m),

0.9x

???樹(shù)的影長(zhǎng)為：1.08+2.7=3.78(m),

，」—=」—，解得h=4.2(m).

0.93.78

答：測(cè)得的樹(shù)高為4.2米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是正確求出樹(shù)的影長(zhǎng),

這是此題的易錯(cuò)點(diǎn).

28.(2016?河西區(qū)模擬)如圖，M、N為山兩側(cè)的兩個(gè)村莊，為了兩村交通方便,

根據(jù)國(guó)家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞.工程人員為了計(jì)算工程量，必須

計(jì)算M、N兩點(diǎn)之間的直線距離，選擇測(cè)量點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)B、C分別在AM、

AN上，現(xiàn)測(cè)得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求

M、N兩點(diǎn)之間的直線距離.

鼠

【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】先根據(jù)相似三角形的判定得出△ABCs/xAMN,再利用相似三角形的性

質(zhì)解答即可.

【解