2024河南中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 特殊三角形及其性質(zhì) 強(qiáng)化精練 (含答案)

2024河南中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特殊三角形及其性質(zhì)強(qiáng)化精練基礎(chǔ)題1.(2023眉山)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為()A.70°B.100°C.110°D.140°第1題圖2.(2023貴州)5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是()第2題圖A.4mB.6mC.10mD.12m3.如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AD延長線上一點(diǎn)，若AE＝AC，則∠AEC的度數(shù)為()A.45°B.60°C.65°D.75°第3題圖4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，則AD的長為()第4題圖A.2B.2eq\r(3)C.4D.4eq\r(3)5.如圖，一根竹竿AB，斜靠在豎直的墻上，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，A′B′表示竹竿AB端沿墻向下滑動(dòng)過程中的某個(gè)位置，則OP的長在竹竿AB滑動(dòng)過程中的情況是()A.下滑時(shí)，OP的長度增大B.上升時(shí)，OP的長度減小C.只要滑動(dòng)，OP的長度就變化D.無論怎樣滑動(dòng)，OP的長度不變第5題圖【解題關(guān)鍵點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6.如圖，在3×4的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長都是1)中，標(biāo)記格點(diǎn)A，B，C，D，則下列線段長度為eq\r(10)的是()第6題圖A.線段ABB.線段BCC.線段ACD.線段BD7.(2023遂寧)若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1∶2∶3，則這個(gè)三角形是________三角形．8.(2023新疆維吾爾自治區(qū))如圖，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，則∠C＝________°.第8題圖9.(2023江西)將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為________cm.第9題圖10.如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝________．第10題圖11.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若AD＝2，則AB的長為________．第11題圖12.(2023荊州)如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE，求證：CD＝CE.第12題圖13.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE.(1)判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；第13題圖(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．拔高題14.(2023菏澤)△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋eq\r(2a－b－3)＋|c－3eq\r(2)|＝0，則△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形15.(2023濟(jì)寧)如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，點(diǎn)A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段AB，CD交于點(diǎn)F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于()A.180°－αB.180°－2αC.90°＋αD.90°＋2α第15題圖16.(2023涼山州)如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別在兩條射線OM，ON上滑動(dòng)，若OM⊥ON，則OC的最大值是________．第16題圖【解題關(guān)鍵點(diǎn)】關(guān)鍵點(diǎn)一：A,B中點(diǎn)的軌跡在以O(shè)為圓心,AB長為半徑的圓弧上；關(guān)鍵點(diǎn)二：利用三角形的三邊關(guān)系解題．17.如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，點(diǎn)P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APC沿直線CP折疊得到△QPC，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接BQ，當(dāng)△PBQ為直角三角形時(shí)，BQ的長為________．第17題圖參考答案與解析1.C【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝eq\f(180°－∠A,2)＝eq\f(180°－40°,2)＝70°，∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°.2.B【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，∴∠B＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝6m.第2題解圖3.D【解析】∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠CAE＝30°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.4.A【解析】∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∴∠ACD＝90°－∠A＝30°，∵AB＝8，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝2.5.D【解析】∵∠AOB＝90°，P為AB的中點(diǎn)，∴OP＝eq\f(1,2)AB，即OP的長在竹竿AB滑動(dòng)過程中始終保持不變．6.B【解析】由題圖可得，AB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AC＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17)，BD＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，∴線段長度為eq\r(10)的是線段BC.7.直角【解析】設(shè)這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角依次為x，2x，3x，∵x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，∴最大角為3x＝90°，故這個(gè)三角形是直角三角形．8.52【解析】∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝∠CAD＋∠BAD，∴180°－2∠C＝24°＋∠C，∴∠C＝52°.9.2【解析】∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3－1＝2(cm).10.3【解析】∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴根據(jù)勾股定理得：BC＝eq\r(AB2－AC2)＝6，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝3.11.2eq\r(3)＋4【解析】∵BD平分∠ABC，ED∥BC，∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠AED＝∠ABC＝30°，∴EB＝ED，∵∠A＝90°，∴ED＝2AD＝4，AE＝eq\r(3)AD＝2eq\r(3)，∴AB＝AE＋BE＝AE＋ED＝2eq\r(3)＋4.12.證明：如解圖，∵BD為等邊△ABC的中線，∴BD⊥AC，∠1＝60°，∴∠3＝30°.∵BD＝DE，∴∠E＝∠3＝30°，∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.第12題解圖13.解：(1)DE⊥PD，理由如下：∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠A，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA＋∠EDB＝90°，∴∠PDE＝90°，∴DE⊥PD；(2)如解圖，連接PE，∵AC＝6，BC＝8，PA＝2，∴CP＝AC－PA＝4，PD＝PA＝2，設(shè)DE＝BE＝x，則CE＝8－x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理，得PE2＝42＋(8－x)2，在Rt△PDE中，根據(jù)勾股定理，得PE2＝22＋x2，∴42＋(8－x)2＝22＋x2，解得x＝eq\f(19,4)，∴DE＝eq\f(19,4).第13題解圖14.D【解析】由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－b）2≥0,\r(2a－b－3)≥0,|c－3\r(2)|≥0))，要滿足(a－b)2＋eq\r(2a－b－3)＋|c－3eq\r(2)|＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝0,2a－b－3＝0,c－3\r(2)＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3,c＝3\r(2)))，∵a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC為等腰直角三角形．15.C【解析】如解圖，過B點(diǎn)作BG∥CD，連接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α.∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，∴BG2＋BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，且∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α.第15題解圖16.1＋eq\r(3)【解析】如解圖，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，DC，∴OC≤OD＋DC，當(dāng)O，D，C三點(diǎn)共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD＋CD，∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點(diǎn)，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OD＝eq\f(1,2)AB＝1，∴OD＋CD＝1＋eq\r(3)，即OC的最大值為1＋eq\r(3).第16題解圖17.2或eq\r(10)【解析】∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5，由折疊得QC＝AC＝3，PQ＝PA，∠PQC＝∠A＝90°，如解圖①，△PBQ為直角三角形，且∠PQB＝90°，∴∠PQC＋∠PQB＝180°，∴B，Q，C三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)Q在BC上，∴BQ＝BC－QC＝5－3＝2；如解圖②，△PBQ為直角三角形，且∠BPQ＝90°，∴∠APQ＝90