陜西省寶雞市隴縣第二高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題【含答案】

隴縣第二高級中學(xué)2023～2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊第六章～第八章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)，則（

）A．， B．，C．， D．，2．設(shè)點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量3．已知向量，，且，，，則（

）A．8 B．9 C． D．4．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（

）A．16 B．12 C． D．5．若直線平面，則下列說法正確的是（

）A．l僅垂直平面內(nèi)的一條直線 B．l僅垂直平面內(nèi)與l相交的直線C．l僅垂直平面內(nèi)的兩條直線 D．l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直6．在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知，則此三角形（

）A．無解 B．有一解C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定7．如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高，小胡同學(xué)先在塔的正西方點C處測得塔頂?shù)难鼋菫椋缓髲狞cC處沿南偏東方向前進(jìn)140米到達(dá)點D處，在D處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t鐵塔的高度是（

）A．70米 B．80米 C．90米 D．100米8．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內(nèi)的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列命題是假命題的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題其中正確的命題有（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等11．如圖，在棱長為1的正方體中，點是線段上的一點，則下列說法正確的是（

）

A．直線與平面所成的角為定值B．平面C．三棱錐的體積為定值D．直線與直線所成的角為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模為.13．已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角為.14．一個鋼筋混凝土預(yù)制件可看成一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，其尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個這樣的預(yù)制件需要立方米混凝土（鋼筋體積略去不計）．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形.如圖，圓錐底面圓的半徑是4，軸截面的面積是4.(1)求圓錐的母線長；(2)過圓錐的兩條母線，作一個截面，求截面面積的最大值.16．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求的值（2）若，求的值.17．如圖，在四棱錐中，，，，設(shè)，分別為，的中點，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.18．如圖，在等腰三角形中，是線段上的動點（異于端點），.(1)若是邊的中點，求的值；(2)當(dāng)時，請確定點的位置.19．在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中點．(1)求證：；(2)求二面角的正切值．1．A【分析】由復(fù)數(shù)乘法運算和復(fù)數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：A.2．B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B3．C【分析】依題意可得，再根據(jù)及平面向量數(shù)量積的運算律計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以故選：C4．A【分析】根據(jù)斜二測畫法分析運算.【詳解】在直觀圖中，，可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為，則另一邊長為，所以原圖形的周長為．故選：A.5．D【分析】根據(jù)線面垂直的定義分析判斷即可【詳解】因為若直線平面，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直．所以ABC錯誤，D正確，故選：D6．C【分析】利用正弦定理解出再根據(jù)，得到，可得角有兩個解.【詳解】由正弦定理，得，解得.因為，所以.又因為，所以或，故此三角形有兩解.故選：C.7．A【分析】先由題意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.【詳解】由題，所以，故在中，由余弦定理得，所以即，（舍去）或，故鐵塔的高度是70米.故選：A.8．C【分析】取的中點，的中點為，連接，可得四邊形是平行四邊形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，進(jìn)而得出P點的軌跡.【詳解】如圖所示，取的中點，的中點為，連接，則∥，，且∥，，可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因為P點是正方形內(nèi)的動點，平面，所以點在線段上，由題意可知：，可得，所以P點的軌跡長度為.故選：C.9．CD【分析】對于A，直接求復(fù)數(shù)的模判斷，對于B，利用復(fù)數(shù)的乘方的周期性化簡，對于C，由復(fù)數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對于D，舉例判斷.【詳解】對于A，，A正確，對于B，，B正確，對于C，對于虛數(shù)不能比較大小，C錯誤，對于D，當(dāng)時，，所以D錯誤.故選：CD10．BCD【分析】運用長方體模型，找出符合條件的直線和平面，即可判斷A；運用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷B；運用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷C；由平行的傳遞性及線面角的定義，即可判斷D．【詳解】對于A，可運用長方體舉反例證明其錯誤：如圖，不妨設(shè)為直線m，為直線n，所在的平面為，所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，故A錯誤；對于B，設(shè)過直線的某平面與平面相交于直線，則，由知，從而，故B正確；對于C，如果，則，故C正確；對于D，如果，那么與所成的角和與所成的角相等，故D正確.故選：BCD.11．BCD【分析】由分別在或時，直線與平面所成角不同，可判定A錯誤；利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定B正確；證得平面，得到點到平面的距離為定值，可判定C正確；利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，當(dāng)分別在或時，顯然直線與平面所成角不同，所以A錯誤；對于B中，平面即為平面，又為，且平面，平面，所以平面，所以B正確；對于C中，因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；對于D中，在正方形中，可得，在正方體中，平面，因為平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，所以D正確.故選：BCD.

12．【分析】化簡求出，再代模長公式即可求解【詳解】由，故答案為：13．150°【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于，結(jié)合已知條件求出的值，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由，得，即，因為，所以，所以，又，所以向量與的夾角為150°.故答案為：150°14．324【分析】將預(yù)制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，可求得截面的面積，由柱體的體積公式即可求得預(yù)制件的體積.【詳解】將預(yù)制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體．所以（平方米），設(shè)該預(yù)制件的高為h，則該預(yù)制件的體積（立方米）．故澆制一個這樣的預(yù)制件需要約324立方米的混凝土．故答案為：324.15．(1)(2)【分析】（1）借助軸截面面積可得其高，即可得其母線長；（2）借助面積公式可得夾角為時，截面面積取最大值.【詳解】（1）軸截面的面積為，所以，所以圓錐的母線長；（2）在軸截面中，，，，，的面積，當(dāng)時，截面面積有最大值，最大值為.16．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得結(jié)果；（2）先由三角恒等變換求得，再由正弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以，由正弦定理得.17．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）連接，利用三角形中位線及平行四邊形性質(zhì)證得，再利用線面平行的判定推理即得.（2）由（1）的信息，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.【詳解】（1）在四棱錐中，連接，由，分別為，的中點，得，而，，則，四邊形為平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面.

（2）由，得是的中點，而為中點，則，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.18．(1)(2)是線段靠近處的四等分點【分析】（1）用、作為基底分別表示、，結(jié)合數(shù)量積運算即可.（2）設(shè)，則，結(jié)合數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）由題意知，由于是邊的中點，因此，因此.（2）不妨設(shè)，因此，又，所以解得，即，故是線段靠近處的四等分點.19．(1)證明見解析(2)2【分析】（1）取PA的中點F，證得和，得到平面，則，進(jìn)而證得平面，即可證得；（2）根據(jù)題意，證得平面，得到，過作的垂線，證得平面，得到，得出二面角的大小為，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取PA的中點F，連接BF，EF，因為是等邊三角形，F(xiàn)是PA的中點，所以，又因為F是PA的中點，E是棱PD