備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第五章數(shù)列第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用

第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用1.[命題點(diǎn)1/2024西安檢測]在公差不為零的正項等差數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，請在①a1＋a3＋a5＋a7＝20，a2＋a3＝a6；②2Sn＝（an＋2）（an－1）；③a1，a3，a7成等比數(shù)列，a2＝3這三個條件中，任選一個完成下面的問題.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，且b1＝a1，b2＝a3，bk＝am（m，k均是大于2的正整數(shù)），記Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tk＝2m.解析（1）選①：設(shè){an}的公差為d（d≠0），因為a1＋a3所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.選②：當(dāng)n＝1時，2S1＝（a1＋2）（a1－1），即a12－a1－2＝即（a1－2）（a1＋1）＝0.因為an＞0（n∈N*），所以a1＝2.當(dāng)n＝2時，2S2＝（a2＋2）（a2－1），即a22－a2－6＝0，即（a2－3）（a2＋2）因為an＞0（n∈N*），所以a2＝3.因為{an}為正項等差數(shù)列，所以{an}的公差d＝a2－a1＝1，所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.選③：設(shè){an}的公差為d（d≠0）.因為a1，a3，a7成等比數(shù)列，a2＝3，所以a32即2d－a所以an＝2＋（n－1）×1＝n＋1.（2）因為an＝n＋1，所以am＝m＋1，b1＝a1＝2，b2＝a3＝4，則q＝b2b1＝2，bk＝b1qk－1＝2×2k－1＝因為bk＝am，所以2k＝m＋1，所以Tk＝2（1－2k）1－2＝2×2k－2＝2（m故Tk＝2m得證.2.[命題點(diǎn)2角度1/2024山東省部分學(xué)校第三次聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（0）＝1，且?x∈R，都有f（x＋1）＝2f（x）－x，設(shè)bn＝1f（n）f（n+1）（n∈N*），則數(shù)列{bn}的前解析設(shè)an＝f（n）（n∈N*），則a1＝f（1）＝2f（0）＝2，an＋1＝2an－n，即an＋1－（n＋2）＝2[an－（n＋1）]，又a1＝2，即a1－（1＋1）＝0，于是an＋1－（n＋2）＝2[an－（n＋1）]＝0，則an＝n＋1，即f（n）＝n＋1，從而bn＝1（n+1)(n+2）＝1n+1－1n+2，所以S2023＝12－133.[命題點(diǎn)2角度2/2024南京一中模擬]各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿意an+12－an＋1an－2an2＝0，a1a（1）求{an}的通項公式；（2）記Tn＝（1＋1a1）（1＋2a2）（1＋3a3）…（1＋na解析（1）an+12－an＋1an－2an2＝0，即（an＋1＋an）（an＋1－2a因為{an}的各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，故an＋1＝2an，即an+1a所以{an}是以2為公比的等比數(shù)列，又a1a2a3＝64，故a23＝64，a2＝結(jié)合公比為2得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.（2）Tn＜9，證明如下.令f（x）＝ln（1＋x）－x（x＞0），則f'（x）＝11+x－1＝當(dāng)x＞0時，f'（x）＜0，即f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以ln（1＋x）－x＜ln（1＋0）－0＝0，即ln（1＋x）＜x.設(shè)cn＝1＋nan，則lncn＝ln（1＋nan）＝ln（1＋n所以lnTn＝lnc1＋lnc2＋lnc3＋…＋lncn＜12＋222＋323記An＝12＋222＋323則12An＝