2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí) 二項(xiàng)分布、超幾何分布和正態(tài)分布

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)二項(xiàng)分布、超幾何分布和正態(tài)分布高考

數(shù)學(xué)考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)1二項(xiàng)分布考點(diǎn)2超幾何分布考點(diǎn)3正態(tài)分布題型1二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用題型2超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用題型3正態(tài)分布的解題策略考點(diǎn)1二項(xiàng)分布1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)①定義:將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試

驗(yàn).②用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件

A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).2.二項(xiàng)分布的均值與方差若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).考點(diǎn)2超幾何分布1.超幾何分布的概念一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用

X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具

有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2.超幾何分布的均值:若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)=

.易錯(cuò)警示“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別:有放回抽取問題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布,不放回抽取

問題對(duì)應(yīng)超幾何分布,當(dāng)總體容量很大時(shí),超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理.考點(diǎn)3正態(tài)分布1.正態(tài)曲線和正態(tài)分布函數(shù)f(x)=

,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),我們稱函數(shù)f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=

·

,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X~N(μ,σ2).特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

.(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸.(4)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.(5)在參數(shù)σ取固定值時(shí),正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①

所示.(6)當(dāng)μ取定值時(shí),正態(tài)曲線的形狀由σ確定,σ較小時(shí),峰值高,曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變

量X的分布比較集中;σ較大時(shí),峰值低,曲線“矮胖”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖②所示.

3.正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率.(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.溫馨提示

若X服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱和曲線與x

軸之間的面積為1.即練即清1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列,是一個(gè)用公式P(X=k)=

pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.

(

)(2)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球,連取3次,則取到紅球的個(gè)數(shù)

X服從超幾何分布.

(

)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù),參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值,σ

是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.

(

)2.如果某一批玉米種子中,每粒發(fā)芽的概率均為

,那么播下5粒這樣的種子,恰有2粒不發(fā)芽的概率是

.√√×題型1二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用1.確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下:(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義,確定事件A發(fā)生的概率p;(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n,并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性;(3)設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,p).2.利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量;(2)分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布;(3)若服從二項(xiàng)分布,則求出參數(shù)n和p的值;(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.例1

(2023廣東大灣區(qū)第二次聯(lián)考,20)某工廠車間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器,各臺(tái)機(jī)器相

互獨(dú)立工作,工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是

,且一臺(tái)機(jī)器的故障由一個(gè)維修工處理.已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工,現(xiàn)有兩種配備方案,方案一:由甲、乙、丙三人維護(hù),

每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器;方案二:由甲、乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器,丙負(fù)責(zé)其他工作.(1)對(duì)于方案一,設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器某一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望E(X);(2)在兩種方案下,分別計(jì)算某一時(shí)刻機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率,并以

此為依據(jù)來判斷哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高.

解析

(1)由題意,知X~B

,則P(X=0)=

=

,P(X=1)=

×

×

=

,P(X=2)=

=

,所以隨機(jī)變量X的分布列為:X012P

所以期望為E(X)=0×

+1×

+2×

=

.(2)根據(jù)題意,分別求得方案一和方案二中,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率P1和P2,根據(jù)大小關(guān)系,即可得到結(jié)論.對(duì)于方案一:“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中,至少有

一人負(fù)責(zé)的2臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”,設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為P1,則P1=1-(1-P(X=2))3=1-

=

.(正難則反的原則)對(duì)于方案二:“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“至少有3臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故

障”,設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為P2,則P2=1-

-

·

·

-

·

·

=1-

=

,可得P2<P1,即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修,使得工廠的生產(chǎn)效率更高.即練即清1.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回地摸

取5次,設(shè)摸得的白球數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)=

(

)A.

B.

C.

D.

B題型2超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用1.超幾何分布的特征(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù);(2)考查對(duì)象分兩類且已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù);(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布的適用場(chǎng)景超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其本質(zhì)是古典概型.例2

(2023北京昌平二模,18)2023年9月23日至2023年10月8日,第19屆亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)

杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”的知識(shí)競(jìng)賽,其中1班,2班,3班,4

班報(bào)名人數(shù)如下:班號(hào)1234人數(shù)30402010該年級(jí)在報(bào)名的同學(xué)中按分層隨機(jī)抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競(jìng)賽,每位參加競(jìng)賽

的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答,至少答對(duì)3道的同學(xué)獲得一份獎(jiǎng)品,假

設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨(dú)立.(1)求各班參加競(jìng)賽的人數(shù);(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競(jìng)賽,若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中恰有3個(gè)答不對(duì),記

他答對(duì)的題目數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析

(1)各班報(bào)名人數(shù)總共100人,抽取10人,抽樣比為

,故1班,2班,3班,4班參加競(jìng)賽的有30×

=3(人),40×

=4(人),20×

=2(人),10×

=1(人).(2)由題意,知X的可能取值為1,2,3,4,(提醒:10個(gè)題目中只有3個(gè)答不對(duì),因此從中抽取4

個(gè),得X的可能取值為1,2,3,4)P(X=1)=

=

=

,P(X=2)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,P(X=4)=

=

=

,所以X的分布列為:X1234P

E(X)=1×

+2×

+3×

+4×

=

=2.8.即練即清2.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲,盒中裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球,其中有4個(gè)白球,2

個(gè)紅球.(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個(gè)球,求兩球顏色相同的概率;(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球,每次摸1個(gè)球,當(dāng)摸出第二個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束,或

能判斷出第二個(gè)紅球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲、乙兩人摸球的

總次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析

(1)兩球顏色相同分為都是紅球或都是白球,其概率P=

+

=

.(2)依題意得X的取值為2,3,4,5,P(X=2)=

=

,X=3,就是前兩個(gè)球中1個(gè)是紅球,1個(gè)是白球,第3個(gè)是紅球,則P(X=3)=

·

=

,X=4,就是前三個(gè)球中2個(gè)是白球,1個(gè)是紅球,第4個(gè)是紅球,或前四個(gè)全是白球,則P(X=4)=

·

+

=

,X=5,就是前四個(gè)球中3個(gè)是白球,1個(gè)是紅球,第5個(gè)是紅球,或前四個(gè)球中3個(gè)是白球,1個(gè)

是紅球,第5個(gè)是白球,則P(X=5)=

·

+

·

=

.所以X的分布列為X2345P

數(shù)學(xué)期望E(X)=2×

+3×

+4×

+5×

=

.題型3正態(tài)分布的解題策略1.利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)

系,確定它們屬于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一個(gè).2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=

μ對(duì)稱,及曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.注意活用下面兩個(gè)結(jié)論:(1)P(X<a)=1-P(X≥a);(2)P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ).例3設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),則a等于

(

)A.1

B.2

C.3

D.4

解析

因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N(2,σ2),所以該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱,又因?yàn)镻(ξ<a-1)=P(ξ>a+3),所以有

=2,解得a=1,故選A.

答案

A名師點(diǎn)睛隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且P(X<a)=P(X>b),則直線x=

是正態(tài)