高二數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義(人教A版選擇性必修第一冊)1.4空間向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

1.4空間向量的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．知識點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【典型例題】題型一：求平面的法向量例1．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有兩點，，平面的一個法向量為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體，分別寫出對角面和平面的一個法向量．例3．(2023·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．例4．(2023·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點，求平面的法向量．【方法技巧與總結(jié)】求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出一個法向量的坐標(biāo)（x，y，z），再在平面上取兩個向量（可取特殊向量，如在某個坐標(biāo)平面上的向量，或與某坐標(biāo)軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個方程，再令x為某個特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個法向量．要注意一個平面的法向量有無數(shù)個，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．題型二：利用向量研究平行問題例5．(2023·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為的中點，P、Q是正方體表面上相異兩點．若P、Q均在平面上，滿足，．(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；(2)求的最小值．例6．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體中，棱長為2a，M是棱的中點.求證：平面.例7．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．例8．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．例9．(2023·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是正方形和正方形的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．題型三：利用向量研究垂直問題例10．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且，其中，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求證：；(2)若、E、F、四點共面，求證：．例11．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知長方體中，，判斷滿足下列條件的點M，N是否存在：.例12．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點，M是的中點．求證：平面MBD．例13．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，、分別、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.例14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．【方法技巧與總結(jié)】（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．題型四：異面直線所成的角例15．(2023·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，設(shè)有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為，為中點，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．例16．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值.例17．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為1，O為中點．(1)證明：平面；(2)求異面直線與OD所成角的大?。?8．(2023·江蘇常州·高二期中）如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是線段的中點.(1)求證：平面；(2)試在線段上確定一點，使與所成角是60°.【方法技巧與總結(jié)】已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．題型五：線面角例19．(2023·天津和平·一模）平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若直線上存在點，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.例20．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，三棱臺中，，，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角．例21．(2023·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.例22．(2023·浙江湖州·模擬預(yù)測）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時，求證：平面平面；(2)若時，求直線與平面所成的角的正弦值．例23．(2023·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F(xiàn)為棱PC上一點．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．例24．(2023·吉林·三模（理））如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點O，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說明理由．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．題型六：二面角例25．(2023·四川成都·二模（理））如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點，點F在棱上，且，E為線段上的動點.(1)證明：；(2)若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.例26．(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點M，N分別為和的重心．(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．例27．(2023·青海玉樹·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．例28．(2023·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.例29．(2023·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由.例30．(2023·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E為PA中點.(1)求證：ED平面PBC；(2)已知平面PAD與平面PBC的交線為，在上是否存在點N，使二面角P-DC-N的余弦值為？若存在，請確定點N位置；若不存在，請說明理由.【方法技巧與總結(jié)】如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，題型七：距離問題例31．(2023·上海交大附中模擬預(yù)測）已知正四棱柱，其中．(1)若點是棱上的動點，求三棱錐的體積．(2)求點到平面的距離例32．(2023·北京·北大附中三模）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.例33．(2023·全國·高二）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．例34．(2023·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值；(3)求點到直線的距離．例35．(2023·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱上的點，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點M到直線距離．例36．(2023·全國·高二）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點.（1）求異面直線與間的距離；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使平面，并求出N到AB和AP的距離.例37．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.【方法技巧與總結(jié)】1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·河南·模擬預(yù)測（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．2．(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．(2023·黑龍江·綏化市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知直三棱柱各棱長均相等，點D，E分別是棱，的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．(2023·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的一個法向量，點在內(nèi)，則到的距離為（

）A． B． C．4 D．105．(2023·全國·高二課時練習(xí)）有以下命題：①一個平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行，則這條直線和這個平面平行③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．(2023·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知正三棱柱的所有棱長都為2，N為棱的中點，動點M滿足，λ∈[0，1]，當(dāng)M運動時，下列選項正確的是（

）A．當(dāng)時，的周長最小B．當(dāng)λ=0時，三棱錐的體積最大C．不存在λ使得AM⊥MND．設(shè)平面與平面所成的角為θ，存在兩個不同的λ值，使得7．(2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動點，為棱的中點，則下列選項正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點時，則點在平面的射影是點C．存在點，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值8．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為.以為坐標(biāo)原點，以為軸正半軸，為軸正半軸，為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，動點滿足直線與所成夾角為的最大值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題9．(2023·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直10．(2023·江蘇·海安縣實驗中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC1與直線所成的角為90°B．B1D⊥平面ACD1C．點B1到平面ACD1的距離為D．直線B1C與平面所成角的余弦值為11．(2023·江蘇省南京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形中，已知平面的一個法向量為，且二面角的大小的余弦值為，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．12．(2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知正方體的棱長為，為棱上的動點，平面過點且與平面平行，則（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．與平面所成的角可以是D．平面與底面和側(cè)面的交線長之和為三、填空題13．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直線l的一個方向向量為，平面a的一個法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．14．(2023·江蘇·南京師大附中高二期末）已知正方體ABCD—的棱長為4，M在棱上，且1，則直線BM與平面所成角的正弦值為___________．15．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長為，、分別為和上的點，，則與平面的位置關(guān)系是______．16．(2023·江蘇淮安·高二期中）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角大小為________.四、解答題17．(2023·江蘇·高二階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面為直角梯形，∥，，，，平面．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求出點A在平面上的投影M的坐標(biāo)．18．(2023·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，，，．(1)求證：；(2)求直線CA與平面PBC所成角的正弦值．19．(2023·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知底面ABCD為菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截幾何體如圖所示.(1)若，求證：；(2)若，，三棱錐GACD的體積為，直線AF與底面ABCD所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值.20．(2023·湖北·模擬預(yù)測）如圖，四棱臺中，上底面是邊長為1的菱形，下底面ABCD是邊長為2的菱形，平面ABCD且(1)求證：平面平面；(2)若直線AB與平面所成角的正弦為，求棱臺的體積．21．(2023·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點，使得平面.(1)求證：為中點；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求直線到平面的距離.22．(2023·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示正四棱錐(1)求證：(2)若沿側(cè)棱將此四棱錐剪開，四個側(cè)面向外旋轉(zhuǎn)，PAD旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)至如圖所示，其中二面角與二面角相同，當(dāng)時，求平面與所成的銳二面角的余弦值1.4空間向量的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。R點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【典型例題】題型一：求平面的法向量例1．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有兩點，，平面的一個法向量為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：C【解析】分析：首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，因為平面的一個法向量為，所以，則，解得，故選：C.例2．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體，分別寫出對角面和平面的一個法向量．答案：平面的一個法向量為，平面的一個法向量為；【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，分別求出平面與平面的法向量；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，則，，所以，即平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面的一個法向量為；例3．(2023·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．答案：(1)(2)(3)【解析】分析：以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）由于平面，所以為平面的一個法向量，（2）設(shè)平面的法向量為，則，從而可求出法向量，（3）設(shè)平面的法向量為，則，從而可求出法向量(1)以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，所以平面的一個法向量為，(2)設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，則，所以平面的一個法向量為，(3)設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，則所以平面的一個法向量為例4．(2023·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點，求平面的法向量．答案：（結(jié)果不唯一）【解析】分析：設(shè)出法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與向量垂直，列出方程組，求解即可.【詳解】不妨設(shè)平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一個法向量為.又平面的法向量不唯一，只要與向量平行且非零的向量均可.故答案為：.（結(jié)果不唯一）【方法技巧與總結(jié)】求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出一個法向量的坐標(biāo)（x，y，z），再在平面上取兩個向量（可取特殊向量，如在某個坐標(biāo)平面上的向量，或與某坐標(biāo)軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個方程，再令x為某個特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個法向量．要注意一個平面的法向量有無數(shù)個，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．題型二：利用向量研究平行問題例5．(2023·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為的中點，P、Q是正方體表面上相異兩點．若P、Q均在平面上，滿足，．(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；(2)求的最小值．答案：(1)PQ與BD的位置關(guān)系是平行(2)【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷PQ與BD的位置關(guān)系；（2）用含參數(shù)的表達式求出，進而求出最小值.(1)以D為原點，以射線DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．因為P、Q均在平面上，所以設(shè)，，則，，．因為，，所以解得:所以，，即，，所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行．(2)由（1）可知：，，所以．當(dāng)時，有最小值，最小值為．例6．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體中，棱長為2a，M是棱的中點.求證：平面.答案：證明見解析【解析】分析：以點D為原點，分別以?與的方向為x?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面的一個法向量和直線的方向向量，根據(jù)直線與平面平行的定義即可證明.【詳解】以點D為原點，分別以?與的方向為x?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則???????，M是棱的中點得，.設(shè)面的一個法向量為，，，則令，則.又，因為平面，所以平面.例7．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】分析：（1）利用向量法可得兩平面的法向量，再根據(jù)法向量互相平行證明面面平行；（2）利用向量法證明平面的法向量與平行，即可得證.(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，即，故平面平面；(2)由，是線段，中點，則，，所以，則，所以平面.例8．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．答案：證明見解析.【解析】分析：利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【詳解】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.例9．(2023·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是正方形和正方形的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面；（2）利用向量法證得平面；（3）利用向量法證得平面平面．(1)設(shè)正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以，由于，所以平面.(2)設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，，平面，所以平面.(3)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，顯然，平面與平面不重合，所以平面平面.【方法技巧與總結(jié)】（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．題型三：利用向量研究垂直問題例10．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且，其中，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求證：；(2)若、E、F、四點共面，求證：．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】分析：（1）由證明；（2）根據(jù)、E、F、四點共面，設(shè)求解；(1)解：由已知得，，，，則，，∴，∴，即．(2)，，．設(shè)，由解得，．所以．例11．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知長方體中，，判斷滿足下列條件的點M，N是否存在：.答案：存在點滿足【解析】分析：建立直角坐標(biāo)系利用空間向量垂直的求解方法進行求證.【詳解】解：假設(shè)存在滿足條件.在長方體中以D為原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)則在中，，又解得：即存在點滿足例12．(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點，M是的中點．求證：平面MBD．答案：證明見解析【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來證得平面.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，，，由于，所以平面.例13．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，、分別、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）求出平面的一個法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，易知平面的一個法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.例14．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．答案：（1）證明見解析；（2）E為CC1的中點.【解析】分析：以D為原點，DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（1）計算即可證明；（2）求出面A1BD與面EBD的法向量，根據(jù)法向量垂直計算即可．【詳解】以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴當(dāng)E為CC1的中點時，平面A1BD⊥平面EBD.【方法技巧與總結(jié)】（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．題型四：異面直線所成的角例15．(2023·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，設(shè)有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為，為中點，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）由圓錐側(cè)面積公式可求得母線長，進而得到圓錐的高，利用圓錐體積公式可求得結(jié)果；（2）解法一：取邊上中點，由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)得，由此可得結(jié)果；解法二：取圓弧中點，連結(jié)，以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量運算可得，知，由此可得結(jié)果.(1)設(shè)圓錐母線長為，，，即，圓錐的高，.(2)解法一：取邊上中點，連結(jié)，，，是的中位線，；垂直于底面，垂直于底面，；，為中點，，即；，平面，平面，又平面，，即異面直線與所成角為.解法二：取圓弧中點，連結(jié)，則；以為坐標(biāo)原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，即，異面直線與所成角為.例16．(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用向量的夾角的余弦值，求異面直線的夾角.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與直線的方向向量的夾角來確定線面角的正弦值，再根據(jù)同角關(guān)系求余弦值.(1)因為面，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)則,=，所以與所成的角為(2)設(shè)平面的法向量為，令，則，設(shè)直線與面所成的角的為，又，sin=直線與面所成的角的余弦值為.例17．(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為1，O為中點．(1)證明：平面；(2)求異面直線與OD所成角的大?。鸢福?1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，繼而求得平面的一個法向量，計算，即可證明結(jié)論；（2）求得直線與OD的一個方向向量為，，根據(jù)向量的夾角公式，結(jié)合異面直線所成交的范圍，求得答案.(1)如圖，以D為原點，射線DA、DC、分別為x、y、z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，,故，．設(shè)平面的一個法向量為，由得，令，則，，所以．又，從而，即．∵不在平面內(nèi)，所以平面．(2)直線與OD的一個方向向量為，，得，又設(shè)異面直線與OD所成角為，則，故，所以異面直線與OD所成角的大小為．例18．(2023·江蘇常州·高二期中）如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是線段的中點.(1)求證：平面；(2)試在線段上確定一點，使與所成角是60°.答案：(1)證明見解析(2)點應(yīng)在線段的中點處【解析】分析：（1）設(shè)，連接，通過證明即可得出；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系可求出.(1)設(shè)，連接，因為是正方形，所以是中點，又因為是矩形，是線段的中點，所以,,所以四邊形為平行四邊形，所以,因為平面，平面，所以平面；(2)如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意設(shè)，則，，因為，，，與所成角是，所以，即，化簡得，解得或（不合題意舍去），從而，因此點應(yīng)在線段的中點處．【方法技巧與總結(jié)】已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．題型五：線面角例19．(2023·天津和平·一模）平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若直線上存在點，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.答案：(1)證明見解析；(2)；(3)﹒【解析】分析：(1)證明AC⊥AB，從而得AC⊥平面ABEF即可；(2)以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，則點到平面的距離為在方向投影的絕對值；(3)根據(jù)E、H、F三點共線，表示出H點坐標(biāo)，根據(jù)可求出H坐標(biāo)，求出平面法向量，利用向量即可求出直線與平面成角的大小﹒(1)中，，由余弦定理得，，，，平面平面，平面平面＝，平面，平面，.(2)以A為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，∴點到平面的距離；(3)，，，，設(shè)點坐標(biāo)，，∵E、H、F三點共線，∴，，∴，∴，解得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面成的角為，，∴直線與平面成的角為.例20．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，三棱臺中，，，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角．答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）由題，取中點，連接，，先由線線垂直證面，即可由線面垂直證，即可證；（2）分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，即可由向量法求所求線面角.(1)由題，取中點，連接，由，，則，又面，故面，因為面，故，又，則，得證；(2)由題，，則，又，，故，故.分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，設(shè)平面法向量，則，令，則，故，故直線與平面所成的角為.即直線與平面所成的角為.例21．(2023·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.答案：(1)詳見解析；(2)存在點且為的中點；.【解析】分析：（1）在圖1中連接AC，交BE于O，易知，且，再在圖2中由是二面角的平面角證明；（2）由（1）分別以為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由表示坐標(biāo)，求得平面的一個法向量，根據(jù)到平面的距離為求得，進而得到，由求得坐標(biāo)，設(shè)直線與平面所成的角為，由求解.(1)證明：如圖所示：在圖1中連接AC，交BE于O，因為四邊形是邊長為2的菱形，并且，所以，且，在圖2中，相交直線均與BE垂直，所以是二面角的平面角，因為，則，所以平面平面；(2)由（1）分別以為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，因為到平面的距離為，所以，解得，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以直線與平面所成角的正弦值為：.例22．(2023·浙江湖州·模擬預(yù)測）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時，求證：平面平面；(2)若時，求直線與平面所成的角的正弦值．答案：(1)證明見解析；(2).【解析】分析：（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.(1)因，，，則有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.(2)在平面內(nèi)，過B作直線垂直于，交直線于E，有，，如圖，則為二面角的平面角，平面，，于是得，中，，則，在中，，，，由余弦定理得，則有，顯然平面平面，在平面內(nèi)過B作，則平面，以B為原點，分別以射線為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得而，設(shè)與平面所成的角為，所以與平面所成的角的正弦值為.例23．(2023·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F(xiàn)為棱PC上一點．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．答案：(1)證明見解析(2)存在；或【解析】分析：（1）根據(jù)底面菱形的特點得到，再由線面垂直得到，平面，進而得到面面垂直；（2）建立空間坐標(biāo)系得到線面角的表達式，求解即可.(1)證明：連接，因為底面為菱形，，所以是正三角形，是的中點，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．(2)由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個法向量．設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．例24．(2023·吉林·三模（理））如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點O，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說明理由．答案：(1)證明見解析(2)存在；【解析】分析：(1)由條件證明，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可證平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求與平面所成角的正弦值，由此可求.(1)∵，，∴，又O是中點∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面(2)∵底面是菱形，∴以O(shè)為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．又，所以，∴，設(shè)平面的法向量是，∴，令，則，假設(shè)線段上存在點F，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴時，即存在點F是中點時，與平面所成角的正弦值是．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．題型六：二面角例25．(2023·四川成都·二模（理））如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點，點F在棱上，且，E為線段上的動點.(1)證明：；(2)若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.答案：(1)詳見解析；(2).【解析】分析：（1）由底面，結(jié)合，得到，再根據(jù)，D為的中點，得到,則平面，從而，然后由，得到，進而證明平面即可；（2）由（1）取的中點O，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與所成角的余弦值為，求得x=2，再求得平面的一個法向量，由平面的一個法向量，然后由求解.(1)證明：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因為，所以，又因為，D為的中點，所以,又，所以平面，則，易知，則，因為，三條，則，即，又，所以平面，所以；(2)由（1）取的中點O，以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，，因為直線與所成角的余弦值為，所以，解得x=2，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，易知是平面的一個法向量，則二面角的余弦值是.例26．(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點M，N分別為和的重心．(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）延長交于點P，延長交于O點，連接,證明即可.（2）證明兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.(1)延長交于點P，延長交于O點，連接．因為點M，N分別為和的重心，所以點P，O分別為和的中點，所以，又平面，平面，所以平面．(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，點D到底面的距離最大，即平面平面，連接，因為和均為正三角形，于是，又平面平面，所以平面，所以兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，又二面角即二面角，設(shè)平面的一個法向量為，則可得，取，則，同理設(shè)平面的一個法向量為，則,即，取，則，所以，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．例27．(2023·青海玉樹·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）取EF中點G，連接BF，根據(jù)線線平行且相等證明四邊形ABGF為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明平面BCE即可（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求解平面和的法向量，進而求得二面角的余弦值即可(1)因為四邊形ABCD是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，取EF中點G，連接BG四邊形ABGF為平行四邊形在中，，平面BCE，且交于點B平面BCE平面BCE(2)由（1），平面ABEF，可得兩兩垂直，故以為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由（1）同理可得，，故，，，故，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，故，令，則設(shè)平面的一個法向量為，則，故，令，則二面角為，則，即二面角的余弦值為例28．(2023·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.答案：(1)證明見解析；(2).【解析】分析：（1）由面面、線面垂直的性質(zhì)可得，且，根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.(1)由題設(shè)，，又面面，面面，面，所以面，而面，則，由得：，又，則平面.(2)若是的中點，連接，由，，，，所以，面面，面面，面，所以面，面，則.綜上，可構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，，所以，則，若是面的法向量，則，令，則，若是面的法向量，則，令，則，所以，故二面角的余弦值為.例29．(2023·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由.答案：(1)證明見解析(2)存在，點F為線段PB的靠近點P的三等分點【解析】分析：（1）由BE⊥AE結(jié)合平面AEP⊥平面ABCE得出BE⊥平面APE，再由線面垂直的定義得出；（2）以點O為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.(1)證明：因為四邊形ABCD為平行四邊行，且為等邊三角形，所以∠BCE=120o.又E為CD的中點，所以CE=ED=DA=CB，即為等腰三角形，所以∠CEB=30o.所以∠AEB=180o－∠AED－∠BEC=90o，即BE⊥AE.又因為平面AEP⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面ABCE，所以BE⊥平面APE，又平面APE，所以BE⊥AP.(2)解：取AE的中點O，連接PO，由于為正三角形，則PO⊥AE，又平面APE⊥平面ABCE，平面平面ABCE=AE，平面EAP，所以PO⊥平面ABCE，，，取AB的中點G，則，由（1）得BE⊥AE，所以O(shè)G⊥AE，以點O為原點，分別以O(shè)A，OG，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則0（0，0，0），A（1，0，0），，，E（－1，0，0），則，，，，假設(shè)存在點F，使平面AEF與平面AEP的夾角為45°，設(shè)，則，設(shè)平面AEF的法向量為，由得，取z=2λ，得；由（1）知為平面AEP的一個法向量，于是，，解得或λ=－1（舍去），所以存在點F，且當(dāng)點F為線段PB的靠近點P的三等分點時，平面AEF與平面AEP的夾角為45°.例30．(2023·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E為PA中點.(1)求證：ED平面PBC；(2)已知平面PAD與平面PBC的交線為，在上是否存在點N，使二面角P-DC-N的余弦值為？若存在，請確定點N位置；若不存在，請說明理由.答案：(1)證明見解析(2)存在，點N為PM的中點，其中M為AD與BC交點【解析】分析：(1)取PB的中點F，連接EF，F(xiàn)C，先證明四邊形EFCD為平行四邊形，從而EDFC，從而可證明.(2)延長AD，BC相交于點M，連接PM，得出直線.取AB中點Q，連DQ，則DQDC，過D在平面PAD內(nèi)作AD的垂線DH，可得DH平面ABCD.分別以DQ，DC，DH所在直線為x軸?y軸?z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.(1)取PB的中點F，連接EF，F(xiàn)C，在三角形PAB中，EFAB，且，在直角梯形中，CDAB，且∴EFCD，EF=CD∴四邊形EFCD為平行四邊形,所以EDFC又FC平面PBC，ED平面PBC所以ED平面PBC；(2)在梯形中，CDAB，則AD，BC延長必相交.延長AD，BC相交于點M，連接PM，知PM即為交線.取AB中點Q，連DQ，則DQDC，過D在平面PAD內(nèi)作AD的垂線DH，又側(cè)面PAD平面ABCD，側(cè)面PAD平面ABCD=AD，則DH平面ABCD.分別以DQ，DC，DH所在直線為x軸?y軸?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面PDC的法向量為，則由,即，取，則，，所以.設(shè)，，則，所以，，即∴，（0，2，0）.設(shè)平面NDC的法向量為，則由即，取，則，，所以.所以因為二面角P-DC-N的余弦值為所以，所以，解得或由，即，解得則當(dāng)時，二面角P-DC-N為銳二面角；當(dāng)時，二面角P-DC-N為鈍二面角所以，經(jīng)檢驗時，不合題意，舍去.所以存在點N，點N為PM的中點.【方法技巧與總結(jié)】如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，題型七：距離問題例31．(2023·上海交大附中模擬預(yù)測）已知正四棱柱，其中．(1)若點是棱上的動點，求三棱錐的體積．(2)求點到平面的距離答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)與平面平行，直接求解三棱錐的體積即可；（2）以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量與，再根據(jù)線面距離的空間向量方法求解即可(1)實際上需求三棱錐的體積．由正四棱柱，角形的面積為因為P是棱上的動點且與平面平行，則只需寫出與平面間的距離即可．由于平面，不妨記三棱錐的高為則三棱錐的體積(2)以D為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則可知設(shè)平面的法向量為則不妨設(shè)，同時設(shè)點到平面的距離為d則故點到平面的距離為例32．(2023·北京·北大附中三模）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進而根據(jù)正三角形與線面垂直的性質(zhì)與判定可得平面；（2）取中點為中點為，可得兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系根據(jù)線面角與點面距離的方法求解即可(1)證明：由題知，因為，所以，又，所以，又，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，為中點，于是，又，所以平面(2)取中點為中點為，則，由（1）知平面，且平面，所以，又，所以，所以平面，于是兩兩垂直如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則所以設(shè)平面的法向量為，則，即令，則于是設(shè)，則由于直線與平面所成角的正弦值為于是，即，整理得，由于，所以于是設(shè)點到平面的距離為則所以點到平面的距離為例33．(2023·全國·高二）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．答案：(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】分析：(1)要證面面平行，轉(zhuǎn)化為證明兩組線面平行，連接AC，證明EF∥AC∥，可證∥平面，同理可證EG∥平面；(2)由(1)知兩平面平行，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，兩平面間的距離為在法向量上的投影﹒(1)∵E是AB中點，F(xiàn)是BC中點，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒(2)如圖：以D為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz﹒則∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒例34．(2023·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值；(3)求點到直線的距離．答案：(1)證明見解析；(2)；(3)．【解析】分析：(1)證明平面BCF∥平面ADE即可；(2)以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，利用向量夾角可求直線與直線所成角的余弦值；(3)根據(jù)點到直線的距離為，利用向量方法即可求解．(1)∵AE∥CF，AE平面BFC，CF平面BFC，∴AE∥平面BCF，∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，又∵AD∩AE=A，∴平面ADE∥平面BFC，∵BF平面BFC，∴BF∥平面ADE；(2)以A為原點，AB、AD、AE分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，∴直線與直線所成角的余弦值為．(3)根據(jù)(2)可知：，，，∴，∴點到直線的距離為：．例35．(2023·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱上的點，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點M到直線距離．答案：(1)見解析(2)【解析】分析：（1）取AC的中點O，連接，利用勾股定理證明從而證得平面ABC，然后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，設(shè)得到點M的坐標(biāo)，求出平面與平面ABC的法向量，由余弦值可確定值，然后利用點到直線的距離公式計算即可.(1)取AC的中點O，連接，，，所以由題設(shè)可知，為邊長為2的等邊三角形，所以，由，，所以所以平面ABC；平面,所以平面平面ABC；(2)以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)可得，設(shè)平面的法向量為則即取所以因為為平面ABC的一個法向量，設(shè)平面與平面ABC夾角為，解得，所以所以點M到直線距離例36．(2023·全國·高二）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點.（1）求異面直線與間的距離；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使平面，并求出N到AB和AP的距離.答案：（1）；（2）到的距離為，到的距離為.【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與間的距離.（2）設(shè)，利用平面列方程，求得，由此求得點的坐標(biāo)，從而求得到和的距離.【詳解】（1）由題意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB.以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)，∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)，設(shè)異面直線AC、PB的公垂線的方向向量為，則，，∴令x=1，則y=-，z=，即.設(shè)異面直線AC、PB之間的距離為d，則d===.（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)存在一點N(a，0，c)，使NE⊥平面PAC，由（1）知E，∴=，∴,解得,∴，∴N到AB的距離為，N到AP的距離為.例37．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.（1）求二面角的大小；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.答案：（1）（2）（3）存在點，其坐標(biāo)為，即恰好為點【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，由此求得其大小.（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計算出異面直線與的距離.（3）根據(jù)求得點的坐標(biāo)，設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點的坐標(biāo)，由此判斷出存在點符合題意.【詳解】（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點，連接，，則底面，故以為坐標(biāo)原點，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為取，可得又平面的一個法向量為由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則易得，異面直線與的距離（3），而又，點的坐標(biāo)為假設(shè)存在點符合題意，則點的坐標(biāo)可設(shè)為平面為平面的一個法向量，由，得.又平面，故存在點，使平面，其坐標(biāo)為，即恰好為點.【點睛】本小題主要考查利用空間向量法計算二面角、異面直線公垂線段的長，考查利用空間向量法研究線面平行的條件，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.【方法技巧與總結(jié)】1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·河南·模擬預(yù)測（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．答案：A【解析】分析：利用坐標(biāo)法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，∴，∴，即異面直線EF與所成角的余弦值為.故選：A.2．(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面答案：A【解析】分析：取、、的中點分別記為、、，畫出圖形根據(jù)線面平行的判定定理及空間向量法證明即可；【詳解】解：取、、的中點分別記為、、，連接、、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面即為平面，對于A：如圖，，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B：如圖，在平面中，，則平面，所以B錯誤；對于C、D：如圖，平面，因為過平面外一點作（）僅能作一條垂線垂直該平面，故C、D錯誤；其中平面可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故選：A3．(2023·黑龍江·綏化市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知直三棱柱各棱長均相等，點D，E分別是棱，的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：用表示向量，然后由數(shù)量積的運算求得向量的夾角的余弦，得異面直線所成角的余弦．【詳解】設(shè)直三棱柱的棱長為1，則，點D，E分別是棱，的中點，，，，所以．所以異面直線AD與BE所成角的余弦值為．故選：A．4．(2023·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的一個法向量，點在內(nèi)，則到的距離為（

）A． B． C．4 D．10答案：C【解析】分析：由向量的坐標(biāo)運算得，再由平面的距離即可求解.【詳解】由題意，得，又知平面的一個法向量，則到平面的距離，故選：C.5．(2023·全國·高二課時練習(xí)）有以下命題：①一個平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行，則這條直線和這個平面平行③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：A【解析】分析：根據(jù)平面單位法向量的定義可判斷①，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷②，根據(jù)兩平面法向量關(guān)系判斷③，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷④.【詳解】因為一個平面的單位法向量方向不同，所以有2個，故①錯誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行時，則這條直線和這個平面垂直，故②錯誤；因為兩個平面的法向量平行時，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④錯誤.故選：A6．(2023·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知正三棱柱的所有棱長都為2，N為棱的中點，動點M滿足，λ∈[0，1]，當(dāng)M運動時，下列選項正確的是（

）A．當(dāng)時，的周長最小B．當(dāng)λ=0時，三棱錐的體積最大C．不存在λ使得AM⊥MND．設(shè)平面與平面所成的角為θ，存在兩個不同的λ值，使得答案：B【解析】分析：根據(jù)特殊位置即可判斷出周長，根據(jù)等體積，可判斷高最大，體積最大，根據(jù)線面垂直可判斷線線垂直，根據(jù)二面角的向量求法即可作出判斷.【詳解】當(dāng)時，是的中點，,當(dāng)時，，,

故當(dāng)時的周長并不是最小的.故A錯.當(dāng)λ=0時，,只需要面積最大體積就最大，此時重合，故B對.當(dāng)是中點時，平面,又平面，則，故C錯.取中點為,則平面,以所在直線為軸，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為,故設(shè)平面的法向量為所以

令，則，故，故D不對.故選：B7．(2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動點，為棱的中點，則下列選項正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點時，則點在平面的射影是點C．存在點，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值答案：D【解析】分析：根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，進而可判斷A；利用勾股定理和反證法即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法和反證法即可判斷C；根據(jù)等體積法即可判斷D.【詳解】A：由題意知，，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯誤；B：連接，如圖，當(dāng)點為的中點時，，又，所以，若點在平面的射影為，則平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，在中，，所以，即不成立，故B錯誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，若存在點使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點使得與所成角為，故C錯誤；D：如圖，由等體積法可知，又，為定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：D.8．(2023·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為.以為坐標(biāo)原點，以為軸正半軸，為軸正半軸，為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，動點滿足直線與所成夾角為的最大值為（

）A． B． C．1 D．2答案：D【解析】分析：由題意寫出，，由向量夾角公式計算可得然后由不等式可得最值.【詳解】正方體的棱長為,可得，,點，則，由動點滿足直線與所成夾角為可得，整理得由，可得，當(dāng)時取等號，即最大值為2，故選：D二、多選題9．(2023·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直答案：ACD【解析】分析：A選項，由線面垂直的定義可判斷正確；B選項，兩平面平行，則它們的法向量平行；C選項，兩平面平行，則它們的法向量平行；D選項，兩平面垂直，則它們的法向量垂直.【詳解】對于A選項，由線面垂直的定義若一條直線和一個平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們稱直線和平面垂直，所以，∴，A正確；對于B選項，兩平面平行，則它們的法向量平行，所以B錯誤；對于C選項，兩平面平行，則它們的法向量平行，∴或∴，C正確；對于D選項，兩平面垂直它們的法向量垂直，所以兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直，D正確.故選：ACD.10．(2023·江蘇·海安縣實驗中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC1與直線所成的角為90°B．B1D⊥平面ACD1C．點B1到平面ACD1的距離為D．直線B1C與平面所成角的余弦值為答案：BD【解析】分析：根據(jù)