高考數(shù)學微專題集專題6：有關(guān)距離問題(原卷版+解析)

專題6：有關(guān)距離問題專題6：有關(guān)距離問題專題闡述：利用導數(shù)研究距離問題，通常有兩種不同的問題：相異曲線上兩點間的距離問題及利用切線求兩點間的距離問題，研究此類問題通常需要將所求問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與圖象，給出判斷.考法一：相異曲線上兩點間距離[規(guī)律方法]此類問題通?？梢越柚鷥煞N解決方法解決問題：①通過觀察，結(jié)合反函數(shù)及其性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值解決問題；②通過函數(shù)作差，或等量代換，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值解決問題.例1．設點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于直線對稱；又，由直線的斜率，得，，所以切線方程為，則原點到切線的距離為，的最小值為．故選：D．例2．設動直線與函數(shù)，的圖象分別交于點M、N，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：A【解析】畫圖可以看到就是兩條曲線間的垂直距離．設，求導得：．令得；令得，所以當時，有最小值為，故選：A．例3．已知直線分別與直線、曲線交于點、，則線段長度的最小值為______.（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）答案：【解析】由直線分別與直線、曲線交于點A、B，得，由，易得恒成立，即曲線在直線的上方，設，則設，則，則，，，當時，，當時，，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即.故答案為:【點睛】本題根據(jù)題意可得點橫坐標，再構(gòu)造，求出導函數(shù)，通過判定函數(shù)的單調(diào)性，求得線段長度的最小值.主要考查的是導數(shù)的應用，考查學生的運算求解能力，考查的而核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿足，且，則的最大值為（

）A．B．1C．D．答案：A【解析】作出的圖像如圖所示.因為，所以，易知，則.令，則易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：A【點睛】本題通過畫出的圖像，再根據(jù)確定，進而將轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)，求導分析單調(diào)性與最大值，考查學生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.【針對訓練】1．設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為A． B． C． D．2．設動直線與函數(shù)的圖象分別交于點M，N，則最小值所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．設直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．考法二：利用切線求兩點距離[規(guī)律方法]此類問題經(jīng)常表現(xiàn)為曲線上的點與直線上的點間的距離，解決的途徑一般為設入直線與曲線的切點，借由表達式進而求最值，與此同時，將所求問題進行等價變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)曲線的切線問題也是考慮的關(guān)鍵環(huán)節(jié).例4．已知點M在曲線上，點N在直線上，則的最小值為______．答案：【解析】當點M是曲線的切線中與直線平行的直線的切點時，取得最小．故令解得，，故點M的坐標為，故點M到直線的最小值為．例5．若實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．6答案：C【解析】∵，∴，，分別令，，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的點之間的距離的最小值，，設與直線平行且與曲線相切的切點為，則，，解得，可得切點，切點到直線的距離，∴的最小值．故選：C．【點睛】本題通過已知條件的等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象上點之間的距離的最小值，由導數(shù)幾何意義，設與直線平行且與曲線相切的切點為，進而求出切點，得出的最小值.【針對訓練】4．實數(shù)滿足：，則的最小值為________5．若實數(shù)a、b、c、d滿足，則的最小值為______．【強化訓練】6．設點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知直線分別與函數(shù)和交于、兩點，則、之間的最短距離是A． B． C． D．8．已知函數(shù)若且，則的取值范圍是A． B． C． D．9．已知直線y＝b與函數(shù)f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分別交于A，B兩點，若AB的最小值為2，則a+b＝_______.10．已知點在圓上，點在曲線上，則線段的長度的最小值為____________．11．已知函數(shù),,實數(shù),若使得對,都有成立,則的最大值為__________.12．已知函數(shù)，若使得成立則的最小值是__________.13．已知實數(shù)、、、滿足，則的最小值為______．專題6：有關(guān)距離問題專題6：有關(guān)距離問題專題闡述：利用導數(shù)研究距離問題，通常有兩種不同的問題：相異曲線上兩點間的距離問題及利用切線求兩點間的距離問題，研究此類問題通常需要將所求問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與圖象，給出判斷.考法一：相異曲線上兩點間距離[規(guī)律方法]此類問題通?？梢越柚鷥煞N解決方法解決問題：①通過觀察，結(jié)合反函數(shù)及其性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值解決問題；②通過函數(shù)作差，或等量代換，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值解決問題.例1．設點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于直線對稱；又，由直線的斜率，得，，所以切線方程為，則原點到切線的距離為，的最小值為．故選：D．例2．設動直線與函數(shù)，的圖象分別交于點M、N，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：A【解析】畫圖可以看到就是兩條曲線間的垂直距離．設，求導得：．令得；令得，所以當時，有最小值為，故選：A．例3．已知直線分別與直線、曲線交于點、，則線段長度的最小值為______.（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）答案：【解析】由直線分別與直線、曲線交于點A、B，得，由，易得恒成立，即曲線在直線的上方，設，則設，則，則，，，當時，，當時，，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即.故答案為:【點睛】本題根據(jù)題意可得點橫坐標，再構(gòu)造，求出導函數(shù)，通過判定函數(shù)的單調(diào)性，求得線段長度的最小值.主要考查的是導數(shù)的應用，考查學生的運算求解能力，考查的而核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿足，且，則的最大值為（

）A．B．1C．D．答案：A【解析】作出的圖像如圖所示.因為，所以，易知，則.令，則易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：A【點睛】本題通過畫出的圖像，再根據(jù)確定，進而將轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)，求導分析單調(diào)性與最大值，考查學生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.【針對訓練】1．設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為A． B． C． D．2．設動直線與函數(shù)的圖象分別交于點M，N，則最小值所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．設直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．考法二：利用切線求兩點距離[規(guī)律方法]此類問題經(jīng)常表現(xiàn)為曲線上的點與直線上的點間的距離，解決的途徑一般為設入直線與曲線的切點，借由表達式進而求最值，與此同時，將所求問題進行等價變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)曲線的切線問題也是考慮的關(guān)鍵環(huán)節(jié).例4．已知點M在曲線上，點N在直線上，則的最小值為______．答案：【解析】當點M是曲線的切線中與直線平行的直線的切點時，取得最?。柿罱獾?，，故點M的坐標為，故點M到直線的最小值為．例5．若實數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．6答案：C【解析】∵，∴，，分別令，，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的點之間的距離的最小值，，設與直線平行且與曲線相切的切點為，則，，解得，可得切點，切點到直線的距離，∴的最小值．故選：C．【點睛】本題通過已知條件的等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象上點之間的距離的最小值，由導數(shù)幾何意義，設與直線平行且與曲線相切的切點為，進而求出切點，得出的最小值.【針對訓練】4．實數(shù)滿足：，則的最小值為________5．若實數(shù)a、b、c、d滿足，則的最小值為______．【強化訓練】6．設點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知直線分別與函數(shù)和交于、兩點，則、之間的最短距離是A． B． C． D．8．已知函數(shù)若且，則的取值范圍是A． B． C． D．9．已知直線y＝b與函數(shù)f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分別交于A，B兩點，若AB的最小值為2，則a+b＝_______.10．已知點在圓上，點在曲線上，則線段的長度的最小值為____________．11．已知函數(shù),,實數(shù),若使得對,都有成立,則的最大值為__________.12．已知函數(shù)，若使得成立則的最小值是__________.13．已知實數(shù)、、、滿足，則的最小值為______．參考答案：1．B【詳解】由題意知函數(shù)y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對稱，兩曲線上點之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點的最小距離的2倍．設y＝ex上點(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則，∴x0＝ln2，y0＝1，∴點(x0，y0)到y(tǒng)＝x的距離為＝(1－ln2)，則|PQ|的最小值為(1－ln2)×2＝(1－ln2)．2．C分析：根據(jù)給定條件，求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討最小值即可判斷作答.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，令，求導得，為增函數(shù)，且，則存在，使得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，，而，，于是得，，所以最小值所在的區(qū)間為.故選：C【點睛】思路點睛：涉及已知函數(shù)的最值求參數(shù)或其范圍的問題，合理應用函數(shù)的單調(diào)性，借助導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性進行求解、判斷．3．D分析：由題意得到，，，其中，且，表示，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值．【詳解】直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，，，，其中，且，，設函數(shù)，，，令，解得，當，即時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，當，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，故時，函數(shù)有最小值，最小值為，故線段的長度的最小值為．故選：D．【點睛】本題考查最值問題，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．4．##4.5分析：利用代數(shù)式的幾何意義結(jié)合導數(shù)可求最小值.【詳解】由題設可得，，故，設，，則，即函數(shù)的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，而，令，則，此時對應的函數(shù)值為1，故函數(shù)的圖象在處的切線為，的最小值即為平行線，之間的距離，此距離為，故的最小值為，故答案為：5．分析：將題目所給方程，轉(zhuǎn)化為點是曲線上的點，是直線上的點，而題目所求表示為最小值，利用平移切線的方法，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出最小值.【詳解】∵，∴點是曲線上的點，是直線上的點，∴．∵，由得，；由得．∴當時，取得極小值為1．如圖，要使最小，當且僅當過曲線上的點且與線平行時．∵，直線的斜率，∴，∴或（由于，故舍去）．∴．設點到直線的距離為d，則．∵，∴的最小值為．故答案為：.6．B分析：做出兩個函數(shù)草圖，易得當點處的切線斜率為，且垂直時，最?。驹斀狻?，，令，解得，所以，故的最小值為到的距離，．故選：B．7．D【詳解】分析：求出兩點的橫坐標，作差后用導數(shù)可求得最小值．詳解：由得，由得，其中，設，，在時，由得，且當時，，當時，，∴時，取極小值也是最小值．故選D．點睛：本題考查用導數(shù)求最值，解題時，需把兩點的橫坐標用表示出來，然后求出，再由導數(shù)求最小值．本題難度一般，應該是導數(shù)應用的基礎題．8．B【詳解】分析：作出函數(shù)的圖象，由題意可得，求得，可得，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極大值且為最大值，考慮的大小，即可得到所求范圍.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由，且，可得，即為，可得，令，，當時，遞增；當時，遞減，則在處取得極大值，也為最大值，由，可得的范圍是，故選B.點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力.導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.9．2.分析：設A（x1，b），B（x2，b），則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用導數(shù)，結(jié)合最小值也為極小值，可得極值點，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．【詳解】設A（x1，b），B（x2，b），可設x1＜x2，則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，∴x1（ax2+lnx2﹣3），∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，令y＝（1a）xlnx，則y′＝1?（x＞0），由|AB|的最小值為2，可得2﹣a＞0，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，∴x時，函數(shù)y取得極小值，且為最小值2，即有（1a）?ln2，即得ln0解得a＝1，由x2＝1，則b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，可得a+b＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了兩函數(shù)圖象間的距離最小值的應用問題，也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，是綜合題．10．分析：由題可得，圓的半徑．設，令，首先求得的最小值，然后求解線段的長度的最小值即可.【詳解】由題可得，圓的半徑．設，令，則，所以．令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，