高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：5 3 2 第1課時(shí) 函數(shù)的極值(人教A版)

第五章

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的

關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)極值的定義1.極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝

，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，就把

叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，

叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.2.極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝

，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)

，右側(cè)

，就把

叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，

叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.3.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為

；極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為

.0f′(x)<0f′(x)>0af(a)0f′(x)>0f′(x)<0bf(b)極值點(diǎn)極值知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)極值的求法與步驟1.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是

；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是

.2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程

的根；極大值極小值f′(x)＝0(3)列表；(4)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.1.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn).(

)2.函數(shù)的極大值一定大于極小值.(

)3.函數(shù)y＝f(x)一定有極大值和極小值.(

)4.函數(shù)的極值點(diǎn)是自變量的值，極值是函數(shù)值.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、求函數(shù)的極值例1

求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；解f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f′(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22.(2)f(x)＝x－alnx(a∈R).解f(x)＝x－alnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a.又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－alna，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無(wú)極大值.反思感悟函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況.反思感悟函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況.解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1.解函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f′(x)>0，這時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；二、由極值求參數(shù)的值或取值范圍例2

(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝____，b＝_____.4－11解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，但由于當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x＝1處取得極值，而當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意，故a，b的值分別為4，－11.解f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3，＋∞).反思感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對(duì)于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題，解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).注意：求出參數(shù)后，一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.(2)對(duì)于函數(shù)無(wú)極值的問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題，此時(shí)需注意不等式中的等號(hào)是否成立.√①若函數(shù)的極大值點(diǎn)是－1，求a的值；解f′(x)＝x2－2x＋a，由題意得，f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，則f′(x)＝x2－2x－3，經(jīng)驗(yàn)證可知，f(x)在x＝－1處取得極大值，故a＝－3.②若函數(shù)f(x)有一正一負(fù)兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解由題意得，方程x2－2x＋a＝0有一正一負(fù)兩個(gè)根，設(shè)為x1，x2，則x1x2＝a<0，故a的取值范圍是(－∞，0).三、利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題解由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個(gè)不相等的實(shí)根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：反思感悟(1)利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.(2)解決這類(lèi)問(wèn)題，一個(gè)就是注意借助幾何圖形的直觀性，另一個(gè)就是正確求導(dǎo)，正確計(jì)算極值.∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗且f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值的情況，它的圖象大致如圖所示，3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是A.在(1,2)上函數(shù)f(x)單調(diào)遞增B.在(3,4)上函數(shù)f(x)單調(diào)遞減C.在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值D.x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點(diǎn)√12345√√解析由題圖可知，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)4＜x＜5時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，∴x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝4是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A，B，C正確，D錯(cuò)誤.123452.(多選)已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)

C.(2，＋∞) D.(－∞，3)12345√解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2處有極值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.√3.設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則A.x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)

B.x＝1為f(x)的極小值點(diǎn)C.x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)

D.x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)12345√解析令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞－1時(shí)，f′(x)＞0.故x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn).4.函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1的極小值點(diǎn)為_(kāi)__.12345解析由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：2x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值.2

－412345解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，經(jīng)驗(yàn)證知符合題意.1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)極值的定義.(2)函數(shù)極值的判定及求法.(3)函數(shù)極值的應(yīng)用.2.方法歸納：方程思想、分類(lèi)討論.3.常見(jiàn)誤區(qū)：導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.下列函數(shù)中存在極值的是基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析對(duì)于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在區(qū)間(－∞，0)上，y′>0；在區(qū)間(0，＋∞)上，y′<0.故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y＝x－ex取得極大值.2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)√12345678910111213141516解析由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.123456789101112131415163.函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為A.－e B.－1

C.1－e D.012345678910111213141516√令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.4.已知a是函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a等于A.－4 B.－2 C.4 D.212345678910111213141516√解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)的極小值點(diǎn)為a＝2.5.(多選)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的值可以是A.－4 B.－3 C.6 D.812345678910111213141516√解析由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有兩個(gè)不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.√令f′(x)<0，得x<－2或x>1；令f′(x)>0，得－2<x<1.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－2,1)上單調(diào)遞增，12345678910111213141516123456789101112131415167.設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)，則常數(shù)a＝_____.12345678910111213141516－13解析f′(x)＝－x2＋2bx＋c，12345678910111213141516若b＝1，c＝－1，則f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此時(shí)f(x)沒(méi)有極值；若b＝－1，c＝3，則f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，當(dāng)－3<x<1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，12345678910111213141516故b＝－1，c＝3即為所求.(1)求a的值；由題意知，曲線在x＝1處的切線斜率為0，即f′(1)＝0，12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)的極值.12345678910111213141516當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.故f(x)在x＝1處取得極小值，極小值為f(1)＝3，無(wú)極大值.1234567891011121314151610.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的極值；解f′(x)＝3x2－2x－1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：1234567891011121314151612345678910111213141516(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)>0，x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有f(x)<0，∴曲線y＝f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).12345678910111213141516∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，1234567891011121314151611.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是綜合運(yùn)用12345678910111213141516√解析因?yàn)閒(x)在x＝－2處取得極小值，所以當(dāng)x＜－2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即f′(x)＜0；當(dāng)x＞－2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f′(x)＞0.所以當(dāng)x＜－2時(shí)，y＝xf′(x)＞0；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝xf′(x)＝0；當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，y＝xf′(x)＜0；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝xf′(x)＝0；當(dāng)x＞0時(shí)，y＝xf′(x)＞0.結(jié)合選項(xiàng)中的圖象知選C.123456789101112131415161234567891011121314151612.函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.解析由題意知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，又極值點(diǎn)處的切線為平行于x軸的直線，1234567891011121314151613.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.[1,5)12345678910111213141516解析∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，即f′(x)＝0在(－1,1)內(nèi)恰有一個(gè)根.∴1≤a<5.14.若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為_(kāi)___.(0,1)解析f′(x)＝3x2－3a.當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上無(wú)極值.12345678910111213141516解得0<a<1.15.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，且f(x)在x＝x0與x＝2處取得極值，則f(1)＋f(－1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0拓廣探究√12345678910111213141516解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，則x0和2是該方程的根.12345678910111213141516由題圖知，f′(x)<0的解集為(x0,2)，∴3a>0，則b>0，∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.12345678910111213141516解因?yàn)閒′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a，12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解因?yàn)閒′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2)，(2a，＋∞)；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；當(dāng)a<1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2a)，(2，＋∞).(3)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.12345678910111213141516備用工具&資料1234567891011121314