高考數(shù)學(xué)大題精做專題06函數(shù)建模問(wèn)題(第六篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題06函數(shù)建模問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例分段函數(shù)模型典例1二次函數(shù)模型典例2指對(duì)數(shù)模型典例3函數(shù)與其他知識(shí)綜合模型典例4【典例1】【江西省南昌市南昌縣蓮塘第一中學(xué)2020屆月考】十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開(kāi)，通過(guò)以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃．2018年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（1）求出2018年的利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額-成本）（2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)．【典例2】【2020屆上海市閘北區(qū)高三模擬】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長(zhǎng)為的正方形截去一個(gè)三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點(diǎn)落在邊或邊上.設(shè)，矩形的面積為.（1）試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）試問(wèn)如何截?。慈『沃禃r(shí)），可使得到的矩形的面積最大？【典例3】【上海市上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬上外高中2020屆月考】某林場(chǎng)現(xiàn)有木材存量為，每年以25%的增長(zhǎng)率逐年遞增，但每年年底要砍伐的木材量為，經(jīng)過(guò)年后林場(chǎng)木材存有量為（1）求的解析式（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于，如果，那么該地區(qū)會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，要經(jīng)過(guò)幾年？（?。镜淅?】【四川省樹(shù)德中學(xué)2020屆入學(xué)考試】如圖，、是一矩形邊界上不同的兩點(diǎn)，且，，，設(shè)．（1）寫出的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出函數(shù)的取值范圍．【針對(duì)訓(xùn)練】1.【江蘇省蘇州市蘇州中學(xué)、新草橋中學(xué)2020屆模擬】我校高一年級(jí)某研究小組經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：提高北環(huán)隧道的車輛通行能力可有效改善交通狀況，在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米，車流密度指每千米道路上車輛的數(shù)量）的函數(shù).當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到210輛/千米時(shí)，將造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)30輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù).（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.2.【河南省焦作市2020屆模擬】某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬(wàn)元，可增加銷售額約為百萬(wàn)元.（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬(wàn)元，可增加的銷售額約為百萬(wàn)元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）3.【2020屆貴州省黔東南州模擬】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量（單位：微克）與時(shí)間（單位：小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線.（1）寫出第一次服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，治療有效．問(wèn)：服藥多少小時(shí)開(kāi)始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到,參考數(shù)據(jù)：）4.【湖南省懷化市2019屆模擬】如圖，是南北方向的一條公路，是北偏東方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線．為方便游客光，擬過(guò)曲線上的某點(diǎn)分別修建與公路，垂直的兩條道路，，且，的造價(jià)分別為5萬(wàn)元百米，40萬(wàn)元百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則曲線符合函數(shù)模型，設(shè)，修建兩條道路，的總造價(jià)為萬(wàn)元，題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米．（1）求解析式；（2）當(dāng)為多少時(shí)，總造價(jià)最低？并求出最低造價(jià)．備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題06函數(shù)建模問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例分段函數(shù)模型典例1二次函數(shù)模型典例2指對(duì)數(shù)模型典例3函數(shù)與其他知識(shí)綜合模型典例4【典例1】【江西省南昌市南昌縣蓮塘第一中學(xué)2020屆月考】十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開(kāi)，通過(guò)以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃．2018年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（1）求出2018年的利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額-成本）（2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)利潤(rùn)的定義，結(jié)合投入成本是分段函數(shù)，分類討論求得利潤(rùn)函數(shù).（2）根據(jù)第一問(wèn)利潤(rùn)函數(shù)，分和兩種情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，用二次函數(shù)法求最值，當(dāng)時(shí)，用基本不等式法求最值，然后這兩段中取最大的為函數(shù)的最大值即最大利潤(rùn)，此時(shí)x的取值為最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴．（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，即2018年生產(chǎn)100百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為1800萬(wàn)元．【典例2】【2020屆上海市閘北區(qū)高三模擬】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長(zhǎng)為的正方形截去一個(gè)三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點(diǎn)落在邊或邊上.設(shè)，矩形的面積為.（1）試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）試問(wèn)如何截?。慈『沃禃r(shí)），可使得到的矩形的面積最大？【思路引導(dǎo)】（1）分類討論,當(dāng)點(diǎn)分別落在線段或線段上.根據(jù)矩形面積即可求得關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域.（2）根據(jù)（1）由分段函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得面積的最大值.求得取最大值時(shí)的值,即可知截取矩形的方式.【詳解】（1）依據(jù)題意并結(jié)合圖形,可知：①當(dāng)點(diǎn)落在線段上即時(shí),；②當(dāng)點(diǎn)在線段上,即時(shí),由,得.于是.所以,定義域.（2）由（1）知,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因此,y的最大值為.答：先在DE上截取線段,然后過(guò)點(diǎn)M作DE的垂線交BA于點(diǎn)P,再過(guò)點(diǎn)P作DE的平行線交DC于點(diǎn)N,最后沿MP與PN截鐵皮,所得矩形面積最大,最大面積為.【典例3】【上海市上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬上外高中2020屆月考】某林場(chǎng)現(xiàn)有木材存量為，每年以25%的增長(zhǎng)率逐年遞增，但每年年底要砍伐的木材量為，經(jīng)過(guò)年后林場(chǎng)木材存有量為（1）求的解析式（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于，如果，那么該地區(qū)會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，要經(jīng)過(guò)幾年？（?。舅悸芬龑?dǎo)】（1）根據(jù)前三年木材存量，歸納出解析式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，解不等式即可.【詳解】（1）1年后，木材存量，2年后，木材存量3年后，木材存量根據(jù)以上數(shù)據(jù)歸納推理得：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，即證，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則木材存量必須小于則，解得兩邊取對(duì)數(shù)得即故：經(jīng)過(guò)8年后，該地區(qū)就會(huì)發(fā)生水土流失.【典例4】【四川省樹(shù)德中學(xué)2020屆入學(xué)考試】如圖，、是一矩形邊界上不同的兩點(diǎn)，且，，，設(shè)．（1）寫出的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出函數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）分為：當(dāng)B在EF上運(yùn)動(dòng)，即和當(dāng)B在GF上運(yùn)動(dòng)，即兩段進(jìn)行分別討論即可；（2）在不同段的函數(shù)表達(dá)式根據(jù)三角函數(shù)有界性即可較易求解?！驹斀狻拷猓海?），．．當(dāng)時(shí)，的兩頂點(diǎn)、在、上，且，．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，．綜上（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，．且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，．且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以．【針對(duì)訓(xùn)練】1.【江蘇省蘇州市蘇州中學(xué)、新草橋中學(xué)2020屆模擬】我校高一年級(jí)某研究小組經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：提高北環(huán)隧道的車輛通行能力可有效改善交通狀況，在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米，車流密度指每千米道路上車輛的數(shù)量）的函數(shù).當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到210輛/千米時(shí)，將造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)30輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度是車流密度的一次函數(shù).（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意可知,為分段函數(shù),且當(dāng)時(shí),再根據(jù)當(dāng)與時(shí)的值,設(shè)代入求解即可.(2)根據(jù)(1)中的分段函數(shù)解析式,求出的解析式,再分段求解函數(shù)的最大值分析即可.【詳解】(1)由題意可知,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,又當(dāng)時(shí),車流速度是車流密度的一次函數(shù),故設(shè),所以,解得,故當(dāng)時(shí),.故.(2)由題,,故當(dāng)時(shí),最大值為.當(dāng)時(shí),開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為,故此時(shí)最大值為.綜上,當(dāng)車流密度為105輛/小時(shí)車流量達(dá)到最大值36752.【河南省焦作市2020屆模擬】某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬(wàn)元，可增加銷售額約為百萬(wàn)元.（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬(wàn)元，可增加的銷售額約為百萬(wàn)元，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）先寫出收益f(t)的解析式，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最大值和此時(shí)t的值.（Ⅱ）設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬(wàn)元,再寫出g(x)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即得資金分配方案.詳解：（Ⅰ）設(shè)投入t百萬(wàn)元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬(wàn)元，則由，∴當(dāng)t=3時(shí)，f(t)取得最大值9，即投入3百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此增加的收益最大.（Ⅱ）用于技術(shù)改造的資金為x百萬(wàn)元，則用于廣告促銷的資金為(5-x)百萬(wàn)元，設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬(wàn)元.則..則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)x=4時(shí)，g(x)取得最大值.即4百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.3.【2020屆貴州省黔東南州模擬】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量（單位：微克）與時(shí)間（單位：小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線.（1）寫出第一次服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，治療有效．問(wèn)：服藥多少小時(shí)開(kāi)始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到,參考數(shù)據(jù)：）【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)圖象知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，得所以，即因此（Ⅱ）根據(jù)題意知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以所以，因此服藥小時(shí)（即分鐘）開(kāi)始有治療效果，治療效果能持續(xù)小時(shí).4.【湖南省懷化市2019屆模擬】如圖，是南北方向的一條公路，是北偏東方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線．為方便游客光，擬過(guò)曲線上的某點(diǎn)分別修建與公路，垂直的兩條道路，，且，的造價(jià)分別為5萬(wàn)元百米，40萬(wàn)元百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則曲線符合函數(shù)模型，設(shè)，修建兩條道路，的總造價(jià)為萬(wàn)元，題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米．（1）