2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題4.4平行四邊形壓軸題綜合測(cè)試卷含解析新版浙教版

Page1專題4.4平行四邊形（滿分100）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（雁塔區(qū)校級(jí)三模）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2024年2月4日至2月20日在中國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，以下是參選的冬奧會(huì)會(huì)徽設(shè)計(jì)的部分圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析推斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；假如一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【解題過程】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（金華月考）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則不能推斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【思路點(diǎn)撥】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行分析即可．【解題過程】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能推斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．3．（新鄉(xiāng)模擬）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，且l1∥l2．若∠1＝57°，則∠2＝（）A．108° B．36° C．72° D．129°【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作BF∥l2交DE于點(diǎn)F，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)求解即可．【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)B作BF∥l2交DE于點(diǎn)F，∵l1∥l2，∴BF∥l1，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=(5-2)×180°∵BF∥l2，∠1＝57°，∠2+∠CBF＝180°，∴∠ABF＝∠1＝57°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣57°＝51°，∴∠2＝180°﹣51°＝129°，故選：D．4．（尋烏縣期末）將一個(gè)四邊形ABCD的紙片剪去一個(gè)三角形，則剩下圖形的內(nèi)角和為（）A．180° B．180°或360° C．360°或540° D．180°或360°或540°【思路點(diǎn)撥】分為三種狀況，畫出圖形，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可．【解題過程】解：如圖①，剩余的部分是三角形，其內(nèi)角和為180°，如圖②，剩余的部分是四邊形，其內(nèi)角和為360°，如圖③，剩余的部分是五邊形，其內(nèi)角和為540°．綜上所述，剩下圖形的內(nèi)角和為180°或360°或540°．故選：D．5．（灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)，H，連接EF，GH，BD與EH相交于P，若AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，則∠GEF＝（）度．A．25 B．30 C．45 D．35【思路點(diǎn)撥】依據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)G=12CD，F(xiàn)G∥CD，依據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EGD、∠DGF，進(jìn)而求出∠【解題過程】解：∵E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EG是△ADB的中位線，∴EG=12AB，EG∥∴∠EGD＝∠ABD＝20°，同理可得：FG=12CD，F(xiàn)G∥∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°，∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°，∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF=1故選：A．6．（微山縣月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝4，DE＝2，AB＝25，則AC的長(zhǎng)為（）A．32 B．42 C．52 D．5【思路點(diǎn)撥】連接CE，由平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO，CD＝AB＝25，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得CE＝AE＝4，然后由勾股定理的逆定理證出∠CED＝90°，則∠AEC＝90°，最終由勾股定理即可求解．【解題過程】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，CD＝AB＝25，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵CE2+DE2＝42+22＝20，CD2＝（25）2＝20，∴CE2+DE2＝CD2，∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC=AE2故選：B．7．（丹徒區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB為（）A．3 B．2.5 C．3.5 D．4【思路點(diǎn)撥】依據(jù)已知條件證明AE＝AB，DC＝DF，過點(diǎn)E作EG∥FC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明BE⊥EG，再利用勾股定理可得BG的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)．【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)E作EG∥FC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可證：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=1∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四邊形EFCG是平行四邊形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，依據(jù)勾股定理，得BG=B∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故選：B．8．（海曙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，過E作EF∥CD交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若要求△FBC的面積，只需知道下列哪個(gè)三角形的面積即可（）A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC【思路點(diǎn)撥】過B作BM⊥AC于點(diǎn)M，過D作DN⊥AC于N，證明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面積公式可得△BCF和△CDE的面積都等于△CDF的面積，便可得出答案．【解題過程】解：過B作BM⊥AC于點(diǎn)M，過D作DN⊥AC于N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△ADN和△CBM中，∠DAN=∠BCM∠AND=∠CMB=90°∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN＝BM，∵S△BCF=12CF?BM，S△CDF=12∴S△BCF＝S△CDF，∵EF∥CD，∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，故選：A．9．（越秀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB=3，∠AOB＝60°，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+2EFA．32+1 B．3 C．72【思路點(diǎn)撥】依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面積公式計(jì)算△ABO的面積，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO=32，即可得到OE+2【解題過程】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB=3∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO=12AO?AB∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO=3∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO=1即OE+2EF=3故選：B．10．（澗西區(qū)一模）如圖，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，AD＝22，CD＝72，∠ADB＝135°，S△ABD＝8．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(-32，62) B．(-42，6【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E點(diǎn)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先通過AAS證出△BOE≌△CAD，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE＝AD＝22，BE＝CD＝72，依據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論．【解題過程】解：過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E點(diǎn)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵四邊形ABOC是平行四邊形，∴AC＝OB，AC∥OB，∴∠OGC＝∠BOE，∵AD∥y軸，∴∠DAC＝∠OGC，∴∠BOE＝∠DAC，在△BOE和△CAD中，∠BEO=∠CDA∠BOE=∠CAD∴△BOE≌△CAD（AAS），∴OE＝AD＝22，BE＝CD＝72，∵∠ADB＝135°，∴∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∵S△ABD＝8，∴12AD?BF∴12∴BF＝42，∴EF＝32，∴D（﹣32，62），故選：A．評(píng)卷人得分二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（青羊區(qū)校級(jí)月考）用反證法證明“三角形的三個(gè)外角中至多有一個(gè)銳角”，應(yīng)先假設(shè)三角形的三個(gè)外角中至少有兩個(gè)銳角【思路點(diǎn)撥】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立．【解題過程】解：用反證法證明“三角形的三個(gè)外角中至多有一個(gè)銳角”，應(yīng)先假設(shè)三角形的三個(gè)外角中至少有兩個(gè)銳角．故答案是：三角形的三個(gè)外角中至少有兩個(gè)銳角．12．（沭陽縣月考）如圖，小明從A點(diǎn)動(dòng)身，沿直線前進(jìn)15米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)15米，又向左轉(zhuǎn)36°，…，照這樣走下去，他第一次回到動(dòng)身地A點(diǎn)時(shí)，一共走了150米．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360°除以36°求出邊數(shù)，然后再乘以15m即可得到答案．【解題過程】解：∵每次小明都是沿直線前進(jìn)15米后向左轉(zhuǎn)36°，∴他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n＝360°÷36°＝10，∴他第一次回到動(dòng)身點(diǎn)A時(shí)，一共走了：10×15＝150（米）．故答案為：150．13．（富平縣一模）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AD上隨意一點(diǎn)，且O、E、F三點(diǎn)在一條直線上，連接AO，BO，EO，F(xiàn)O．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，則圖中陰影部分的面積是33【思路點(diǎn)撥】連接CO，過A作AH⊥BC于H，依據(jù)點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，即可得到S△BOC=12S△ABC，再依據(jù)△AOF≌△COE（SAS），即可得到S△AOF＝S△COE，進(jìn)而得出S陰影部分＝S△BOC＝3【解題過程】解：如圖所示，連接CO，過A作AH⊥BC于H，∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，∴∠BAH＝30°，BH=12∴AH＝23，∴S△ABC=12BC×AH=1又∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，∴O是AC的中點(diǎn)，∴S△BOC=12S△ABC=1∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，且O、E、F三點(diǎn)在一條直線上，∴AO＝CO，F(xiàn)O＝EO，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（SAS），∴S△AOF＝S△COE，∴S陰影部分＝S△BOC＝33，故答案為：3314．（金寨縣期末）如圖，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（3，0），連接AB，點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)，在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，若△ABP是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2）或（173，2）【思路點(diǎn)撥】分∠APB＝90°、∠ABP＝90°兩種狀況，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理列式計(jì)算即可．【解題過程】解：∵點(diǎn)M、N分別是OA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），∴MN∥OB，MN=12OB＝1.5，①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，在Rt△AOB中，AB=O∵∠APB＝90°，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，∴PN=12則PM＝PN+MN＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2）；②當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，過P作PE⊥x軸于E，連接AP，設(shè)BE＝x，則PM＝OE＝x+3，由勾股定理得，PB=x2+2在Rt△ABP中，AP=A則22解得，x=8∴OE=83+∴P（173故答案為：（4，2）或（17315．（渾源縣期中）如圖，?ABCD中∠BAD＝60°，AB＝4cm，BC＝10cm，點(diǎn)E從B點(diǎn)動(dòng)身以2cm/秒速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)D動(dòng)身以3cm/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接EF，作線段EF的垂直平分線，交邊AD和BC于G、H兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜103），當(dāng)GH＝AB時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t值是25或【思路點(diǎn)撥】當(dāng)GH∥AB時(shí)，可證△GFK≌△HEK（AAS），從而10﹣4﹣3t＝2t+4，解得t=25；當(dāng)GH不平行AB時(shí)，證明△FTG≌△ETH（AAS），可得△FGH是等邊三角形，四邊形ABFH是平行四邊形，即有10﹣3t＝2t﹣4，解得t【解題過程】解：當(dāng)GH∥AB時(shí)，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AG∥BH，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∴AG＝BH，AB＝GH＝4，∠FGK＝∠A＝60°＝∠KEE，∵GH是EF的垂直平分線，∴∠GKF＝90°＝∠EKH，EK＝FK，∴△GFK≌△HEK（AAS），∴GK＝HK=12∴GF＝2GK＝4＝EH，由AG＝BH得：10﹣4﹣3t＝2t+4，∴t=2當(dāng)GH不平行AB時(shí)，如圖：∵AG∥BH，∴四邊形ABHG是等腰梯形，∴∠AGH＝∠A＝60°＝∠THE，∠BHG＝120°，∵GH是EF的垂直平分線，∴FT＝ET，∠FTG＝∠ETH＝90°，∴△FTG≌△ETH（AAS），∴TG＝TH=12GH＝2，F(xiàn)G＝在Rt△FTG中，TG=12∴FG＝GH＝4，∴△FGH是等邊三角形，∴∠GFH＝60°＝∠A，F(xiàn)G＝HG＝4＝HE，∴AB∥FH，∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴AF＝BH，∴10﹣3t＝2t﹣4，解得t=14綜上所述，t為25或14評(píng)卷人得分三．解答題（本大題共9小題，滿分55分）16．（西峰區(qū)期末）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線的條數(shù)．【思路點(diǎn)撥】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍少180°，而任何多邊形的外角和是360°，因而多邊形的內(nèi)角和等于900°．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)，即可求出答案．【解題過程】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180°（n﹣2），依題意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，對(duì)角線條數(shù)：(7-3)×72答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7，對(duì)角線有14條．17．（海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)．（1）求證：AF＝CE；（2）若四邊形AECF的周長(zhǎng)為10，AF＝3，AB＝2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)平行四邊形ABCD的對(duì)邊平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形證得四邊形AECF為平行四邊形，然后依據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等證得結(jié)論；（2）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解題過程】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，∴AE=12AD，CF=∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF＝CE；（2）解：∵四邊形AECF的周長(zhǎng)為10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝8+2×2＝12．18．（江陰市校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱．（1）畫出對(duì)稱中心E，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2；（3）畫出與△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A3B3C3．【思路點(diǎn)撥】（1）連接AA1、BB1、CC1，它們的交點(diǎn)為E；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A1、B1、C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2即可；（3）依據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A3、B3、C3的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可．【解題過程】解：（1）如圖，點(diǎn)E為所作；點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）如圖，△A3B3C3為所作．19．如圖1，在△ABC中，DE為△ABC的中位線．（1）寫出DE、BC之間的位置關(guān)系：DE∥BC；寫出DE、BC之間的數(shù)量關(guān)系：DE=12BC（2）如圖2，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC三邊的中點(diǎn)，圖中有4個(gè)平行四邊形，求證：S△ABC＝4S△DEF．（3）如圖3，點(diǎn)P，Q，R，S分別是四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，圖中有1個(gè)平行四邊形，求證：S四邊形ABCD＝2S四邊形PORS．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)三角形中位線定理解答即可；（2）依據(jù)平行四邊形的判定解答即可；（3）依據(jù)平行四邊形的判定和三角形中位線定理解答即可．【解題過程】（1）解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12故答案為：DE∥BC；DE=12（2）證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE∥BC，EF∥AB，DF∥AC，∴四邊形DBFE和四邊形DFCE和四邊形DFEA是平行四邊形，∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC三邊的中點(diǎn)，∴DF=12AC，EF=12AB，∴S△DEF∴S△ABC＝4S△DEF．故答案為：4；（3）證明：圖中只有1個(gè)平行四邊形，連接BD，AC，∵點(diǎn)P，Q，R，S分別是四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，∴PS∥BD，PS=12BD，QR∥BD，QR=∴四邊形PQRS是平行四邊形，由（2）可知，S△APS∴S△APS同理可得：S△BPQ∴S四邊形PSRQ∴S四邊形ABCD＝2S四邊形PORS．故答案為：1．20．（沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，E、F分別為AB、CD邊上兩點(diǎn)，F(xiàn)B平分∠EFC．（1）如圖1，若AE＝2，EF＝5，求CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G為EF上一點(diǎn)，且∠GBF＝∠EFD，求證：FG+2FD＝AB．【思路點(diǎn)撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，結(jié)合角平分線的定義可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，進(jìn)而可求解；（2）在FC上截取FH＝FG，連接BH，利用SAS證明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠BFD＝∠BHC，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用AAS證明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，進(jìn)而可證明結(jié)論．【解題過程】（1）解：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABF＝∠BFC，∵FB平分∠EFC，∴∠EFB＝∠BFC，∴∠ABF＝∠EFB，∵AE＝2，EF＝5，∴BE＝EF＝5，∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；（2）證明：在FC上截取FH＝FG，連接BH，在△BGF和△BHF中，F(xiàn)G=FH∠BFE=∠BFC∴△BGF≌△BHF（SAS），∴∠BGF＝∠BHF，∵∠GBF＝∠EFD，∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，∴∠BFH＝∠BGF，∴∠BFH＝∠BHF，∴∠BFD＝∠BHC，∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，∴∠BDF＝45°＝∠BCH，∴BD＝BC，在△BDF和△BCH中，∠BFD=∠BHC∠BDF=∠BCH∴△BDF≌△BCH（AAS）∴DF＝CH，∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，即FG+2FD＝AB．21．（豐都縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（a，0），B（b，0）且a、b滿足|a+4|+b-3=0．若四邊形ABCD為平行四邊形，CD∥AB且CD＝AB，點(diǎn)C（0，4）在（1）如圖①，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)動(dòng)身，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，三角形ABP的面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一；（2）如圖②，當(dāng)P從O點(diǎn)動(dòng)身，沿y軸向上運(yùn)動(dòng)，連接PD、PA，∠CDP、∠APD、∠PAB存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由（解除P在O和C兩點(diǎn)的特殊狀況）．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝﹣4，b＝3，得到AB＝7，依據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，依據(jù)三角形和平行四邊形的面積公式列方程即可得到答案；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，過P作PQ∥AO，如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面時(shí)，過P作PQ∥AO，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解題過程】解：（1）∵|a+4|+b-3∴a+4＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣4，b＝3，∴A（﹣4，0），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝7，∵點(diǎn)C（0，4），∴OC＝4，∵CD∥AB且CD＝AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵三角形ABP的面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一，12×（4﹣2t）×7解得：t＝1，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，∴12×（2t﹣4）×7解得：t＝3，當(dāng)時(shí)間t為1或3時(shí)，三角形ABP的面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，∠DPA＝∠CDP+∠PAB，理由：過P作PQ∥AO，∴∠QPD＝∠CDP，∵CD∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPA＝∠PAB，∵∠DPA＝∠QPD+∠QPA，∴∠DPA＝∠CDP+∠PAB；如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面時(shí)，∠DPA＝∠PAB﹣∠CDP，理由：過P作PQ∥AO，∴∠QPD＝∠CDP，∵CD∥AB，∴PQ∥CD，∴∠QPA＝∠PAB，∵∠DPA＝∠QPA﹣∠QPD，∴∠DPA＝∠PAB﹣∠CDP．22．（道里區(qū)三模）已知：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CF、CG．（1）如圖1，求證：EG＝FC；（2）如圖2，連接BG、OG，在不添加任何幫助線的狀況下，請(qǐng)干脆寫出圖中的四個(gè)平行四邊形，使寫出每個(gè)平行四邊形的面積都等于平行四邊形ABCD面積的一半．【思路點(diǎn)撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行線的性質(zhì)得∠ABE＝∠CDF，易證BE＝DF，由SAS證得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四邊形ABCD＝4S△ABO，易證AG、OB相互平分，則四邊形ABGO是平行四邊形，S四邊形ABGO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，易證OE是△ACG的中位線，則OE∥CG，易證四邊形BOCG是平行四邊形，S四邊形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，證GO∥CD，GO＝CD，則四邊形CDOG是平行四邊形，S四邊形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，證CG∥EF，EF＝CG，則四邊形EFCG是平行四邊形，S四邊形EFCG＝S四邊形【解題過程】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四邊形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，∴AG、OB相互平分，∴四邊形ABGO是平行四邊形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四邊形ABGO＝2S△ABO=12S四邊形∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∵四邊形ABGO是平行四邊形，∴BG∥AC，∴四邊形BOCG是平行四邊形，∴S四邊形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四邊形∵四邊形ABGO是平行四邊形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四邊形CDOG是平行四邊形，∴S四邊形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四邊形∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，∴EF=12BD＝∵四邊形CDOG是平行四邊形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四邊形EFCG是平行四邊形，∴S四邊形EFCG＝S四邊形CDOG=12S四邊形∴圖中的平行四邊形ABGO、平行四邊形BOCG、平行四邊形CDOG、平行四邊形EFCG四個(gè)平行四邊形，每個(gè)平行四邊形的面積都等于平行四邊形ABCD面積的一半．23．（富平縣期末）在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE如圖1．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、P如圖2．①當(dāng)CD＝6．CE＝4時(shí)，求BE的長(zhǎng)；②求證：CD＝CH．【思路點(diǎn)撥】（1）通過ASA證明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可證明四邊形BEDF是平行四邊形；（2）①過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，先依據(jù)勾股定理求出DN＝42，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；②依據(jù)DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，則有∠EDN＝∠ECG，再證∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．【解題過程】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，在△BOE與△DOF中，∠CBD=∠ADBBO=DO∴△BOE≌△DOF（ASA），∴DF＝BE且DF∥BE，∴四邊形BED