高中數學選擇性必修3課件：6 2 1 排列(人教A版)

6.2排列與組合6.2.1排列1.通過實例理解排列的概念.2.能應用排列知識解決簡單的實際問題.課標要求素養(yǎng)要求通過學習排列的概念，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究1排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照____________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.一定的順序點睛排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排成一列”.

1.思考辨析，判斷正誤 (1)在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.(

)

提示

在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列與原來的排列不同. (2)兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.(

) (3)從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列.(

)

提示

從1，2，3，4中任選兩個元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個排列. (4)從5個同學中任選2個同學分別參加數學和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題.(

)×√×√2.從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題(

) A.1種 B.3種 C.2種 D.4種

解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法和乘法時，結果與兩數字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數字的位置有關，故是排列問題.C3.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(

)A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙解析選出兩人，且兩人的不同順序都要考慮.C4.從5名同學中選出正、副組長各1名，有__________種不同的選法(用數字作答).

解析從5名同學中選出正、副組長各1名，即從5個不同元素中選出2個元素進行排列，不同的選法種數為5×4＝20.204.從5名同學中選出正、副組長各1名，有__________種不同的選法(用數字作答).

解析從5名同學中選出正、副組長各1名，即從5個不同元素中選出2個元素進行排列，不同的選法種數為5×4＝20.20課堂互動題型剖析2題型一排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題. (1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜； (4)選10人組成一個學習小組；

(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員； (6)某班40名學生在假期相互通信.

解(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題. (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題. (3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題. (5)中每個人的職務不同，例如甲當班長與當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題. (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2)，(5)，(6)屬于排列問題.判斷一個具體問題是否為排列問題的方法思維升華【訓練1】

下列問題是排列問題嗎？ (1)從班上50名學生中選出6人去參加數學競賽； (2)從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數字作冪運算； (3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3位客人入座，又有多少種方法？

解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是.

理由：(1)不存在順序問題；(2)進行冪運算時，兩數誰作底數，誰作指數不一樣，此時與位置有關；(3)選出3個座位與順序無關，“入座”問題同“排隊”，與順序有關，故選3個座位安排3位客人入座是排列問題.【例2】

(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成無重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個.【例2】

(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成無重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個.(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列.解由題意作“樹狀圖”，如下.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比較有效的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列.思維升華【訓練2】

寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法.

解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.【例3】用具體數字表示下列問題. (1)從100個兩兩互質的數中取出2個數，其商的個數； (2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數字的四位數的個數； (3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，其分配方案的個數.

解(1)從100個兩兩互質的數中取出2個數，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個). (2)因為組成的沒有重復數字的四位數能被5整除，所以這個四位數的個位數字一定是“0”，故確定此四位數，只需確定千位數字、百位數字、十位數字即可，共有3×2×1＝6(個). (3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個)分配方案.題型三排列的簡單應用要想正確地表示排列問題的排列個數，應弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么.思維升華【訓練3】

(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個不同元素中任取3個元素的一個排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法. (2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據分步乘法計數原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.1.牢記2個知識點 (1)排列的定義； (2)相同排列的兩個條件：①元素相同，②順序相同.2.掌握2種方法 (1)判斷一個具體問題是否為排列問題的方法； (2)利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的方法.3.注意1個易錯點

判斷是否為排列問題的關鍵是：選出的元素在被安排時，是否與順序有關.若與順序有關，就是排列問題，否則就不是排列問題.

課堂小結分層訓練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)下面問題中，不是排列問題的是(

) A.由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數 B.從40人中選5人組成籃球隊 C.從100人中選2人抽樣調查 D.從1，2，3，4，5中選2個數組成集合

解析選項A中組成的三位數與數字的排列順序有關，選項B，C，D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關.BCD2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數為(

) A.6 B.4 C.8 D.10

解析列“樹狀圖”如下：B故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法.3.從2，3，5，7四個數中任選兩個分別相除，則得到的不同結果有(

) A.6個 B.10個 C.12個 D.16個

解析不同結果有4×3＝12(個).C4.從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數是(

) A.9 B.10 C.18 D.20C5.四張卡片上分別標有數字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數的個數為(

) A.6 B.9 C.12 D.24

解析組成的四位數列舉如下： 1012，1021，1102，1120，1201，1210，2011，2101，2110，共9個. B二、填空題6.某高三畢業(yè)班有40人，同學之間彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了__________條畢業(yè)留言(用數字作答).

解析根據題意，得40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言.15607.2021北京車展期間，某調研機構準備從6人中選2人去調查E3館、E4館的參觀人數，則不同的安排方法種數為__________.

解析由題意可知，問題為從6個元素中選2個元素的排列問題，所以安排方法有6×5＝30(種).608.考生甲填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一，第二，第三志愿，則總共有________種不同的填法.

解析

從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一，第二，第三志愿，這是個排列問題.所以總共的填法有5×4×3＝60(種).60三、解答題9.判斷下列問題是否為排列問題： (1)從1到10十個自然數中任取兩個數組成直角坐標平面內的點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？ (2)從10名同學中任抽兩名同學去學校開座談會，有多少種不同的抽取方法？解(1)由于取出的兩數組成點的坐標與哪一數作橫坐標，哪一數作縱坐標的順序有關，所以這是一個排列問題.(2)因為任何一種從10名同學抽取兩人去學校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題.(3)某商場有四個大門，若從一個門進去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？解因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題.10.京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1318公里，途經北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的高鐵票？

解對于兩個高鐵站A和B，從A到B的高鐵票與從B到A的高鐵票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站，因此，準備的高鐵票的種數應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列的個數，為21×20＝420.所以一共需要為這21個車站準備420種不同的高鐵票.11.(多選題)下列問題中是排列問題的是(

) A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組 B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動 C.從a，b，c，d中選出3個字母 D.從1，2，3，4，5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數

解析由排列的定義知AD是排列問題.AD12.從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列，它們分別是____________________________________________ ______________________.12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.13.從集合{1，2，3，…，20}中任選出3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？

解設a，b，c∈N*，且a，b，c成等差數列，則a＋c＝2b，由此可以得出a＋c應是偶數.

因此從1到20這20個自然數中任選3個數成等差數列.

則第一個數與第三個數必同時為偶數或同時為奇數，

而1到20這20個自然數中有10個偶數和10個奇數，

當第一個數a和第三個數c選定后，中間的數b也就唯一確定了，

所以選法只有兩類： ①a與c都是偶數，有10×9種選法； ②a與c都是奇數，有10×9種選法.

根據分類計數原理選出3個不同的數成等差數列，這樣的等差數列有10×9＋10×9＝180(個).14.為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

解

由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，故這三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式.

不妨設紅的3個，七個位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，其中135，136，146，247，257，357會留下4個空，兩個不相鄰，兩個相鄰，連續(xù)的不能安裝一樣的顏色，那么就必須一藍一黃，剩下兩個一黃一藍安裝到剩下兩個不相鄰的空里，各4種安裝方法.147留4個空，兩個兩個相鄰，共4種安裝方法.3 137，157，四個空中3個相鄰，一個分開，各2種安裝方法.246，四個空都分開，有6種安裝方法.所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38(種)，當黃或藍有3個時，總數一樣，故一共有3×38＝114(種)不同的安裝方法.備用工具&資料14.為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

解

由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，故這三種顏色的路燈的分配情況只能是2，2，3的形式.

不妨設紅的3個，七個位置分別用1，2，3，4，5，6，7表示，那么紅的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10種，其中135，136，146，247，257，357會留下4個空，兩個不相鄰，兩個相鄰，連續(xù)的不能安裝一樣的顏色，那么就必須一藍一黃，剩下兩個一黃一藍安裝到剩下兩個不相鄰的空里，各4種安裝方法.147留4個空，兩個兩個相鄰，共4種安裝方法.12.從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列，它們分別是____________________________________________ ______________________.12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.【例2】

(1)從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成無重復數字的兩位數，一共可以組成多少個？

解由題意作“樹狀圖”，如下.題型二排列的列舉問題故組成的所有兩位數為12，13，14，21，23，24，31，32，34