高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：7 3 1 離散型隨機(jī)變量的均值(人教A版)

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及均值的概念.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過研究離散型隨機(jī)變量的分布列及均值，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)平均水平2.兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____.p3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為________________＝

pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝________________.P(X＝xi)aE(X)＋b點(diǎn)睛1.均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的平均數(shù).2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即兩個(gè)隨機(jī)變量和的均值等于均值的和.

1.思考辨析，判斷正誤 (1)隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化.(

)

提示

隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)定值，不隨X的變化而變化. (2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(

)

提示

隨機(jī)變量的均值與樣本的均值并非等價(jià)，因?yàn)闃颖敬淼氖遣糠值那闆r，不能完全與整體等價(jià). (3)若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4.(

) (4)對(duì)于結(jié)論E(aX＋b)＝aE(X)＋b，當(dāng)a＝0時(shí)，E(b)＝b，即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(

)××√√2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為A2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為A3.袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，則E(X)等于(

)D解析由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，3.4.口袋中有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為__________.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，故X的分布列如下：求離散型隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計(jì)算出P(X＝k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計(jì)算公式計(jì)算E(X).思維升華解根據(jù)題意，設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為－4，1，3，6.∴X的分布列為【例2】已知隨機(jī)變量X的分布列為：題型二離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)若Y＝－2X，則E(Y)＝__________.【遷移1】

(變設(shè)問)本例條件不變，若Y＝2X－3,求E(Y).∴a＝15.離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計(jì)算Y的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E(Y).思維升華【訓(xùn)練2】

已知隨機(jī)變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，則m的值為(

)A解析因?yàn)閅＝12X＋7，則E(Y)＝12E(X)＋7，題型三離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.解設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0，100，120，220.故X的分布列為解答實(shí)際問題時(shí)，(1)把實(shí)際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值.思維升華解X的所有取值為0，5，10，15，20，25，30.(2)求均值E(X).1.牢記3個(gè)知識(shí)點(diǎn) (1)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望； (2)兩點(diǎn)分布的期望； (3)離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).2.掌握1種方法、1個(gè)思路和3個(gè)步驟 (1)求離散型隨機(jī)變量均值的規(guī)律方法； (2)與離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路；課堂小結(jié) (3)解答概率模型的三個(gè)步驟： ①審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些； ②確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值； ③對(duì)照實(shí)際意義，回答均值所表示的結(jié)論.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算離不開分布列，注意特殊的分布列，計(jì)算對(duì)應(yīng)均值時(shí)要直觀運(yùn)用公式，以減少運(yùn)算量.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為C2.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，則a的值為(

)AXa79Pb0.10.4A.4 B.5 C.6 D.7解析根據(jù)分布列的性質(zhì)可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，則a－b等于(

)CX0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4解析由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.①又由E(X)＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，則a－b＝－0.2.4.某射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10環(huán)得0分.已知他擊中10環(huán)的概率為0.8，則射擊一次得分X的期望是(

) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0

解析因?yàn)镻(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.B5.離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，則a＋b等于(

)D解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②二、填空題6.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，則a＝__________，b＝__________.解析由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b·0.5＋8·a＝6，得b＝6.0.367.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X1234P0.50.20.20.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤均為100元；分2期或3期付款，其利潤均為150元；分4期付款，其利潤為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，則E(Y)＝__________元.130解析由題意可知Y的可能取值為100，150，200，分布列如下∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).三、解答題9.盒中裝有5節(jié)同品牌的五號(hào)電池，其中混有2節(jié)廢電池，現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止.

求：(1)抽取次數(shù)X的分布列；所以X的分布列為(2)平均抽取多少次可取到好電池.即平均抽取1.5次可取到好電池.10.在有獎(jiǎng)摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元的，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元的，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？

解設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X，顯然X的所有可能取值為0，5，25，100.依題意，可得X的分布列為所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元.11.(多選題)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：AB12.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的均值E(X)＝8.9，則x的值為____________，y的值為__________.0.20.4解得y＝0.4，x＝0.2.13.如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X，求X的分布列及均值.解根據(jù)題意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：14.某中學(xué)選派40名學(xué)生參加北京市高中生技術(shù)設(shè)計(jì)創(chuàng)意大賽的培訓(xùn)，他們參加培訓(xùn)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：培訓(xùn)次數(shù)123參加人數(shù)51520(1)從這40名學(xué)生中任選3名，求這3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率；(2)從這40名學(xué)生中任選2名，用X表示這2人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).解

由題意知X＝0，1，2，則隨機(jī)變量X的分布列為備用工具&資料(2)從這40名學(xué)生中任選2名，用X表示這2人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).解

由題意知X＝0，1，2，13.如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X，求X的分布列及均值.解根據(jù)題意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：4.口袋中有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的