上海市奉賢區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期高三三模 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2024年奉賢高三數(shù)學(xué)模擬試卷一、填空題（本大題滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果）1．復(fù)數(shù)的虛部是．2．函數(shù)的最小正周期為.3．若，則有最大值為．4．若，則．（結(jié)果用的代數(shù)式表示）5．為了研究某班學(xué)生的腳步（單位厘米）和身高之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為．6．若數(shù)列滿足對任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng)．7．若函數(shù)為奇函數(shù)，則．8．中，，若在上的投影為．則．9．如圖，已知三角形為直角三角形（為直角），分別連接點(diǎn)與線段的等分點(diǎn)，，…，得到個三角形依次為，，…，，將繞看所在直線旋轉(zhuǎn)一周，記，，…，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為，，…，，若，則三角形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積．10．已知，若非零整數(shù)使得等式恒成立，則得所有可能得取值為．11．若曲線得右頂點(diǎn)，若對線段上任意一點(diǎn)，端點(diǎn)除外，在上存在關(guān)于軸對稱得兩點(diǎn)、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)得取值范圍是．12．已知正方體的棱長為，，，…，為正方形邊上的個兩兩不同的點(diǎn)．若對任意的點(diǎn)，存在點(diǎn).使得直線與平面以及平面所成角大小均為，則正整數(shù)的最大值為．二、選擇題（本大題滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，每題有且只有一個正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑）13．在中，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分永件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．如果分別是的對立事件，下列選項(xiàng)中不能判斷件與事件相互獨(dú)立的是（

）A． B．C． D．15．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則下列說法正確的是（

）A．的中位數(shù)一定等于的中位數(shù)；B．的平均數(shù)一定等于的平均數(shù)；C．的標(biāo)準(zhǔn)差一定不小于的標(biāo)準(zhǔn)差；D．的30百分位數(shù)一定不等于的30百分位數(shù)．16．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于正整數(shù)的方程記為，命題：對于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說法中正確的是（

）A．命題為真命題，命題為假命題； B．命題為假命題，命題為真命題；C．命題為假命題，命題為假命題； D．命題為真命題，命題為真命題；三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，平面，．(1)求證：平面(2)若二面角的大小為，求與平面所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18．已知三角形的三個角對應(yīng)的邊分別為、、(1)求證：存在以為三邊的三角形；(2)若以為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形的最小角．19．在剛剛結(jié)束的杭州亞運(yùn)會上，中國羽毛球隊(duì)延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢項(xiàng)目，以4金3銀2銅的成績傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的爭奪中輸球，則雙方均不得分．但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾?，下一回合改為對方發(fā)球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊(duì)某運(yùn)動員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨(dú)立．若第一回合該中國隊(duì)運(yùn)動員發(fā)球，求第二回合比賽有運(yùn)動員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊(duì)員往往會更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：各回合比賽相互獨(dú)立；假設(shè)2：比賽雙方運(yùn)動員甲和乙的實(shí)力相當(dāng)，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？20．如圖，已知橢圓的方程為和橢圓，其中分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．(1)若恰好為橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓和橢圓有相同的離心率，求橢圓的方程；(2)如圖，若橢圓的方程為.是橢圓上一點(diǎn)，射線分別交橢圓于，連接（均在軸上方）.求證：斜率之積為定值，求出這個定值；(3)在（2）的條件下，若，且兩條平行線的斜率為，求正數(shù)的值．21．若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點(diǎn)”．(1)試問函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？(2)若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點(diǎn)”；(3)若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．1．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是.故答案為：.2．【分析】利用輔助角公式化一，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】，其中，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.3．##0.25【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋@然當(dāng)時，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.4．##【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.【詳解】.故答案為：.5．【分析】將代入回歸直線方程即可得解.【詳解】由題意，令，則，即該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計(jì)其身高為厘米.故答案為：.6．【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)，再令即可得解.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以，令，則，所以在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng).故答案為：.7．【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到，然后利用方程求解，即可得解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，則，則，即，所以，解得，所以.故答案為：.8．【分析】作，根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)橄蛄吭谏系耐队盀?，可得，所以，又因?yàn)?，則.故答案為：.

9．625【分析】設(shè)，，，，兩式相除求出，再由可得，再計(jì)算三角形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積即可.【詳解】設(shè)，，則，①，②②①得，所以，可得，則三角形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積.故答案為：.10．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，然后根據(jù)化簡整理即可得出答案.【詳解】由，得，，因?yàn)榉橇阏麛?shù)使得等式恒成立，所以恒成立，所以有，所以，若，則，所以，此時，若，則，即，所以，此時，綜上所述，.故答案為：.11．【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為漸近線的斜率大于或等于，即可求解.【詳解】由任意點(diǎn)線段上，端點(diǎn)除外，在上存在關(guān)于軸對稱得兩點(diǎn)使得為等邊三角形，即存在點(diǎn)使得，所以存在點(diǎn)使得，由雙曲線的其中一條漸近線方程為，則滿足的斜率大于或等于，即，所以，又由，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.

12．8【分析】先確定當(dāng)線與平面所成角大小均為時，，滿足的條件，同理當(dāng)直線與平面所成角大小均為時，，滿足的條件，再考慮如何作出，即可.【詳解】如圖：設(shè)，為正方形的兩個點(diǎn)，且滿足直線與平面所成的角為，過作于，連接，則為線與平面所成的角，是.所以.所以在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑做圓，取為圓上一點(diǎn)，過作圓的切線，切線與正方形邊的交點(diǎn)即為，.又，所以與平面所成的角為，所以以為圓心，為半徑做圓，做該圓的切線，與正方形邊的交點(diǎn)即為，.如圖：因?yàn)椋耘c相離，兩圓有4條公切線，與正方形的邊有8個交點(diǎn).在這8個點(diǎn)中，任選一個點(diǎn)，存在點(diǎn).使得直線與平面以及平面所成角大小均為.故答案為：8【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是弄清楚，點(diǎn)的作法.先根據(jù)直線與平面所成角的概念，判斷，應(yīng)滿足的條件，以后的問題就好想多了.13．A【分析】由三角函數(shù)值及充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)論.【詳解】在中，若，則；反之，若，且，所以或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．C【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋韵嗷オ?dú)立，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，所以相互?dú)立，所以相互獨(dú)立，故B正確；對于C，，所以，所以無法判斷相互獨(dú)立，故C錯誤；對于D，，因?yàn)椋韵嗷オ?dú)立，故D正確.故選：C.15．A【分析】根據(jù)中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的定義一一判斷即可.【詳解】對于A：因?yàn)榈闹形粩?shù)為從小到大排列的第個數(shù)，設(shè)為；又的中位數(shù)從小到大排列的第個數(shù)恰為，所以的中位數(shù)一定等于的中位數(shù)，故A正確；對于B：因?yàn)榕c不一定相等，故的平均數(shù)與的平均數(shù)不一定相等，故B錯誤；對于C：因?yàn)榈臉O差不大于的極差，所以的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，，則的百分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù)，設(shè)為；的百分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù)恰為，故的百分位數(shù)一定等于的百分位數(shù)，故D正確.故選：A16．D【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合有解，構(gòu)造出滿足條件的等差、等比數(shù)列，即可求解.【詳解】當(dāng)時，可得且，顯然滿足；當(dāng)時，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，可得，此時，滿足，即存在等差數(shù)列使得有解，當(dāng)時，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，可得，此時，滿足，即存在等差數(shù)列使得有解，綜上可得，對于任意的，存在等差數(shù)列使得有解，所以命題為真命題；當(dāng)時，取等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，可得，則，此時滿足，即成立；當(dāng)時，取等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，可得，此時，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解；當(dāng)時，令，即為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，此時，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解；綜上可得，對于任意的，存在等比數(shù)列使得有解，所以命題為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與數(shù)列有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.3、若數(shù)列中涉及到三角函數(shù)有關(guān)問題時，常利用三角函數(shù)的周期性等特征，尋找計(jì)算規(guī)律求解；4、若數(shù)列與向量有關(guān)問題時，應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)行求解；5、若數(shù)列與不等式有關(guān)問題時，一把采用放縮法進(jìn)行判定證明，有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明；6、若數(shù)列與二項(xiàng)式有關(guān)的問題時，可結(jié)合二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，進(jìn)行變換求解.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）由已知及（1）確定二面角的平面角及線面角，再結(jié)合數(shù)量關(guān)系求出線面角的正切.【詳解】（1）在四棱錐中，連接，由平面，平面，得，而，平面，所以平面.（2）在梯形中，由，，得，又，則，由（1）知，平面，平面，得，則，是與平面所成的角，是二面角的平面角，即，在中，，于是，因此，所以與平面所成角的大小為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意兩邊之和大于第三邊即可證明；（2）由題意可得均為銳角，不妨設(shè)，則可得或，然后分情況討論即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)槿切蔚娜齻€角對應(yīng)的邊分別為、、，所以，，設(shè)三角形的外接圓半徑為，則由正弦定理得，，，所以，，，所以存在以為三邊的三角形；（2）因?yàn)橐詾槿叺娜切螢榈妊苯侨切?，所以，所以都為銳角，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，或，所以或，?dāng)時，，則，不合題意，舍去，當(dāng)時，，則，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所?所以,所以三角形的最小角為.19．(1)(2)不合理,理由見詳解【分析】（1）由全概率公式，即可求解；（2）由已知條件，求出第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，與比較，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)事件表示第一回合該中國隊(duì)運(yùn)動員贏球，事件表示第二回合該中國隊(duì)運(yùn)動員贏球，事件表示第二回合比賽有運(yùn)動員得分，由已知，，，則，即第二回合比賽有運(yùn)動員得分的概率為.（2）設(shè)運(yùn)動員甲先發(fā)球，記事件表示第i回合該運(yùn)動員甲贏球，記事件表示運(yùn)動員甲先得第一分，則，則，所以，即則第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率大于，則比賽雙方運(yùn)動員實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，先發(fā)球者更大概率占據(jù)心理上的優(yōu)勢，所以舊制不合理.20．(1)(2)證明見解析，定值為(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和的關(guān)系直接求解即可；（2）設(shè)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，結(jié)合在橢圓上直接化簡整理即可；（3）設(shè)直線與橢圓交于另一點(diǎn)，知關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：，，且的離心率為；恰為的兩個焦點(diǎn)，即橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，，，橢圓的方程為：.（2）設(shè)，則，即，，，，為定值，定值為.（3）設(shè)直線與橢圓交于另一點(diǎn)，由橢圓對稱性可知：關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，設(shè)直線，，，則，由得：，則，，，，由（2）知：，，解得：，又，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓中的定值、參數(shù)值的求解問題；本題第三問求解的關(guān)鍵是能夠通過橢圓的對稱性將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與橢圓的交點(diǎn)問題，進(jìn)而根據(jù)已知等量關(guān)系，利用韋達(dá)定理來進(jìn)行求解.21．(1)是(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”得定義求解即可；（2）由題意可得，再根據(jù)“導(dǎo)控點(diǎn)”的定義可得，求出，進(jìn)而可求出，進(jìn)而可得出答案；（3）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義求證即可.【詳解】（1