初中數(shù)學(xué)變式習(xí)題的設(shè)計

數(shù)學(xué)變式習(xí)題的設(shè)計

習(xí)題是訓(xùn)練學(xué)生的思維材料，是教師將自己的思想、方法以及分析問題

和解決問題的技能技巧施達(dá)于學(xué)生的載體。要想不被千變?nèi)f化的表象所迷惑，抓

住本質(zhì)的東西，變式教學(xué)是一種有效的辦法。通?？梢岳昧?xí)題變式訓(xùn)練學(xué)生的

思維，使學(xué)生在多變的問題中受到磨練，舉一反三，加深理解。如將練習(xí)中的條

件或結(jié)論做等價性變換，變更練習(xí)的形式或內(nèi)容，形成新的練習(xí)變式，可有助于

學(xué)生對問題理解的逐步深化。下面本人結(jié)合理論學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐，談

談在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、利用變式來改變題目的條件或結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、推理、歸納、探索

的思維能力。

（一）、一題多問，通過變式培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究、概括能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”中學(xué)生的想象力豐富，

因此，可以通過例題所提供的結(jié)構(gòu)特點，鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生大膽地猜想，以培養(yǎng)學(xué)

生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維。

例題1.如圖（1）已知aABC中，NBAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于點

D和E.求證：△ABDs^AEC

此題是很簡單的證明題，將圖形變式，添加切線BF,則可變?yōu)椋?/p>

［變式訓(xùn)練］1.如圖（2）已知AABC中，NBAC的平分線與邊BC和外接圓分別相

交于點D和E.過B作。0的切線交CE延長線與F點.

求證：CE:BC=BF:CF

本題需證△BEFs^CBF,若將條件進(jìn)一步發(fā)展，延長AD交BF于N,則有：

2.如圖（3）已知aABC中，NBAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于點D和

E.過B作。0的切線交CE延長線于F點，交AE延長線于N點.

求證:BN-DE=BD-EN

本題需證BE平分/FBC和△ABDs/^CDE,并借助中間比推證，若再將F為BF、

CE交點改為F是由C點作切線BN垂線的垂足，則又變?yōu)椋?/p>

3.如圖（4）已知aABC中，NBAC的平分線與邊BC和外接圓分別相交于點D和

E.過B作。0的切線交AE延長線于N點，作EF1BN.

求證：BN-DE=BD-EN

本題關(guān)鍵是證BE平分NFBC

(1)(2)(3)(4)

這一組變式訓(xùn)練將問題的條件適當(dāng)發(fā)展，或增添新的條件，不斷推出新的結(jié)

論，能引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，積極探索，深化認(rèn)識。

題2.如圖（一）在AABC中，NB=NC,點D是邊BC上的一點，DE1AC,DF1AB,垂

足分別是E、F,AB=10cm,DE=5cm,DF=3cm,求（1）SAABC.（2）AB上的高。

［變式訓(xùn)練］:L如圖（一）在AABC中，ZB=ZC,若點D是邊BC延長線上的一點，

DE1AC,DF1AB,垂足分別是E、F,AB=10cm,DE=5cm,DF=3cm,

求⑴SAABC.（2）AB上的高。

上兩題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解；借助于添加AB

上的高CH,利用面積公式和第一題的結(jié)論，不難求的AB上的高為8cm.我在教學(xué)

中并未把求得結(jié)論作為終極目標(biāo)，而是繼續(xù)問：3+5=8,在此題中是否是一個巧合？

探究DE、DF、CH之間的內(nèi)在聯(lián)系，（學(xué)生猜想CH=DE+DF）。

2.如圖（二）在AABC中，ZB=ZC,點D是邊BC上的任一點，DELAC,DF1AB,CH1AB,

垂足分別是E、F、H,求證：CH=DE+DF

3.如圖（二）在AABC中，ZB=ZC,若點D是邊BC延長線上的任一點，DE1AC,

DF1AB,CH1AB,垂足分別是E、F、H,求證：DF=CH+DE

在計算上兩題的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)

系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學(xué)生思維的積極性充分調(diào)動起來的此時，我又借機給出變式

4.如圖（三）在等邊AABC中，P是形內(nèi)任意一點，PD1AB于D,PE1BC于E,PF1AC

于F,求證PD+PE+PF是一個定值。

D

F

/P\

BEC

圖（a>

通過這組變式訓(xùn)練，面積法在幾何計算和證明中的應(yīng)用得到了很好的體現(xiàn)，

同時這一組變式訓(xùn)練經(jīng)歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學(xué)

生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究意

識。

又如應(yīng)用題教學(xué)是初中教學(xué)中的一個難點，在教學(xué)中就可以把同類型的題目

通過變式的方式展現(xiàn)給學(xué)生，把學(xué)生的思維逐步引向深刻。

例：一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成。那么兩人合作多

少小時完成？

［變式訓(xùn)練］1：一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成。甲先單

獨做4小時，然后乙加入合作，那么兩人合作還要多少小時完成？

2：一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成。甲先單獨做4小時,

然后乙加入合作，那么兩人合作還要多少小時完成此工作的2/3?

3：一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成。甲先單獨做4小時，

然后乙加入合作，那么共要多少小時完成此工作的2/3?

4：一件工作，甲單獨做20小時完成，甲、乙合做7.5小時完成。甲先單獨做4

小時，然后乙加入合作，那么兩人合作還要多少小時完成？

5：一件工作，甲單獨做20小時完成，甲、乙合做7.5小時完成。甲先單獨做4

小時，余下的乙單獨做，那么乙還要多少小時完成？

6：一件工作，甲單獨做20小時完成，甲、乙合做3小時完成此工作的2/5。現(xiàn)在

甲先單獨做4小時，然后乙加入合做2小時后，甲因故離開，余下的部分由乙單

獨完成，那么共用多少小時完成此項工作？

這樣通過一個題的練習(xí)既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質(zhì)的東西，

今后碰到類似問題學(xué)生思維指向必定準(zhǔn)確，很好培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。學(xué)生

也不必陷于題海而不能自拔。

（二）、多題一解，適當(dāng)變式，培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維能力。

許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)（或者說是解題的思路、方法是

一樣的），這就要求教師在教學(xué)中重視對這類題目的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求通

法通解，并讓學(xué)生自己感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。

例1：如圖所示，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點0,AC=10,

BD=8.若AC_LBD,試求四邊形ABCD的面積

本題直接應(yīng)用菱形面積的求法

［變式訓(xùn)練］1.若AC與BD的夾角NA0D=60°,求四邊形ABCD的面積；

根據(jù)平行四邊形的兩條對角線互相平分并且把平行四邊形分成四個面積相等

的三角形這個知識點，根據(jù)三角函數(shù)值求出一個三角形的高，得出面積.從而求出

四邊形ABCD的面積

2.若把題目中的“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD"，試求四邊形ABCD的面

積；

3,若把題目中的“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”,且NA0D=6,AC=a,

BD=&,試求四邊形ABCD的面積（用含a,b的代數(shù)式表示）

這兩個題中把“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”，也就是把問題由特

殊化轉(zhuǎn)化到一般化，學(xué)生逐步明確了此種類型題的求法

題2：如圖（1）,aABC和4ADE均為等邊三角形，連結(jié)BD、CE,BD與CE交于點

0,通過觀察或猜測，猜想線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系及它們之間的夾角，并證明你

的猜想.

［變式訓(xùn)練］1.如圖（2）,若把題中的“△ABC和aADE均為等邊三角形”改為“△

ABC和aADE均為等腰直角三角形"，問線段BD和CE又怎樣的數(shù)量關(guān)系及它們之

間的夾角大小

2.如圖（3）,若把題中的“aABC和AADE均為等邊三角形”改為“aABC和aADE

均為頂角為a的等腰三角形”，問線段BD和CE又怎樣的數(shù)量關(guān)系及它們之間的夾

角大小

3.現(xiàn)將圖（3）中的aADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，得至U圖（4）,BD與CE

的延長線交于點0,問圖（3）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，予以證明；若不成立,

說明理由.

這組變式題利用等腰三角形的性質(zhì)，為證明全等三角形創(chuàng)造條件，并利用全

等三角形的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的計算或證明。教師把這類題目成組展現(xiàn)給學(xué)生，讓

學(xué)生在比較中感悟它們的共性。

（三）、一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性和深刻性。

通過變式教學(xué)，不是解決一個問題，而是解決一類問題，開拓學(xué)生解題思路,

培養(yǎng)學(xué)生的探索意識，實現(xiàn)“以少勝多”。

伽利略曾說過“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”。故而課堂教

學(xué)要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題,

深刻挖掘例題、習(xí)題的教育功能。

例如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是

平行四邊形。教師可以不失時機地進(jìn)行變式，調(diào)動起學(xué)生的思維興趣。

［變式訓(xùn)練］1.順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

2.順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

3.順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

做完這四個練習(xí)，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生概括影響組成圖形形狀的本質(zhì)

的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。

對于幾何,不少學(xué)生存在畏懼心理。我認(rèn)為在幾何教學(xué)中運用變式訓(xùn)練就會使

學(xué)生對幾何產(chǎn)生濃厚的興趣，這種變式訓(xùn)練典型的做法就是把原有的題目進(jìn)行放

大、縮小、改組、添加、重疊、顛倒，克服學(xué)生的思維定勢,培養(yǎng)學(xué)生具體問題具

體分析的靈活性。

例2：已知：如圖(1),ZXABC,NACB=90°.CD_LAB,D為垂足.求證:AC2=AD?AB

［變式訓(xùn)練］1.已知：如圖(2),NACB=90°.CD_LAB,D為垂足.

CE平分NBCD.求證：AE2=AD?AB

2.己知：如圖(3),△ABC,NACB=90°.CD，AB,D為垂足.DE±AC,DF±BC

求證：CE：BC=CF：AC

3.已知：如圖(4),AABC,ZACB=90°.CD1AB,DAE^^ZBAC3CBCTE,

求證：CE：EB=CD：CB

4.已知：如圖(5),AABC,NACB=90°.CD，AB,D為垂足.CE平分NBCD,AF平分

ZBAC交BC于F.求證：BFCE=BEDF

這組變式訓(xùn)練抓住思維訓(xùn)練這條主線，恰當(dāng)?shù)淖兏鼏栴}情境或改變思維角度，培

養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、

多用等激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性。

二、在形成數(shù)學(xué)概念的過程中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極參與觀察、分析、歸

納，培養(yǎng)學(xué)生正確概括的思維能力。

從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來看，形成數(shù)學(xué)概念，提示其內(nèi)涵與外延，比數(shù)

學(xué)概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參

與形成概念的全過程，讓學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”、去“創(chuàng)造”，通過多樣化的變式

提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析以及概括能力