2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第一章 空間向量與立體幾何章末檢測卷(二)(詳解版)

空間向量與立體幾何章末檢測卷（二）

說明：1.本試題共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、試室號、座位號填寫在答題卷上。

3.答題必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；

如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答

案無效。

4.考生必須保持答題卷整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回，試卷自己保存。

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求.）

1.已知向量&=（（）,-□）與5=（0,后-2,公）共線，則實(shí)數(shù)%=（）

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

2.已知直線/的方向向量為（123）,平面a的法向量為（2,〃*6）,若Ua,則機(jī)=（）

A.-4B.4C.-10D.10

3.如圖，在三棱錐O-ABC中，E為0A的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上，滿足而=2而，記厲，OB

能分別為d，B，2，則前=（）

1-\-r21-2p1-2-1z-12-1-1-

A.——a+—b+—cB.——a+—b+—cC.——a+—。+—cD.—a——b——c

233233322322

4.在正方體458-中，棱長為2,點(diǎn)M為棱上一點(diǎn)，則麗7?麗的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.設(shè)“、yeR,向量a=S=（l,y,l）,C=（3,-6,3）且￡_1_屋bile,則卜+可=（）

A.2忘B.2A/3C.4D.3

6.定義a?坂-a?b,若向量￡=（1,-2,2）,向量6為單位向量，則的取值范圍是（）

A.[6,12]B.[0,6]C.[-1,5]D.[0,12]

7.在四面體。的中，麗切麗坊無?，點(diǎn)。滿足麗”冊，E為鉆的中點(diǎn)，且流f+/+3

貝”=()

1（C.gD.|8.如圖’已知正方體A88—4BQD的棱長為4,P是

A.2B.

AA的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面44,8避（含邊界）內(nèi)，若RM_LCP.則ABCM面積的最小值為（）

A.8B.4C.—D.隨

55

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分）

9.若向量{點(diǎn)員寸構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

A.a+b>a-b>a+2bB.a-b>a+c<b+c

C.a-b<c>a+b+cD.a-2h<b+c>a+c-b

10.己知空間向量2=（1,-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.問=指

B.向量2與向量很=（-2,2,-4）共線

C.向量￡關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,-2）

D.向量￡關(guān)于yOz平面對稱的向量為

11.在長方體AB8-ABCR中，AB=4,BC=BB『2,E,尸分別為棱AB，AR的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正

確的是（）

—?—?I—.1

A.EF=AA]+-BC+-ClDiB.|EF|=3

C.EDEC^EDECD.BFVEC}

12.若正方體ABS-AAGA的棱長為1，且麗=加而+〃可，其中，〃6|0,1],〃曰0,1],則下列結(jié)論正確

的是（）

A.當(dāng)機(jī)=g時，三棱錐P-BQA的體積為定值

B.當(dāng)"=；時，三棱錐尸-BDg的體積為定值

C.當(dāng)機(jī)+〃=1時，R4+PB的最小值為瓜+6

2

D.若“P】B=/B、D、B,點(diǎn)尸的軌跡為一段圓弧

第n卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知A（l,2,3）,8（4,5,9）,AC=^AB,則前的

坐標(biāo)為______

14.已知空間三點(diǎn)A(l,-1,-1),8(-1,-2,2),C(2,1,1),則福在正上的投影向量的模是.

15.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，。為底面中心，M為S。中點(diǎn)，動

點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM_L”P,則點(diǎn)S與P距離的最小值是.

16.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量2=(1,-1,-2)石=(1,1,3)分別為異面直線//方向向量,

則異面直線44所成角的余弦值為.

四、解答題(本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知點(diǎn)4—2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè))=通，b=AC.

(1)求2,B夾角的余弦值.

(2)若向量后+,,心-25垂直，求人的值.

(3)若向量刀￡-短平行,求4的值.

18.如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段的中點(diǎn)，G在AE上，且AG=2GE.

⑴試用麗，OB，反表示向量花;

UUULK.UI

(2)若OA=2,OB=3,OC=4,ZAOC=Z5OC=60。，ZAO8=90。，求OGA8的值.

19.如圖，在正四棱錐P-48C0中，側(cè)棱長為石，底面邊長為2.點(diǎn)E,尸分別CO,8c中點(diǎn).求證:

20.如圖所示，在幾何體ABC0EF中，四邊形ABQ)為直角梯形，AD//BC,

ABVAD,AE_L底面ABC。，AE//CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.

(1)求證：8F〃平面AOE；

D

(2)求直線8E與直線。尸所成角的余弦值;

B

(3)求點(diǎn)。到直線8F的距離.

21.如圖，四棱錐P-A3CZ)中，AB//CD,BCA.CD,BC=CD=2AB=2,PB=PD=2,PC=y/2,AD=3AM,

N為PC中點(diǎn).

(1)證明：BD±PC；

(2)求直線A/N與平面尸3。所成角的正弦值.

22.在四棱錐P-ABC。中，已知側(cè)面尸8為正三角形，底面A8CD為直

角梯形，AB\\CD,ZADC=90°,AB=AD=3,CD=4,點(diǎn)M,N分別

在線段4?和/加上，且絲=空=2.

(1)求證：PM〃平面ACN；

(2)設(shè)二面角P-CD-A大小為。，若cose=或，求直線AC和平面PA8所成角的正弦值.

3

空間向量與立體幾何章末檢測卷（二）

說明：1.本試題共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、試室號、座位號填寫在答題卷上。

3.答題必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；

如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答

案無效。

4.考生必須保持答題卷整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回，試卷自己保存。

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求.）

1.已知向量&=（（）,-□）與5=（0,后-2,公）共線，則實(shí)數(shù)%=（）

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

【解析】因?yàn)?=（0,-1,1）、5=（0,%-2,公）共線，

-11

所以kh

解得上=-2或1.

故選：D

2.已知直線/的方向向量為（123）,平面a的法向量為（2,機(jī)6）,若Ua,則機(jī)=（）

A.-4B.4C.-10D.10

【解析】因?yàn)樗灾本€/的方向向量與平面a的法向量平行，

所以（1,2,3）=2（2,以6）,解得4=；,機(jī)=4.

故選：B.

3.如圖，在三棱錐0-A3C中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在8c上，滿足麗==2汽，記04，OB，元分別

o

為￡，b，C，則前=(

1-12-1-21-_2-11-D.^a-h-^-c

A.——a+—br+—cB.——a+—br+—cC.——a+—br+—c

233233322322

【解析】在三棱錐O-ABC中

BF=2FC>E為0A的中點(diǎn)

__1___2_____2____2__

EA=-a,AB=OB-OA=b-a>BF=^BC=-(OC-OB)=-(c-b)

___i2ii2

所以前=麗+而+麗=—￡+B-￡+-G-B)=——a+-h+-c

23233

故選：A

4.在正方體ABC。-A'QC'D中，棱長為2,點(diǎn)”為棱。。上一點(diǎn)，則劉乙麗的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】如圖所示，以D4,￡>C,O2分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),8(2,2,0),設(shè)"(0,0,a),

所以麗=(-2,0,a),BM=(-2.-2,a),

^\AM-BM=(-2,0,6(-2,-2,a)=4+a),

當(dāng)a=0時，麗,麗的最小值為4.

5.設(shè)X、ywR,向量a=(x,l,l),B=c=(3,-6,3)且￡_L2,b//c>則卜+@=()

A.2夜B.2石C.4D.3

【解析】因?yàn)閯tH=3x-6+3=0,解得X=l,則￡=(1,1,1),

因?yàn)榱P幾，貝1匚=斗，解得y=-2,即5=(1,—2,1),

所以，々+5=(2,-1,2),因此，1+q="+1+4=3.

故選：D.

6.定義￡區(qū)B=W-75,若向量￡=(1,-2,2),向量坂為單位向量，則的取值范圍是()

A.[6,12]B.[0,6]C.[-1,5]D.[0,12]

【解析】由題意知口=jF+(_2)2+22=3,M=l.

設(shè)<￡,B>=0,則=H-=H-|a|-|/?|cos0=9-3cos0.

又。€[0,可，.?.cos6)€[T,l],.?二@I?6/2卜

故選：A

__,___________,1-]_]_

7.在四面體。LBC中，OA=a，OB=b，反=2,點(diǎn)。滿足而=4前，E為AO的中點(diǎn)，且。石=7+:。+:仁,

244

則4=()

urn1riririuiriuuniuum

【解析】OE=-a+-b+-c=-OA+-OB+-OC,

244244

i_i__uuaiiuniiiiiiu

其中E為中點(diǎn)，有.OE=-OA+-OD,故可知OD=-OB+-OC,

則知D為BC的中點(diǎn)，故點(diǎn)D滿足BD=-BC,2=1.

故選：A8.如圖，已知正方體ABC。一A/BQ/。的棱長為4,P是A/的中點(diǎn)，點(diǎn)M在

側(cè)面A4,Bf(含邊界)內(nèi)，若RM^CP.則ABCM面積的最小值為()

8G875

B.4---Lz.n---

55

【解析】以。為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為＞軸，。。所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖,

則尸（4,0,2）,C（0,4,0）,A（0,0,4）,8（440）,

設(shè)M（4,a,/?）（?,be[0,4]）,則麗=（4,a,b-4）,而=（4,-4,2）,

因?yàn)镈.MVCP,

所以Z）lMCP=16-4a+26-8=0,得b=2a-4,

所以M（4,4）,

所以BM=7（4-4）2+（a-4）2+（2a-4）2=]+y1當(dāng)?=y時，IBM取最小值半,

易知8c=4,且BCJ.平面8Wu平面

故故SmcM=gBCxBM

所以S3的最小值為延x4xL5近.

525

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.若向量｛￡,￡"｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

D————

A.a+h，a-b,a+2ha-b,〃+c，b+c

C.a-b?c，〃+B+cD.a-2b，b+c，a+c-b

Z「=—3

2+〃=1

【解析】對于A選項(xiàng)，若￡+2B=2（￡+?+〃（￡—B）,則解得21,故共面:

〃=——

2

/1+〃=0

rr

對于B選項(xiàng)，若W=/l（2=—1

a-b\+/.i\a+c\,則，-2=1，解得?,故共面;

〃=1

〃=1

'2=1

對于c選項(xiàng)，若，+〃"，則，-A=l,無解，故不共面;

〃=1

2=1

1

對于D選項(xiàng)，若。+。-5=；1（"-29+〃,+。），則《―22+〃=-1,解得[,故共面;

〃=1

故選：ABD

10.己知空間向量￡=（1,7,2）,則下列說法正確的是（）

A.忖=指

B.向量2與向量很=（一2,2,-4）共線

C.向量￡關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,-2）D.向量￡關(guān)于yOz平面對稱的向量為

【解析】A：因?yàn)橥?"+（7）2+22=技所以本選項(xiàng)說法正確；

B：因?yàn)槭?-2九所以向量￡與向量石=（-2,2,Y）共線，因此本選項(xiàng)說法正確；

C：設(shè)￡=。,-1,2）的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為

因?yàn)辄c(diǎn)（1,-1,2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1,-2）,

所以向量￡關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,-2）,因此本選項(xiàng)說法正確;

D：設(shè)￡=(1,-1,2)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為

因?yàn)辄c(diǎn)(1,-1,2)關(guān)于)0z平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,

所以向量￡關(guān)于yOz平面對稱的向量為,

故選：ABC

11.在長方體ABCO-ABCQ中，AB=4,BC=BB]=2,E,尸分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正

確的是()

—■—-1—.1-------

A.EF=AAl+-BC+-CtDtB.|EF|=3

C.EDEC^EDECD.BF1EQ

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0)、A(2,0,())、5(2,4,0)、

E(2,2,0)、A(2,0,2)、*1,0,2)、R(0,0,2)、*0,4,2)、C(0,4,0),

所以而=(—1,—2,2)、羽=(0,0,2)、沅=(—2,0,0)、葩=(0,T,0),

所以喬=麗+3^+g西'，故A正確；

|EF|=7(-1)2+(-2)2+22=3,故B正確；

￡0=(-2,-2,0),Eq=(-2,2,2),EC=(-2,2,0),BF=(-1,-4,2),

所以麗?甌=0,EDEC=0,故而?南=麗?或，即C正確；

因?yàn)榈Z?宙'=-2x(T)+2x(-4)+2x2=-2,所以而與南不垂直，故D錯誤；

故選：ABC

12.若正方體A8C3-ABGR的棱長為1,且麗=加亞+〃麗，其中me[0,1],〃w[0,1],則下列結(jié)論正確

的是（）

A.當(dāng)〃?=；時，三棱錐P-BOq的體積為定值

B.當(dāng)〃=；時，三棱錐尸-8。4的體積為定值

c.當(dāng)%+〃=1時，。+總的最小值為"+也

2

D.若/PRB=/&QB,點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧

【解析】因?yàn)?="4萬+"福,，其中加6[0,1],〃6[0,1],

所以點(diǎn)P在平面4。。A內(nèi)運(yùn)動，

對于A：取A。中點(diǎn)E、中點(diǎn)F,連接EF,

所以EF//AA//8月，

因?yàn)?。U平面BDB],BBtu平面BDB,,

所以EF〃平面80片，

I-.1—.——

當(dāng)〃?=一時，貝ljAP=-AD+〃AA,

22

所以點(diǎn)P在線段E尸上運(yùn)動，

因?yàn)檎ㄆ矫?。與，

所以無論點(diǎn)尸在EF任何位置，尸到平面BOB1的距離不變，即高不變,

所以三棱錐尸-8。4的體積為定值，故A正確;

對于B：取AA中點(diǎn)G,DR中點(diǎn)“，連接G”,

當(dāng)〃=,時、AP=mAD+-AA,

22

所以點(diǎn)尸在GH上運(yùn)動，

假設(shè)G”//平面BOB-

又GA//BB],34仁平面8。用，8耳<=平面8。瓦,

所以G4//平面8。片，

因?yàn)?4門6〃=63〃,64<=平面6〃。4,

所以平面GmM//平面B。耳，與已知矛盾，故假設(shè)不成立,

所以G4不平行平面

所以P在G4上運(yùn)動時，P到平面BDB1的距離在變化，

所以三棱錐P-8。片的體積不是定值，故B錯誤；

對于C：連接A。，AB,BD,當(dāng)〃7+”=1時，可得A、。三點(diǎn)共線,

將沿AQ翻折至與平面AB。共面,如下圖所示

連接A8,當(dāng)P為A8與4。交點(diǎn)時，P4+PB最小，即為A8,

因?yàn)锳￡4。,8。均為面對角線，

所以％B=AD=BD=上,即^AB。為等邊三角形，

又N4A￡>=90。，AiA=AD=\f

所以NAO8=NAA8=105。，^ADB^^AA.8,

所以NABQ=30。

ABAD

在△AOB中，由正弦定理得

sinZADB-sinZA0D，

所以由焉?5。=2a45。8s600+8s45°sin600)=F，故C正確;

a

對于D：分別以DA、DC、D）為x,y,z軸正方向建系,如圖所示,

則5(1,1,0),A(0,0,1),設(shè)P(x,0,z),

所以印=(x,0,z—l),卵=。1,一1),

/DnDD[戶?D]Bx—z+l

所以=麗麗飛M

因?yàn)锽B、1平面A4GA,BBu平面AB￡R,

所以BB、IBtD,,又BQ\=&BD\=6,

所以COS/HRB=§3=

DL)XJ

“，x-z+15/6

所以G+(ZT)M—整理得Y+z2+2xz—2x—2z+l=0，

所以（x+z-l）?=0,即x+z-l=0,xe[0,l],ze[0,l]

所以P點(diǎn)軌跡為線段，故D錯誤

故選：AC

A

y

第n卷（非選擇題共外分）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知A(l,2,3),8(4,5,9),AC^^AB,則正的坐標(biāo)為.

【解析】由題設(shè)，通=(4,5,9)-(1,2,3)=(3,3,6),

所以〃=；而=(1,1,2).

故答案為:(1,1,2)

14.已知空間三點(diǎn)A(l,-1,-1),B(-l,-2,2),C(2,1,1),則福在衣上的投影向量的模是.

IUUUUUU|

ULUuuu|ULV|umuun[ABSC]

【解析】由題，AB=(-2,-3,3),AC=(1,2,2),故而在不右上的投影向量的模I卜8卜cos<48,AC>|=下『

|-2-6+6|_2

=712+22+22

故答案為：|15.如圖，圓錐的軸截面S4B是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動點(diǎn)

P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AMYMP,則點(diǎn)S與尸距離的最小值是.

軸建立空間直角坐標(biāo)系,

科設(shè)P(x,y,0),

M0,0,

____.3

,：AMA.MP,：.AMMP=0,解得y

4

.小耳=近2+圖+(一6)2知，

當(dāng)X=O時，點(diǎn)S與尸距離的最小，其最小值為巨.

4

故答案為：巨.

4

16.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量d=(l,T-2)石=(1,1,3)分別為異面直線/"方向向量，則異面直線//

所成角的余弦值為.

【解析】因?yàn)椤?(1,一1,-2)石=(1,1,3),所以cos值5)=/1一7=-場.因?yàn)楫惷嬷本€島所成

''5/1+1+4x71+1+311

角的范圍為(0,^］，所以異面直線4,4所成角的余弦值為半.

IN」II

故答案為：w

四、解答題(本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知點(diǎn)A(—2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè))=通，b=AC.

(1)求Z，石夾角的余弦值.

⑵若向量歷+B,垂直，求左的值.

⑶若向量笳-3,14平行，求丸的值.

【解析】⑴〃=(1,1,0),^=(-1,0,2),

-4+0+0

故COS(〃6

&x石

(2)由(1)可得

ka+b=^k-\,k,i),ka-2b=^k+2,k,-4),

因?yàn)橄蛄縕a+B，A〃-胸垂直,故(Z+2)("l)+K-8=。，

整理得到：2^+%一10=0,故％=2或%=-"

(3)由(1)可得〉出不共線，故2￡一心￡-4均不為零向量，

若向量位-1如平行，則存在非零常數(shù)f,使得右從=m一應(yīng),

整理得至|J：(A-r)a+(r2-l)S=0,

因?yàn)?不共線，故故2=f=—1或2=1=1,

z2-l=0

故/l=±L

18.如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段8c的中點(diǎn)，G在4E上，且AG=2GE.

⑴試用函,OB,阮表示向量旃；⑵若OA=2,OB=3,0C=4,

ULM-1UL*U

ZAOC=NBOC=60°,ZAOB=90。，求OGA8的值.

.一uuu

【解析】(I)；4G=2GE,

OG-OA=2(OE-dG),

3OG=2OE+礪乂2礪=OB+OC

：.0G=-0A+-0B+-0C(2)^a(1)pJ^^]OGAB=(-OA+-dB+-OC)(OB-dA)

333333

=-OAOB--OA+-OB--OBOA+-OCOB--OCOA=--OA+-OB+-OCOB--OCOA

3333333333

=-1X22+1X32+1X3X4X1-1X4X2X1=-^+3+2-^=^19.如圖，在正四棱錐P_A8C￡>中，側(cè)棱長為

JJJXifJJJO

底面邊長為2.點(diǎn)E,F分別CD,BC中點(diǎn).求證：

(2)平面fi48_L平面PCD.

【解析】(1)連接AC,BD交于?點(diǎn)、0,連接P0,由正四棱錐性質(zhì)。4,OB,0P兩兩互相垂直，以O(shè)A,OB,

0P分別為x,y,z軸建系如圖.

易得OA=&，。尸=JPAN-OA?=1，A（垃,0,0）,P（0,0,l）,

B（O,0,O）,C（—5/2,0,oj,D^O,—V2,0j,E--^,0,F—-^,^^-,0

尸4=（夜,0,-1）,EF=（0,\/2,0）,,：PA.EF=0,-,-PAEF=0,即以工后尸；

(2)設(shè)平面以8,平面PCO法向量分別為正=(不y,zj,3=(%,月，22)，

m-PA=-Z）=0

，取4=&,則再=y=1,;w=（l,l,V2）,

mPB=正,一Z[=0

n-PD=>/2X2+z2=0「_r-

<__r-?取馬二一J2,則為=%=1,n=（1,1,-V2）,

n-PC=42y2+z2=0

而G=l+l-2=0，,而_1_k，平面般8,平面PCD

20.如圖所示，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC,ABA.AD,AE_L底面ABC。,

AE//CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF^\.

(1)求證：8尸〃平面AOE；

(2)求直線BE與直線。尸所成角的余弦值；

(3)求點(diǎn)。到直線8F的距離.

【解析】(1)證明：：AE〃CF,AEC平面8FC,CFu平面BR7,

：.AE//平面BCF,

-JAD//BC,同理可得40〃平面8尸C,

又ADHAE^A,二平面8b〃平面ADE,

,?5Fu平面BFC,BF//平面ADE；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD,AE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),

l~^r<TVEABE,DF_25/3

則而=(-2,0,2),而=(2,-1.1),8s(叫QF六網(wǎng)研=運(yùn)環(huán)=-不

...直線BE與直線。尸所成角的余弦值為正

6

(3)根據(jù)(2)可知而:=(0,2,1),DF=(2,-1,1),

阿卜in(甌加21.如圖，四棱錐P-ABC。中，AB//CD,BC1.CD,BC=CD=2AB=2,

PB=PD=2,PC=4i，AD^3AM,N為PC中點(diǎn).

⑴證明：BD1PC；

(2)求直線MN與平面尸8力所成角的正弦值.

【解析】⑴連接CM交80于點(diǎn)。，連接PO,

因?yàn)锳O=3AM,延長CM交AB于E,

ApAM1

由43〃8,則卷=器=措，可得4E=1，

四邊形EBCZ)為正方形，則BCCM,且0為3。中點(diǎn)，由依=包＞=2,則8OLP。，且CMcPO=O,

CM,POuflPCN.

所以80,面PCM,PCu平面PCM,則BD_LPC；

P

由BO_L面PCM,BDu面ABCD,所以面438，面PCM,

由P3=P￡>=2,則PO=0,由8c=CD=2A8=2且BC_LC。，則OC=>/^，

又PC=0，故4POC為等邊三角形，且面ABC￡)_L面POC,

所以尸限書，貝嶗，泮

綜上，麗=卜￡,一￡,弓，BD=(2,-2,0),PD=(|,-1-^).