人教版高中數(shù)學(xué)全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-11

直線和平面垂直的判定與性質(zhì)（二）

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（-）知識教學(xué)點(diǎn)

1.直線和平面垂直的性質(zhì)定理.

2?點(diǎn)到平面的距離.

3.直線和平面的距離.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用它們靈活解題.

2.掌握用反證法證明命題.

（三）德育滲透點(diǎn)

通過例題2的學(xué)習(xí)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想和化歸的解題意識.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理：

若2，＜1,b±a,pllja^b.

（2）掌握點(diǎn)到平面的距離及一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)這條直線和平面的

距離的定義.

2.教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)定理證明中反證法的學(xué)習(xí)和掌握，應(yīng)讓學(xué)生明確，對于

一些條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的命題，可考慮使用反證法.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：設(shè)計(jì)一個(gè)綜合題，引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)到平面的距離和直線到平

面的距離問題的互化.

三、課時(shí)安排

本課題共安排2課時(shí)，本節(jié)課為第二課時(shí).

四、學(xué)生活動設(shè)計(jì)（常規(guī)活動，略）

五、教學(xué)步驟

（-）溫故知新，引入課題

師：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義和判定定理，請兩個(gè)同學(xué)來敘述一下

定義和判定定理的內(nèi)容.

生（甲）：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這兩條直線和這個(gè)平面

互相垂直.

生（乙）：直線和平面垂直的判定定理是：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直

線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

（板書如右）

圖1-72

師：利用判定定理我們還證明了線線平行的性質(zhì)定理（即例題1）,也請一個(gè)同學(xué)

敘述一下.

生（丙）：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)

平面.

（板書）若2〃稔ala則bla.

IJ_M

IJLm

maaQlJ_a

mcoe

mna-B

師：這個(gè)用黑體字寫成的例題可以當(dāng)作直線和平面垂直的又一個(gè)判定定理，現(xiàn)在請同

學(xué)們改變這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論，寫出它的逆命題.

生：若a_La,bla,則a〃b.

師：下面就讓我們看看這個(gè)命題是否正確？

（二）猜想推測，激發(fā)興趣

教師寫出已知條件并畫出圖形，作探討性證明

已知：ala,bla（如圖1-73）

求證：a〃b.

分析：a、b是空間中的兩條直線，要證明它們互相平行，一般先證明它們共

面，然后轉(zhuǎn)化為平面幾何中的平行判定問題，但這個(gè)命題的條件比較簡單，想說

明a、b共面就很困難了，更何況還要證明平行.

我們能否從另一個(gè)角度來證明，比如，a、b不平行會有什么矛盾？這就是我們

提到過的反證法.

師：您知道用反證法證明命題的一般步驟嗎？

生：否定結(jié)論一推出矛盾一肯定結(jié)論

師：第一步，我們做一個(gè)反面的假設(shè)，假定b與a不平行，現(xiàn)在應(yīng)該要推出矛盾,

從已知條件中的垂直關(guān)系，讓我們想起例題1（線線平行定理），在這個(gè)定理的

已知條件中，平面有--條垂線，垂線有一條平行線，因此需要添加一條輔助線.

（三）層層推進(jìn)，證明定理

證明：假定b與a不平行

設(shè)bCa=O,'是經(jīng)過點(diǎn)0與直線a平行的直線，

a〃b'，a_La,Ab'±a.

圖1-74

經(jīng)過同一點(diǎn)0的兩條直線b,b'都垂直于平面a是不可能的.

因此，a//b.

由此，我們得到：

如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

師：這就是直線和平面垂直的性質(zhì)定理；

師：學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，我們再來看看點(diǎn)到平面的距離的

定義：

從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距

離.

（四）初步運(yùn)用，提高能力

1.例題2

圖1-75

已知：一條直線1和?個(gè)平面a平行.求證：直線1上各點(diǎn)到平面a的距離相

等.

分析：首先，我們應(yīng)該明確，點(diǎn)到平面的距離定義，在直線1上任意取兩點(diǎn)A、B,

并過這兩點(diǎn)作平面a的垂線段，現(xiàn)在只要證明這兩條垂線段長相等即可.

證明：過直線1上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面a的垂線AA1、BB1,垂足分別為

Al、B1

?/AA11a,BB1±a,

AA1〃BB1（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）.

設(shè)經(jīng)過直線AA1和BB1的平面為8,

3na=A1B1.

???1//a,I.1//A1B1.

AA1=BB1（直線與平面平行的性質(zhì)定理）即直線上各點(diǎn)到平面的距離相等.

師：我們再來學(xué)習(xí)直線和平面的距離的定義：

一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面

的距離.

師：本例題的證明，實(shí)際上是把立體幾何中直線上的點(diǎn)到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成平面

兒何中兩條平行直線的距離問題.這種把立體幾何的問題轉(zhuǎn)化成平面幾何的問題的方法，是

解決立體幾何問題時(shí)常常用到的方法.

2.思考（課后練習(xí)4）

安裝日光燈時(shí)，怎樣才能使燈管和天棚、地板平行？

生：只要兩條吊線等長.

師：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是，

如圖1-76已知：直線1上A、B兩點(diǎn)到平面a的距離相等，求證：1〃a.

圖1-76

師：本題仿照例題2方法很容易證明，但以下的論述卻是假命題，你知道是為

什么嗎？

直線1上A、B兩點(diǎn)到平面a的距離相等，那么1〃a.

3.如圖1-77,已知E,F分別是正方形ABCD邊AD,AB的中點(diǎn)，EF交AC于

M,GC垂直于ABCD所在平面.

B

圖1-77

(1)求證：EF，平面GMC.

(2)若AB=4,GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.

分析：第1小題，證明直線與平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小題,

如果用定義來求點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)轶w現(xiàn)距離的垂線段無法直觀地畫出，因此,

常常將這樣的問題轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離問題.

解:

(1)連結(jié)BD交AC于0,

VE,F是正方形ABCD邊AD,AB的中點(diǎn),AC±BD,

.\EF±AC.

GCi平面ABCD

>=>EFiGC.

EFu平面ABCD

VACnGC=C,

；.EF_L平面GMC.

(2)可證BD〃平面EFG,由例題2,正方形中心0到平面EFG

_____2

的距血是點(diǎn)B到平面EFG的距工得治.

(五)歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想

本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的性質(zhì)定理，以及兩個(gè)距離的定義.定理的證明

用到反證法，證明幾何問題常規(guī)的方法有兩種：直接證法和間接證法，直接證法常依據(jù)定義、

定理、公理，并適當(dāng)引用平面幾何的知識；用直接法證明比較困難時(shí)，我們可以考慮間接證

法，反證法就是一種間接證法.

六、布置作業(yè)

作為一般要求，完成習(xí)題四5、6、7、8；提高要求，完成以下兩個(gè)補(bǔ)充練習(xí).

1.已知矩形ABCD的邊長AB=6cm,BC=4cm,在CD上截取CE=4cm,以BE

為棱將矩形折起，使△BC'E的高C'F_L平面ABED,求：

(1)點(diǎn)C'到平面ABED的距離;

(2)C到邊AB的距離；

(3)C至UAD的距離.

參考答案：

(1)作FHLAB于H,作FG_LAD于G,則C'H±AB,

C'GlAD,RlW4?BE=45^c!ibHB=2cm,

,.C,到面ABEI湖距離為C，F(xiàn)=2忘c(diǎn)m.

（2）C,到AB的距離為C，H=273cmj

（3）Cz到AI訥距*為C，G=276cnu

2.如圖1-79,已知：ABCD是矩形，SAJ_平面ABCD,