高考數(shù)學(xué)大題精做專題01等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算(第二篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題01等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算類型對(duì)應(yīng)典例利用基本量思想求解等差等比典例1等差等比中項(xiàng)的應(yīng)用典例2等差等比數(shù)列求和中帶絕對(duì)值問題典例3等差等比數(shù)列的和的最值問題典例4等差等比數(shù)列之間的綜合問題典例5等差等比數(shù)列的定義應(yīng)用典例6【典例1】【內(nèi)蒙古呼和浩特市2019屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列是遞增的等比數(shù)列且，，求．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由已知可得，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）由已知可得可得bn＝2n﹣1，再分組求和即可．【典例2】【黑龍江省大慶市2019-2020學(xué)年高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若,且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式得到，計(jì)算得到答案.（2），利用分組求和法計(jì)算得到答案.【典例3】【廣東省惠州市2019-2020學(xué)年高三第三次調(diào)研考試】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，公差為大于0的整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，取得最小值.（1）求公差及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，解不等式得范圍，再根據(jù)為大于0的整數(shù)得的值，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對(duì)值，再分別根據(jù)對(duì)應(yīng)等差數(shù)列求和公式求和，即得結(jié)果.【典例4】【陜西省寶雞中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬】已知等差數(shù)列滿足且，等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為.（1）若，問等于數(shù)列中的第幾項(xiàng)？（2）若，數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為和，的最大值為，試比較與的大小.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比,求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求得.即可求出等于數(shù)列中項(xiàng).(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求得等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值為.由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得的值,即可比較與的大小.【典例5】【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（福建)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．【典例6】【2020屆湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考】若的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：為等比數(shù)列，并求前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）先求出，再利用求出的通項(xiàng)公式；（2）證明為定值即可得為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求.【針對(duì)訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的公差，且，的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若、、成等比數(shù)列，求的值.2.等差數(shù)列中，公差，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3.【2020屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為6，公差為，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.4.【云南省昆明市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期1月月考】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，已知，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5.【陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)】在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.7.【山東省泰安市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8.【山西省運(yùn)城市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.9.【廣東省潮州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足.若，求的值.10.【四川省綿陽(yáng)市高中2019-2020學(xué)年高三第二次診斷性】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.（1）求和；（2）求和：.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題01等差與等比數(shù)列的基本量的計(jì)算類型對(duì)應(yīng)典例利用基本量思想求解等差等比典例1等差等比中項(xiàng)的應(yīng)用典例2等差等比數(shù)列求和中帶絕對(duì)值問題典例3等差等比數(shù)列的和的最值問題典例4等差等比數(shù)列之間的綜合問題典例5等差等比數(shù)列的定義應(yīng)用典例6【典例1】【內(nèi)蒙古呼和浩特市2019屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試】已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列是遞增的等比數(shù)列且，，求．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由已知可得，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）由已知可得可得bn＝2n﹣1，再分組求和即可．解：（Ⅰ）有已知得：，.（Ⅱ）由已知得：,又是遞增的等比數(shù)列，故解得：,,∴===.【典例2】【黑龍江省大慶市2019-2020學(xué)年高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若,且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式得到，計(jì)算得到答案.（2），利用分組求和法計(jì)算得到答案.解：（1）依題意，得即，整理得.∵，∴，.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2），，故.【典例3】【廣東省惠州市2019-2020學(xué)年高三第三次調(diào)研考試】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，公差為大于0的整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，取得最小值.（1）求公差及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，解不等式得范圍，再根據(jù)為大于0的整數(shù)得的值，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對(duì)值，再分別根據(jù)對(duì)應(yīng)等差數(shù)列求和公式求和，即得結(jié)果.解：（1）設(shè)的公差為，則由題可知：.，即.解得.因?yàn)闉檎麛?shù)，=2所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=272所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為272.【典例4】【陜西省寶雞中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬】已知等差數(shù)列滿足且，等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為.（1）若，問等于數(shù)列中的第幾項(xiàng)？（2）若，數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為和，的最大值為，試比較與的大小.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比,求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求得.即可求出等于數(shù)列中項(xiàng).(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求得等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值為.由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得的值,即可比較與的大小.解：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足即,所以等差數(shù)列的公差又得,代入可得所以當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)為2,公比為.當(dāng)時(shí)所以所以當(dāng)時(shí)解得即時(shí)等于數(shù)列中的第16項(xiàng)(2)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2,若由可得又等差數(shù)列中代入可得所以當(dāng)時(shí),的最大值為所以【典例5】【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（福建)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則．即．，．與矛盾．所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．【典例6】【2020屆湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考】若的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：為等比數(shù)列，并求前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）先求出，再利用求出的通項(xiàng)公式；（2）證明為定值即可得為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求.解：（1）依題意：，從而，，；（2）由條件知：，當(dāng)時(shí)，，故為公比為8的等比數(shù)列.由等比數(shù)列求和公式，.【針對(duì)訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列的公差，且，的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若、、成等比數(shù)列，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意得出和的方程組，解出這兩個(gè)量，然后求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，利用、、成等比數(shù)列，列出方程，即可求解正整數(shù)的值．解：（1）因?yàn)椋獾?，因此，；?），又，，因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，即，整理得，，解得.2.【2020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學(xué)期高三期末考試】2.等差數(shù)列中，公差，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）利用等差數(shù)列、等比中項(xiàng)的通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用裂項(xiàng)求和法即可求解.解：（1）由題設(shè)成等比數(shù)列知：即：，又，解得或（舍去），故的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和.3.【2020屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為6，公差為，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）由通項(xiàng)公式寫出，利用成等比數(shù)列可求得，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得的表達(dá)式，確定中哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，然后分類求和．解：（1）公差為成等差數(shù)列，解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故或.（2）∵0，∴=-1，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故4.【云南省昆明市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期1月月考】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，已知，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）將條件均用基本量表示，列方程求解即可；（2）寫出和，作差，利用等比數(shù)列的求和公式整理即可．解：（1）∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，，若，（舍去），若，，∴，∴，.（2），∴，∴，..5.【陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)】在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解得結(jié)果代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，解得通項(xiàng)公式，再根據(jù)分組求和公式得結(jié)果.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴.∴，解得∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）∵數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴，即.∴.∴.∴.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，由已知條件求出，再寫出通項(xiàng)公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.解：設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為有，即.（1）∵，結(jié)合得，∴.（2）∵，解得或3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).7.【山東省泰安市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得，解得，從而求出；（2）由（1）得，由，利用裂項(xiàng)相消法得，若，則，整理得，由得，從而可求出答案．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．8.【山西省運(yùn)城市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）將和利用和來(lái)表示，構(gòu)造方程組解得和，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（Ⅱ）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得，可得到，根據(jù)和可得；根據(jù)通項(xiàng)公式可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可得：時(shí)；時(shí)，從而求得結(jié)果.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則：解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：9.【廣東省潮州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足.若，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）求出公差和首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；（2）由得公比，再得，結(jié)合通項(xiàng)公