高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊)6.1平面向量的概念(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量。知識點(diǎn)詮釋：（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移。（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素。（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小。知識點(diǎn)二：向量的表示法1．有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度。2．向量的表示方法：(1)字母表示法：如等．(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）。如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點(diǎn)詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性。應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段。由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。知識點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度)．知識點(diǎn)詮釋：（1）向量的模。（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小。2．零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的。3．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．知識點(diǎn)詮釋：（1）在畫單位向量時(shí)，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同。4．相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點(diǎn)詮釋：在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長度相等。知識點(diǎn)四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量)．規(guī)定：與任一向量共線．知識點(diǎn)詮釋：1．零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2．平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系．3．共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量。【典型例題】類型一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4例2．給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式1．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3變式2．下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．已知非零向量與且，則與的方向相同或相反C．若，則D．對任一非零向量是一個(gè)單位向量類型二：向量的表示方法例3．如圖，和是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的正三角形，設(shè)的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.例4．在如圖的方格紙(每個(gè)小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點(diǎn)畫一個(gè)向量，使；（2）畫一個(gè)以C為起點(diǎn)的向量，使||＝2，并說出的終點(diǎn)的軌跡是什么．變式3．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；變式4．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.類型三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明例5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．變式5．在四邊形中，已知，求證：四邊形為平行四邊形．變式6．在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.類型四：向量知識在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用例6．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量；（2）求．例7．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.變式7．飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行到達(dá)B地，再從B地按南偏東75°的方向飛行到達(dá)C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？變式8．已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．同步練習(xí)：一、單選題1．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．向量與共線，與共線，則與也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量與不共線，則與都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行3．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下圖中與向量相等的向量是（）A．，，， B．， C． D．4．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系不一定成立的是（）A．||=|| B．與共線C．與共線 D．與共線5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，，且，那么四邊形為（）A．平行四邊形 B．菱形 C．長方形 D．正方形6．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若為任一非零向量，的模為1，下列各式：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③7．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①起點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同；④兩個(gè)共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線.其中正確的是（）A．①② B．② C．②③ D．③④8．（2023·天津市新華中學(xué)高一月考）下列命題正確的是（）A．若，則、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同C．若、都是單位向量，則D．向量與是兩平行向量二、多選題9．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知向量，，在下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．（2023·重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∥就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫相等向量C．零向量的長度等于0D．共線向量是在同一條直線上的向量11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．12．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)（待刪除學(xué)校不要競拍）高一月考）下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則與方的方向相同或相反C．若且，，則D．對任一向量，是一個(gè)單位向量三、填空題13．（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①若，則；②若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，，則；④的充要條件是且；⑤若，，則．其中正確命題的序號是________．14．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)不同的四點(diǎn)A，B，C，D，且，則“直線”是“”的__________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”）15．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，則__________.16．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABDE都是邊長為1的菱形，已知下列說法:①都是單位向量;②∥∥③與相等的向量有3個(gè);④與共線的向量有3個(gè);⑤與向量大小相等、方向相反的向量為.其中正確的是____.(填序號)四、解答題17．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）1.如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心．（1）在圖中標(biāo)出的向量中，與向量長度相等的向量有多少個(gè)？（2）是否存在的相反向量？18．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形中，.求證：.19．（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）如圖，，，，是上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以，，，以及點(diǎn)O這九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量里，模等于圓半徑的向量有多少個(gè)？模等于半徑倍的向量有多少個(gè)？20．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．（1）作出向量，，；（2）求的模．6.1平面向量的概念【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量。知識點(diǎn)詮釋：（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移。（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素。（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小。知識點(diǎn)二：向量的表示法1．有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度。2．向量的表示方法：(1)字母表示法：如等．(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）。如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點(diǎn)詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性。應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段。由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。知識點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度)．知識點(diǎn)詮釋：（1）向量的模。（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小。2．零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的。3．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．知識點(diǎn)詮釋：（1）在畫單位向量時(shí)，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同。4．相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點(diǎn)詮釋：在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長度相等。知識點(diǎn)四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量)．規(guī)定：與任一向量共線．知識點(diǎn)詮釋：1．零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2．平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系．3．共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量?！镜湫屠}】類型一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．例2．給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)答案：A【解析】①若，則，故錯(cuò)誤；②若，即向量的長度相等，但方向不一定相同或相反，故錯(cuò)誤；③若，即向量共線，它們的模長不一定相等，故錯(cuò)誤；④有向線段是幾何圖形，而向量是數(shù)學(xué)概念，可以用有向線段表示，故錯(cuò)誤；故選：A變式1．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】解：因?yàn)?，則向量互為相反向量，所以，故①正確；因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故②錯(cuò)誤；若，則向量方向相同，故③正確；當(dāng)時(shí)，向量的方向不能確定，故④錯(cuò)誤.所以正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：C.變式2．下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．已知非零向量與且，則與的方向相同或相反C．若，則D．對任一非零向量是一個(gè)單位向量答案：AC【解析】對于A：因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故選項(xiàng)A不正確；對于B：因?yàn)榕c是非零向量，若，則與的方向相同或相反，故選項(xiàng)B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，若，與是任意向量；故選項(xiàng)C不正確；對于D：對任一非零向量，表示與方向相同且模長為的向量，所以是的一個(gè)單位向量，故選項(xiàng)D正確；所以敘述中錯(cuò)誤的是AC，故選：AC.類型二：向量的表示方法例3．如圖，和是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的正三角形，設(shè)的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.【解析】（1）與向量相等的向量，即與向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）與向量共線的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）與向量平行的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，.例4．在如圖的方格紙(每個(gè)小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點(diǎn)畫一個(gè)向量，使；（2）畫一個(gè)以C為起點(diǎn)的向量，使||＝2，并說出的終點(diǎn)的軌跡是什么．【解析】（1）根據(jù)相等向量的定義，所作向量b應(yīng)與a同向，且長度相等，如下圖所示．（2）由平面幾何知識可作滿足條件的向量c，所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．變式3．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；【解析】由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，每個(gè)小正方形的對角線的長度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.變式4．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.【解析】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．類型三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明例5．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.變式5．在四邊形中，已知，求證：四邊形為平行四邊形．【解析】證明：在四邊形ABCD中，，所以，且所以四邊形為平行四邊形．變式6．在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.【解析】（1）根據(jù)題意，與向量共線的向量為：，，.（2）∵ABCD是平行四邊形，，，且E，F(xiàn)分別為邊CD，AB的中點(diǎn)，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．類型四：向量知識在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用例6．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量即為所求．（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，∴在中，，故為平行四邊形，∴，則（海里）．例7．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.【解析】（1）畫出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.由于，故方向約為北偏東53°.變式7．飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行到達(dá)B地，再從B地按南偏東75°的方向飛行到達(dá)C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？【解析】由題圖所示，表示飛機(jī)從A地按北偏西15°方向飛行到B地的位移，則.表示飛機(jī)從B地按南偏東75°方向飛行到C地的位移，則.所以為飛機(jī)從A地到C地的位移.在中，，且，故為等邊三角形，所以，.所以C地在A地北偏東方向上，距A地.變式8．已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．【解析】以為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系．由題意知點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在x軸正半軸上，點(diǎn)在第四象限，向量如圖所示，由已知可得，為正三角形，所以．又，，所以為等腰直角三角形，所以，．故向量的模為，方向?yàn)闁|南方向．同步練習(xí):一、單選題1．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】根據(jù)物理量的定義、性質(zhì)知：質(zhì)量、路程是標(biāo)量，位移、重力、加速度為矢量即向量，∴③④⑤是向量，①②是標(biāo)量.故選：C2．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．向量與共線，與共線，則與也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量與不共線，則與都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行答案：C【解析】解：對于A：可能是零向量，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：兩個(gè)向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)榕c任何向量都是共線向量，所以選項(xiàng)C正確；對于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C.3．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下圖中與向量相等的向量是（）A．，，， B．， C． D．答案：D【解析】由相等向量的定義可知：兩個(gè)向量的長度要相等，方向要相同，結(jié)合圖形可知滿足條件，故選：D4．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系不一定成立的是（）A．||=|| B．與共線C．與共線 D．與共線答案：C【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正確；因?yàn)椋遗c共線，故與共線，所以B正確；直線BD與EH不一定平行，因此不一定與共線，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與共線，故D正確；故選：C.5．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，，且，那么四邊形為（）A．平行四邊形 B．菱形 C．長方形 D．正方形答案：B【解析】解：，，四邊形為平行四邊形，又，平行四邊形為菱形.故選：B.6．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若為任一非零向量，的模為1，下列各式：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③答案：B【解析】①中，的大小不能確定，故①錯(cuò)誤；②中，兩個(gè)非零向量是否平行取決于兩個(gè)向量的方向，故②錯(cuò)誤；③中，為任一非零向量，則，故③正確；④中，由題，故④錯(cuò)誤.故選：B．7．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①起點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同；④兩個(gè)共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線.其中正確的是（）A．①② B．② C．②③ D．③④答案：B【解析】①起點(diǎn)相同，方向相同，但大小不一定相同，所以兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同，故正確；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同或相反，故錯(cuò)誤；④兩個(gè)共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線，所對應(yīng)的直線可能平行，故錯(cuò)誤.故選：B8．（2023·天津市新華中學(xué)高一月考）下列命題正確的是（）A．若，則、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形B．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同C．若、都是單位向量，則D．向量與是兩平行向量答案：D【解析】對于A選項(xiàng)，若，則、、、四點(diǎn)共線或、、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，兩向量相等的充要條件它們的方向相同、長度相等，且向量沒有起點(diǎn)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若、都是單位向量，但、的方向不一定相同，故、不一定相等，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，向量與是相反向量，它們是平行向量，D對.故選：D.二、多選題9．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知向量，，在下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：CD【解析】解：向量的模值可以比較大小，但是向量不能比較大小，故A錯(cuò)；向量的模值相等，只能證明大小相等并不能說明方向也相同，故B錯(cuò)；兩個(gè)向量相等，這兩個(gè)向量平行，所以C正確；模值為零的向量為零向量，故D正確故選：CD10．（2023·重慶市江津第五中學(xué)校高一期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∥就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫相等向量C．零向量的長度等于0D．共線向量是在同一條直線上的向量答案：ABD【解析】對于A：向量∥時(shí)，所在的直線與所在的直線可能重合，故A不正確；對于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正確；對于C：按定義，零向量的長度等于0，C正確；對于D：非零的共線向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直線上，也可不在同一直線上，故D不正確；故選：ABD．11．（2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．答案：BC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)?，所以B正確，對于C，因?yàn)?，所以∥，所以向量共線，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，故選：BC12．（2023·廣東·佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)（待刪除學(xué)校不要競拍）高一月考）下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若，則與方的方向相同或相反C．若且，，則D．對任一向量，是一個(gè)單位向量答案：ABD【解析】對于A，向量不能比較大小，A錯(cuò)誤；對于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)椴粸榱阆蛄?，所以與是共線向量，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，無意義，故D錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題13．（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①若，則；②若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，，則；④的充要條件是且；⑤若，，則．其中正確命題的序號是________．答案：②③【解析】對于①，兩個(gè)向量的長度相等，不能推出兩個(gè)向量的方向的關(guān)系，故①錯(cuò)誤；對于②，因?yàn)锳，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且等價(jià)于且，即等價(jià)于四邊形ABCD為平行四邊形，故②正確；對于③，若,，則，顯然正確