初中九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)圓周角定理

圓周角地定理

教學(xué)目的

（一）知識(shí)與技能

1,理解圓周角地概念,掌握?qǐng)A周角地兩個(gè)特征,定理地內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用；

2,準(zhǔn)確地運(yùn)用圓周角定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單地證明計(jì)算。

（二）過(guò)程與方法

1,通過(guò)觀察，比較，分析圓周角與圓心角地關(guān)系發(fā)展學(xué)生合情推理與演繹推理地

能力。

2,通過(guò)觀察圖形,提高學(xué)生地識(shí)圖地能力

3,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生添加合理地輔助線,培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題地興趣。

（三）情感與價(jià)值觀

1,經(jīng)過(guò)探索圓周角定理地過(guò)程,發(fā)展學(xué)生地?cái)?shù)學(xué)思考能力。

2,通過(guò)積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)主動(dòng)探究，并能在探究中獲得成功地體驗(yàn)。

教學(xué)重點(diǎn)

圓周角定理，圓周角定理地推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題.

教學(xué)難點(diǎn)

1.認(rèn)識(shí)圓周角定理需要分三種情況逐一證明地必要性。

2.推論地靈活應(yīng)用以及輔助線地添加

教學(xué)突破

讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類(lèi)討論,轉(zhuǎn)換化歸是教學(xué)突破地關(guān)鍵

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備:制作課件，精選習(xí)題

學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容,制作圓形紙片

教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)1：創(chuàng)設(shè)情景，引入概念

師:課件（出示圓柱形海洋館圖片）

右圖是圓柱形海洋館地

俯視圖.海洋館地前側(cè)延伸到

海洋里，并用玻璃隔開(kāi),人們站

在海洋館內(nèi)部，透過(guò)其中地圓

弧形玻璃窗可以觀看到窗外

地海洋動(dòng)物.

如圖是圓柱形地海洋館橫截面地示意圖，◎表示

圓弧形玻璃窗.同學(xué)甲站在圓心0地位置，同學(xué)乙站在

T(E)

正對(duì)著玻璃窗地靠墻地位置C,丙,丁分別站在其它靠墻地位置D與E,

師：同學(xué)甲地視角NAOB地頂點(diǎn)在圓心處,我們稱(chēng)這樣地角為圓心角.同學(xué)

乙地視角/ACB,同學(xué)丙地視角NADB與同學(xué)丁地視角NAEB不同于圓心角，是

與圓有關(guān)地另一類(lèi)角，我們稱(chēng)這類(lèi)角為圓周角.

師:提出問(wèn)題

問(wèn)題1：觀察NACB,NADB與NAEB地邊與頂點(diǎn)與圓地位置有什么共同特

點(diǎn)？

問(wèn)題2:ZACB,ZADB與NAEB與NAOB有什么區(qū)別？

問(wèn)題3:ZACB,ZADB與NAEB有哪些共同點(diǎn)？

（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,并關(guān)注以下問(wèn)題）

1、問(wèn)題地出示是否引起學(xué)生地興趣

2、學(xué)生是否理解示意圖

3、學(xué)生是否理解圓周角地定義

4、學(xué)生是否清楚了要探究地?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題

生:這三個(gè)角地共同點(diǎn)有兩個(gè):①頂點(diǎn)都在圓周上;②兩邊都與圓相交.

師:評(píng)價(jià)并鼓勵(lì)學(xué)生地總結(jié)給出肯定，我們把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相

交地角叫做圓周角.

（教師板書(shū)圓周角定義，并強(qiáng)調(diào)定義地兩個(gè)要點(diǎn)，學(xué)生在初中九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)

案上寫(xiě)出圓周角地定義.）

設(shè)計(jì)意圖：從生活中地實(shí)例入手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，抽象出圖形地共同

屬性，得出圓周角定義，理解圓周角概念地本質(zhì).

跟蹤練習(xí):請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)定義回答下面問(wèn)題:在下列與圓有關(guān)地角中，哪些是

圓周角？哪些不是，為什么？

（學(xué)生思考片刻之后，教師就每個(gè)圖形分別請(qǐng)一位學(xué)生作答.）

設(shè)計(jì)意圖：為了使學(xué)生更加容易地掌握概念，此處教師并排地呈現(xiàn)正例與反

例，可以有利于學(xué)生對(duì)本質(zhì)屬性與非本質(zhì)進(jìn)行比較.

活動(dòng)2:問(wèn)題探究

探究同弧所對(duì)圓周角及圓周角與圓心角地關(guān)系

師:下面我們繼續(xù)研究海洋館地問(wèn)題,設(shè)想嬌是一名

游客，甲，乙，丙,丁四位同學(xué)地位置供嬌選擇，嬌認(rèn)為在哪

個(gè)位置看到地海洋景象范圍更廣一些？乙?樸之哼\(yùn)玻璃

預(yù)設(shè)生：（會(huì)很肯定地說(shuō)）當(dāng)然是同學(xué)甲地位置可以

看到更廣地海洋范圍T.

師提出:嬌是如何知道地？

預(yù)設(shè)生1:因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)NAOB比NACB,NADB與NAEB都大.

預(yù)設(shè)生2:因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)在圓內(nèi)當(dāng)角地頂點(diǎn)距離弧越近角就越大

師提出:如果在乙，丙，丁三位同學(xué)地位置中選擇，哪個(gè)位置看到地海洋范圍更

廣*些？

預(yù)設(shè)生：（看了圖形想了想）三個(gè)位置看到海洋范圍地大小應(yīng)該是一樣地.

師提出問(wèn)題：1,弧AB所對(duì)地圓周角地個(gè)數(shù)有多少個(gè)？

2,弧AB所對(duì)地圓周角地度數(shù)是否發(fā)生變化？

預(yù)設(shè)生:有無(wú)數(shù)個(gè)，度數(shù)相等

師:嬌是怎么知道地？

預(yù)設(shè)生:觀察猜到地。

師:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有觀察,猜想但更重要地還要驗(yàn)證。請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證姊們地說(shuō)

法，并與同伴交流.

師提出問(wèn)題:弧AB所對(duì)地圓周角與其所對(duì)地圓心角有什么關(guān)系？

（學(xué)生分組開(kāi)始動(dòng)手操作驗(yàn)證：有地借助量角器，用度量地方法進(jìn)行驗(yàn)證；有

地采用折疊重合地方法進(jìn)行驗(yàn)證）

預(yù)設(shè)生：（興奮地驚叫著……）老師，我發(fā)現(xiàn)了：同學(xué)乙，丙，丁地視角

NACB,NADB與NAEB相等,同學(xué)甲地視角NAOB比其它同學(xué)地視角都大，是它

們地2倍！

（其它同學(xué)也都興奮得不得了，教室里頓時(shí)一片歡騰）

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察，猜想，操作，分析,驗(yàn)證，交流等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，

探索圓周角地性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)，初步體會(huì)兩種數(shù)量關(guān)系：①同弧所對(duì)地圓

周角與圓心角地關(guān)系；②同弧所對(duì)地圓周角地關(guān)系.

師:下面，老師用計(jì)算機(jī)進(jìn)一步驗(yàn)證我們剛才所得到地結(jié)論：

（教師開(kāi)始在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證.）

首先采用《幾何畫(huà)板》地度量功能，量出NAOB,NACB,NADB與NAEB,

發(fā)現(xiàn):NAOB最大,NACB=NADB=NAEB,接著，采用計(jì)算功能，計(jì)算NACB與

ZAOB地比值，發(fā)現(xiàn)：ZACB:ZAOB=1:2.

然后教師分別從以下幾個(gè)方面演示，讓學(xué)生觀察圓周角地度數(shù)是否發(fā)生改變,

同弧所對(duì)地圓周角與圓心前地關(guān)系有無(wú)變化:①拖動(dòng)圓周前地頂點(diǎn)使其在圓周上

運(yùn)動(dòng);②改變圓心角地度數(shù);③改變圓地半徑大小.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)《幾何畫(huà)板》做進(jìn)一步演示與驗(yàn)證，用幾何動(dòng)態(tài)地語(yǔ)言來(lái)研究

圓周角與圓心角地關(guān)系，在某些量變化地過(guò)程中讓學(xué)生觀察不變地?cái)?shù)量關(guān)系，幫

助學(xué)生更好地理解圓周角與圓心角地關(guān)系.

師:既然這樣，我們請(qǐng)一位同學(xué)把所發(fā)現(xiàn)地結(jié)論用文字語(yǔ)言表述一下.

預(yù)設(shè)生1：同弧所對(duì)地圓周角相等,并且都等于圓心角地一半.

預(yù)設(shè)生2:它地說(shuō)法不準(zhǔn)確，應(yīng)該是：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)地圓周角相

等，并且都等于這條弧所對(duì)地圓心角地一半.丟掉了“在同圓或等圓中”與“這

條弧所對(duì)地”這兩點(diǎn).

師:前一位同學(xué)總結(jié)得很好，但后一位同學(xué)總結(jié)得更準(zhǔn)確，我們要學(xué)習(xí)它們這

種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)地態(tài)度與精神.

設(shè)計(jì)意圖:把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使將要進(jìn)行地推理論證成為學(xué)

生觀察，實(shí)驗(yàn),探究得出結(jié)論地自然延續(xù).

活動(dòng)3:用分類(lèi)討論地方法證明定理

師：為了更好地說(shuō)明結(jié)論地正確性，下面我們探究其論證

方法.先請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟覉D地。0中盡可能多地畫(huà)心所對(duì)地圓周

角，并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)系？

（學(xué)生分組畫(huà)圖，每個(gè)小組總結(jié)所畫(huà)地圖形地情況，教師巡

視，在同學(xué)們所畫(huà)地圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角地三種位置關(guān)系地例子，并在展示

臺(tái)上演示.）

預(yù)設(shè)生1:圓心在圓周角地一邊上

預(yù)設(shè)生2,圓心在圓周角地內(nèi)部，

預(yù)設(shè)生3在圓周角地外部.

師：圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角地一邊上；圓心在圓周角

地內(nèi)部;圓心在圓周角地外部.（如下圖）

D

A

A

第一種情況第二種情況第三種情況

師:在上述三種情況中我們先選擇其中地一種情況進(jìn)行證明，選哪種情況,如

何證明？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在同伴間悄悄交流自己地思路.）

預(yù)設(shè)生:選擇第一種情況進(jìn)行證明，因?yàn)閳A心在圓周角地一邊上，是最簡(jiǎn)單地

一種情況.因?yàn)閳A心在圓周角地一邊上，所以AC是圓地直徑，由同圓半徑相等可

知,OC=OB,所以NC=NB,根據(jù)定理“三角形地外角等于與它不相鄰地兩個(gè)內(nèi)角地

與”可得,NA0B=NC+NB=2NC,即同弧所對(duì)地圓周角等于這條弧所對(duì)地圓心角

地一半.

師:證明得非常好,掌聲給予鼓勵(lì)！

師：當(dāng)圓心在圓周角地一邊上地時(shí)候，圓周角NACB地邊AC部分就是。0

地直徑，因此給證明思路地尋找?guī)?lái)了不少方便，當(dāng)圓心不在圓周角地邊上時(shí)，比

如在角地內(nèi)部，沿CO對(duì)折。0,展開(kāi)后爍有什么發(fā)現(xiàn)？對(duì)該情況下命題地證明有

哪些啟示？

（學(xué)生開(kāi)始對(duì)折圓形紙片，觀察，分析，交流……）

預(yù)設(shè)生：由對(duì)折發(fā)現(xiàn),可以轉(zhuǎn)化為第一種情況地證明，即，如果做過(guò)點(diǎn)C地直

徑CD,那么，由（1）中地結(jié)論可知：

ZACD=-ZAOD,ZBCD=-ZBOD,兩式相加即可得到

22

ZACB=-ZAOB.

師:很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)诔踔芯拍昙?jí)數(shù)學(xué)學(xué)案上寫(xiě)出這種情況下地證明過(guò)程,

之后完成最后一種情況地證明，同伴之間交流自己地證明思路.

（各小組學(xué)生思考交流后一種情況地證明思路，完成證明過(guò)程.一名學(xué)生黑

板上展示證明過(guò)程，教師做思路與規(guī)范性點(diǎn)評(píng).）

設(shè)計(jì)意圖：在本段地教學(xué)中，注意突出圖形性質(zhì)地探究過(guò)程，重視學(xué)生主體地

位地落實(shí)，通過(guò)觀察度量，實(shí)驗(yàn)操作，圖形變換，合情推理來(lái)探索圖形地性質(zhì)，從而

讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題地方法.另夕卜，教學(xué)時(shí)盡可能地從數(shù)學(xué)語(yǔ)言地三

種形態(tài)“文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言”進(jìn)行描述，以強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)地學(xué)習(xí)與

理解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言地運(yùn)用與表達(dá).

師:通過(guò)上面地證明，我們得到：同弧所對(duì)地圓周角等于這條弧所對(duì)地圓心角

地一半.其實(shí),等弧地情況下該命題也是成立地,命題“同弧或等弧所對(duì)地圓周角

相等”也是正確地，想一想為什么？

（教師板書(shū)）

圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)地圓周角相等,都等于這條弧

所對(duì)地圓心角地一半.

活動(dòng)4：加強(qiáng)練習(xí)，拓展性質(zhì)

1,如圖，點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD地對(duì)角

線把4各內(nèi)角分成8個(gè)角,這些角中哪些是相等地角？

第2題圖

2,如圖，點(diǎn)A,B,C,D在。0上，若ZC=60°,則

ZD=,Z0=.

3,如圖，等邊aABC地頂點(diǎn)都在。0上，點(diǎn)D是。0上一點(diǎn)，則NBDC=

設(shè)計(jì)意圖：習(xí)題地作用是將基本知識(shí)技能化，通過(guò)技能地訓(xùn)練幫助學(xué)生理解

基本知識(shí).比如