人教A版（2019）必修第二冊必殺技第6章2正弦定理、余弦定理的應用（含答案解析）

人教A版（2019）必修第二冊必殺技第6章專題2正弦定理、

余弦定理的應用

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

一2TC

222

1.在/SABC中，內(nèi)角A,5,C所對的邊分別是a,b,c.若c+2ab=a+b+6JC=,

則AABC的面積是

A.3B.空C.也D.3y/3

22

2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=l,B=45°,SAABC=2,則

△ABC的外接圓的直徑為（）

A.5B.4&C_5A/2D.642

3.在AABC中，角4氏C所對的邊分別為a,dc,S表示AABC的面積，若

ccosB+bcosC=asinA,s=^-（b2+a2-c2^,則ZB=

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c-acos3=（2a->）cosA,

則AABC為

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

5.AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，6,C.①若A>8,貝。sinA>sin3；②

若sin2A=sin25,貝!j△ABC一定為等腰三角形；③若acos區(qū)-。cosA=c,則△ABC一

定為直角三角形；④若B=（a=2,且該三角形有兩解，則b的范圍是（代，+8）.

以上結(jié)論中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.在AMC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若c=4,6=7,8C邊上的中

7

線AD的長為則邊長〃=（）

9

A.3B.4C.-D.9

4

7.已知AABC是等腰直角三角形，點O在線段5C的延長線上，若BC=AD=2直,則

CD=

A.1B.叵C.^6—A/3D.V6-V2

8.在AABC中，角A,B,C的對邊分別是〃,6,c,^bcosA+acosB=c2,a=b=2,

則AABC的周長為

A.5B.6C.7D.7.5

9.如圖，為測量A,C兩點間的距離，選取同一平面上的B,D兩點，測出四邊形ABCD各

邊的長度（單位:km）分別為AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,若A,B,C,D四點共圓，

則AC的長為

A

A.5kmB.6kmC.7kmD.8km

二、填空題

10.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，6,J若°=,cosB=&cosC，

a=若，貝！JS〃BC=.

11.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a，6,c若$皿4與118=應:1,

c2=b2+yf2bc，則三個內(nèi)角A,B,C的度數(shù)依次是.

12.如圖AABC中，已知點。在BC邊上，ADYAC,sinZBAC==^,AB=3五,

3

AD=3,則3。的長為

13.三角形ABC中，。是邊上一點，ZBAD=ZDAC=60°,BC=1,且三角形AB￡>

與三角形ADC面積之比為:，則AD=.

14.如圖，測量河對岸的塔高A8時,可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與。，

現(xiàn)測得/BCD=75。，NBDC=45°,CD=500米，并在點C測得塔頂A的仰角為30。，

則塔高至=米?

試卷第2頁，總4頁

15.如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點C,測得塔頂?shù)难鼋菫榉灿蒀向

塔前進30米后到點。，測得塔頂?shù)难鼋菫?。，再由。向塔前進10店米后到點E后，

16.一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨

后貨輪繼續(xù)沿正西方向航行30分鐘到達N處后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45。，則

貨輪的速度為海里/時.

17.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺

產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑（即4

8兩點間的距離），現(xiàn)取兩點C,D,測得CO=80,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=

15°,ZACB=120°,則圖中海洋藍洞的口徑為.

TT

18.在R/AABC中，。=不，且角A,B,C所對的邊a,dc滿足a+Z?=cx,則實數(shù)尤的取

2

值范圍是—.

19.在AABC中，若2=（，AC=g,則AB+2BC的最大值為.

77_

20.如圖，在AASC中，AC=5C,/C=',點。是AABC外一點，OA=2,03=1,

則平面四邊形Q4CB面積的最大值是.

三、解答題

21.如圖，在四邊形ABCD中，已知NADC=75。,短》=5,AB=7,ZBDA=60°,

ZBCD=135°.

(1)求80的長；

(2)求8的長.

22.如圖，在AABC中，AB=2,cosB=1,點。在線段BC上.

(1)若BD=2DC,AACD的面積為g及，求邊AC的長；

2兀

(2)若NADC=y,求三角形配的面積與

23.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，匕，c,且acosC-gc=6.

(1)求角A的大??；

(2)若"=3,求AABC的周長的取值范圍

24.已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若

cos2A+cos2C-cos2B=l-sinAsinC.

(1)求角5的大?。?/p>

(2)若b=6，求2a+c的最大值.

試卷第4頁，總4頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

參考答案

1.C

【分析】

根據(jù)c?+2?=/+》2+6,C=y,結(jié)合余弦定理可得"，再利用三角形面積計算公式即

可得出結(jié)果.

【詳解】

由+2ab="++6,可得。2=/+>2_2ab+6，

由余弦定理H="+〃2一2abeOSC=Q2+〃2，

a?+Z?2—2ab+6=a2+Z??+cib,

ab=2,

則^/Z\AADBC=_2ctbsinC=2,故選C.

【點睛】

本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:

2,2,?2_2

(1)a2^b2+c2-2bccosA;(2)cosA=0+C,同時還要熟練掌握運用兩種形式的

2bc

條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住30。,45。,60。等特殊角的三

角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.

2.C

【解析】

分析：由三角形面積公式可得。，再由余弦定理可得匕，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)三角形面積公式得，；」csin45o=2,得c=40,則廿=/+c2-2accos8=25,

2氏=三=5人

即6=5,變,故正確答案為C.

點睛：此題主要考三角形面積公式的應用，以及余弦定理、正弦定理在計算三角形外接圓半

徑的應用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是?？伎键c.此類題的題型一般有：

1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的

對角，求另一邊的對角，此時三角形形狀不一定唯一.

3.D

【分析】

答案第1頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinA=l,即A=90°,由余弦定理、

三角形面積公式可求角C,從而得到B的值.

【詳解】

由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,

nsin(C+B)=sin2AnsinA=l,因為0。<A<180°,所以A=90°；

由余弦定理、三角形面積公式及5=也儼+〃2—，)，得LbsinC=3.2次osC,

41724

整理得tanC=7^,又0°<(7<90°,所以。=60°,故8=30°.

故選D

【點睛】

本題考查正、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考

查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

4.D

【詳解】

余弦定理得cosA=f2+f-fl2,cosB=代入原式得

2bclac

c1-a1+b1_c1+b2-a2c2+b2-a2c1-a1+b2c2+b2-a2

--------------=2a-------------------------------------------------=---------------

2c2bc2c'lac2bc

解得a=b或/—/+次_Q

則形狀為等腰或直角三角形，選D.

點睛：判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要

注意應用A+5+C=TI這個結(jié)論.

5.B

【分析】

由大邊對大角可判斷①的正誤，用三角函數(shù)的知識將式子進行化簡變形可判斷②③的正誤,

用正弦定理結(jié)合三角形有兩解可判斷④的正誤.

【詳解】

①由正弦定理及大邊對大角可知①正確；

答案第2頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

TT

②可得A=5或4+5=5，△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以②錯誤；

③由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

結(jié)合sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

可知cosAsinB=0,因為sin3w0,所以cosA=0,

因為0<A<?,所以A=],因此③正確；

④由正弦定理—=—2—得b=竺@0=正，

sinAsinBsinAsinA

因為三角形有兩解，所以看=

所以sinAe[#』），即此（石,2）,故④錯誤.

故選：B

【點睛】

本題考查的是正余弦定理的簡單應用，要求我們要熟悉三角函數(shù)的和差公式及常見的變形技

巧,屬于中檔題.

6.D

【分析】

設(shè)CD=x,然后分別在三角形AACD和中用余弦定理算出cosC,然后利用他們相等

即可求出了,即可得到邊長。

【詳解】

如圖，：AD是2C邊上的中線，

：.^CD=DB=x,貝|CB=a=2x.

：c=4*=7,AD=L,在AACD中，八7+廠一（5）.

2cosC=------------

2x7xx

222

在人“小7+（2X）-4

在^ABC中,cosC=-------——-------，

2x7x2%

2

49+r--029

??.矽十%4_49+4X-16,解得X==.

一/.

14x28%一

a=2x=9

答案第3頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

【點睛】

本題考查的是用余弦定理來解三角形，要善于觀察圖形當中角的關(guān)系，從而建立方程求解.

7.D

【分析】

畫出圖形，運用余弦定理求出C￡）的長

【詳解】

AB

由圖可得NACD=135o,A,。=2

.-.COS1350=CD2+4-8=變

4C￡)2，

CD2+2s/2CD-4=0,

解得cr>="-后或cr)=-布-母（舍去）

故選D

【點睛】

本題主要考查了運用余弦定理解三角形,畫出圖形后即可計算出結(jié)果，較為基礎(chǔ)

8.A

【詳解】

h24.r2-a1序12_72

由題意得，由余弦定理,得6Ta°Gm，即AABC的周長為5,

2bclac

故選A.

9.C

答案第4頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

【分析】

利用余弦定理，結(jié)合/8+/。=兀，即可求出AC的長.

【詳解】

VA,B、C、。四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為兀.

/B+/D=n,

：.由余弦定理可得AC2=52+32-2?5?3?cosO=34-30cos￡>,

AC^—S^S2-2?5,8?cosB=89-80cos8,

ZB+Z￡）=7i,即cosB=-cosD,

.34-AC289-AC2

??----------------------------9

3080

，可解得AC=7.

故選C

【點睛】

本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識，正確運用余弦定理是關(guān)鍵，屬于基本知識的考查.

10.比

2

【分析】

先根據(jù)余弦定理得"+02=",再根據(jù)直角三角形求結(jié)果.

【詳解】

因為cos8=0cosC，所以片+-2/=后（/+/田,結(jié)合0=后

laclab

化簡得a=?,從而有62+02=",即在AABC為直角三角形，

將°=也'6，。=6代入Z??+c?=a?,得6=1,于是c=0\所以5AAsc=）be=

【點睛】

解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化

邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.

11.45°,30°,105°.

【分析】

由sinA:sinB=A/^:l可得。=06，用余弦定理結(jié)合c?=尸+"7c可求出進而可

求出A,B,C

答案第5頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

【詳解】

由題意及正弦定理，得〃=

22

由余弦定理/=b2+/-2》CCOSA,得2)2=Z?+c—2bccosA.

又?：#=及+?c，/.cosA=^.V00<A<180°,/.A=45°.

..1

..sinBR=—.

2

VB<A,0°<B<135°,；.3=30°,AC=105°.

故答案為：45°,30°,105°

【點睛】

本題考查的是正余弦定理的知識，較簡單.

12.73

【分析】

通過誘導公式易知cosN3AO=述，利用余弦定理計算即得結(jié)論.

3

【詳解】

解：-.-AD1AC,:.ZDAC=90°,

sinABAC=sin(ZBA￡>+90°)=cosABAD=,

又,：AB=3屈,AD=3,

BD?=AB2+AD2-2AB.ADcosABAD

=18+9-2x3&x3x^^

3

=3,

BD=6,

故答案為：y/3.

【點睛】

本題考查求三角形中某條線段的長度，利用三角函數(shù)的誘導公式、余弦定理是解決本題

的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

13.—

8

【解析】

答案第6頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

分析：AD為的C的平分線，從而*=整=[,根據(jù)余弦定理可得到

13

AB2+AC2+ABAC=49,兩者結(jié)合可解出A8=5,AC=3并求出COSB"”，在AABD中，

14

由余弦定理可求出AD的長度.

詳解：因為AD為44c的平分線，故當=黑=；.

XAB2+AC2-a^OOC49°=,AB2+AC2+ABAC=49,

所以A3=5,AC=3,故上.

2BAxBC14

17?S351377515

又A。？=AB2+BD--2.BAxBDcosB=25+--------2x5x—x—=—,故AZ）=—.

64814648

填”.

8

點睛：（1）在AABC中，若AD為N&4C的平分線（。為BC上一點），則有與=黑；

ziCz

（2）在解三角形中，我們有時需要找出不同三角形之間相關(guān)聯(lián)的邊或角，由它們溝通

分散在不同三角形的幾何量.

100

14.

【分析】

△BCD中,由三角形內(nèi)角和定理求出NCB￡>=60。，利用正弦定理求得BC的值，在直角AABC

中求出A8的值.

【詳解】

因為ZBCD=75°,ZBDC=45°,

所以/C3￡>=60。，

CDBC

在ABCD中，根據(jù)正弦定理可知

sinZCBD-sinZBDC

日n50A/2BC,解得8C=詈,

即-----------=-----------

sin60°sin45

tan30嚶

在直角44BC中,

?=翠x旦嗎

V333

所以塔高42=寸（米）.故答案為刀.

【點睛】

本題主要考查正弦定理的實際應用，以及直角三角形的邊角關(guān)系應用問題，是基礎(chǔ)題.正弦

答案第7頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一

邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對

邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.

15.15

【分析】

在三角形PDE中由余弦定理得cos20=無，可求出4。=￡,最后在放APE4中，即可求解，

得到答案.

【詳解】

由題意，因為NCPD=NEDP-NDCP=29-。=9,：.PD=CD=30,

ZDPE=ZAEP-NEDP=40-20=20,：.PE=DE=W日

在三角形PDE中由余弦定理得cos26=+-PE?=*(1叫一(1叫=走,

2PDDE2x30x10百2

：.20=-,：.40=-,

63

PALG

sin40=—,PA=尸片?sin46=10近x=15.

故答案為15米.

本題主要考查了正、余弦定理解三角形的實際應用問題,其中解答中根據(jù)圖形，在APDE中，

合理應用正弦定理、余弦定理，以及直角三角形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析

問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.206

【分析】

根據(jù)題意，畫出示意圖，利用正弦定理求出MN的長，即可求解貨輪的速度，得到答案.

【詳解】

由題意，如圖所示，可知/SMN=15o+9（F=105。，ZSNM=45°,SM=20,AZNSM=30°,

答案第8頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

MNSM

在ASMN中，由正弦定理可得:

smZNSMsinNSNM

MN20

即1一枝,解得：MN=wV2>

22

MN

.??貨輪的速度為工=20五海里/時.

2

故答案為2072.

NM

【點睛】

本題主要考查了解三角形的實際應用問題，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件畫出示意圖，合理應用

正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

17.80小

【分析】

在AACD中，由正弦定理求得AC；在ABCD中，由正弦定理求得BC；再在AABC中，由

余弦定理求得A2.

【詳解】

由已知得，在AACD中，ZAC￡>=15°,ZADC=150°,

所以ND4C=15。，

,。40

由正弦定理得AC==而一應=40("+0).

sin15:

4

在△BCD中，ZBDC=15°,ZBCD=135°,所以NZ)3C=30。，

由正弦定理———=———，

sinZCBDsinZBDC

?/DM80xsin15°

CDsin/SDC--------------r-r-

得3C=------------------=1=160sin15°=40(逐一夜).

sinZCBD-

2

在△ABC中，由余弦定理，

得Ag2=i600x(8+473)+1600x(8-473)+2x1600x(而+拒)x(逐一④)xg

答案第9頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

=1600x16+1600x4=1600x20=32000,

解得A3=806.

故圖中海洋藍洞的口徑為80乖.

故答案為：8075.

【點睛】

本題考查利用正余弦定理求解距離問題，屬綜合基礎(chǔ)題.

18.(1,0]

【分析】

兀

在直角三角形中，利用。=。5山46=0$由8,將4+/7=5化成*=$也4+8$4(0<4<5),再變

成x=&sin(A+f)后,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得.

4

【詳解】

JT

在HAABC中，。=萬,所以々=。511146=八1口5,

所以由a-\-b=cx^^csmA+csinB=cx,

又。>0,所以x=sinA+sin5,

因為C=所以B=]—A,所以sin5=si嗚—A)=cosA,

所以光=sinA+cosA

=0sin(A+2),

4

因為0<A<g,所以?<A+q<苧，

2444

所以<sin(A+?)<1,

所以xe(l,應].

所以實數(shù)無的取值范圍是(L友].

【點睛】

本題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦公式，利用正玄定理將已知條件中的邊化成角，然后

利用正弦函數(shù)的性質(zhì)來解是解題一般思路，屬中檔題.

19.277

答案第10頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

【詳解】

A_nAB_BC_A/3_(2\

設(shè)―^一叔一耳二A8=2sin1乃-。，

UJ2

BC=2sin0■-AB+2BC=2sin—0J+4sin0=2asin(0+。)，最大值為277

考點：解三角形與三角函數(shù)化簡

點評：借助于正弦定理，三角形內(nèi)角和將邊長用一內(nèi)角表示，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，只需

將三角函數(shù)化簡為asin6+6cos0=J/+b2sin(e+°)的形式

20.V2+-

4

【分析】

根據(jù)AMC為等腰直角三角形，OA=2OB=2,利用余弦定理，不妨設(shè)AC=3C=機，則

AB=&jn，由余弦定理把機表示出來，利用四邊形Q4CB面積為

n?2

S=S△0LzA/4B￡>=sin△0/ID+LxSABC=一+sin,轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)問題求解最值?

【詳解】

△ABC為等腰直角三角形，???Q4=2C?=2,不妨設(shè)AC=8C=〃z,則=

?Aao9八.95—4COS0

由余弦7E理，1+2—2m=4cos6,.?根=---------,

2

sn0

^oAB=^S^ABC=—,記平面四邊形Q4cB面積為S,

貝S=--cos3+sin0=y[lsin\|+—<A/2+—,

4V4J44

當。=學時，平面四邊形。4cB面積的最大值是拒+J,故答案為女+3.

444

【點睛】

此題考查了余弦定理，三角形的面積公式的應用，熟練掌握余弦定理和三角形函數(shù)的化簡是

解本題的關(guān)鍵.

21.(1)8。=8；(2)60=472.

【分析】

(1)在△ASD中，由余弦定理求BD.

⑵在ABCD中，由正弦定理求CO.

【詳解】

答案第11頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

(1)在AABD中，AD=5,AB=7,Z8r)A=60。，

由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD.BD.cosABDA,

即49=25+BD2-2x5-BD.cos60°,

貝-58￡>-24=0,

解得3。=8（3。=-3舍去）.

(2)在ABCD中，ZBDC=ZADC-ZBDA=75°-60°=15°,

又ZBCD=135。，則ZCBD=180°一135°-15°=30°.

CDBD

由⑴得3。=8,由正弦定理得

sin/CBDsinZBCD

即蒜=舄芳

解得CD=40.

【點睛】

本題考查由正弦定理、余弦定理解三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出相應三角形的邊與角,

再選擇正弦定理、余弦定理或綜合運用兩個定理來求解.

22.（1）AC=40;（2）16—+12應

27

【解析】

【分析】

（1）由。B=2OC得SAABC=3SA4DC,進而得2ABe=4逝，求得BC=6,在AABC中，由

余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC即可；（2）在^ABD中，由正弦定理得

ABAD得=sinABAD=sin(—~B]=+,利用面積公

sinAADBsinB9I3J6

式求解即可.

【詳解】

(1)-：BD=2DC一^AAB￡>=2sADC，SAA§C=3sADC，

又5MBe=逑，在三角形中，???cosB=!，「.SinB=迪

ZV1Z7C333

=4夜，。=6,

在MBC中，由余弦定理得AC?=AB-+BC1-2AB-BCcosZABC.

AC=4A/2.

答案第12頁，總15頁

本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。

ABAD

(2)在AABD中，由正弦定理得

sinZADBsinB

又AB=2,ZADB=；,sinB=—.：.AD=^-，又NBAD=^-B,

3393

./R,n.。q)g+2血

/.sinZBAD=sin-TI-B=-----------

(3)6

5BD=-ABAD-sinZBAD=①

AABD2'227+'2

【點睛】

本題考查了正余弦定理的應用，考查兩角差的正弦公式，面積公式，考查了計算能