人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章第七節(jié)拋物線學(xué)案

第七節(jié)拋物線考試要求：1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．了解拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義1．(教材改編題)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(3，0)的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．雙曲線的一支 D．拋物線D解析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，所以將動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(3，0)的距離等于它到直線x＝－3的距離，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以(3，0)為焦點(diǎn)，x＝－3為準(zhǔn)線的拋物線．2．已知拋物線y2＝8px(p＞0)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，則p表示()A．F到準(zhǔn)線的距離 B．F到準(zhǔn)線距離的1C．F到準(zhǔn)線距離的18 D．F到y(tǒng)B解析：根據(jù)拋物線方程可知準(zhǔn)線方程為x＝－2p，焦點(diǎn)F(2p，0)，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4p，則p表示F到準(zhǔn)線距離的14核心回扣1．我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．當(dāng)點(diǎn)F在直線l上時(shí)，與定點(diǎn)F和直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F與直線l垂直的直線．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．(×)(2)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×)(3)以(0，1)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.(√)2．(教材改編題)拋物線x2＝14yA．y＝－116 B．x＝－C．y＝116 D．x＝A解析：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得拋物線的焦點(diǎn)位于y軸正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，116，準(zhǔn)線方程為y3．(多選題)過點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是()A．y2＝－92x B．y2＝9C．x2＝－43y D．x2＝4AD解析：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝核心回扣1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形對(duì)稱性關(guān)于y＝0對(duì)稱關(guān)于x＝0對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)焦點(diǎn)坐標(biāo)p-00準(zhǔn)線方程x＝－px＝py＝－py＝p離心率e＝1范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，只需將x或y的系數(shù)除以4，再確定焦點(diǎn)的位置即可．【常用結(jié)論】設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(2)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．(3)過拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦稱為拋物線的通徑，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦，長(zhǎng)為2p.(4)AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，AB＝x1＋x2＋應(yīng)用1拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝xB解析：由題意可得|MF|＝xM＋p2＝3＋p2＝4，解得p＝2，故拋物線的方程為y2＝4應(yīng)用2過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B解析：根據(jù)題意可得2p＝4，即p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2 B．3C．6 D．9C解析：(方法一)因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設(shè)點(diǎn)A(9，yA)，所以yA2＝18又點(diǎn)A到焦點(diǎn)p2所以9-p所以9-p22＋18p＝122，即p2＋36解得p＝6或p＝－42(舍去)．(方法二)根據(jù)拋物線的定義及題意，得點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線x＝－p2的距離為12，又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以p2＝12－9，解得2．(多選題)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5.若以|MF|為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則拋物線C的方程為()A．y2＝4x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝2xAC解析：拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為Fp2，0，設(shè)M(x0，y0)，由題意及拋物線的定義，知|MF|＝x0＋p2＝5，得x0＝5－p2，則以MF為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為52，而圓的半徑為52，所以該圓與y軸相切，切點(diǎn)為(0，2)，得圓心的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，即M5-p2，4，從而有42＝2p5-p2，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p3．(2024·威海模擬)如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C．若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝32x B．y2＝9C．y2＝92x D．y2＝3D解析：如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D.設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a.由拋物線的定義得|BD|＝|BF|＝a，故易知∠BCD＝30°，所以在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|.因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以3＋3a＝6，解得a＝1.因?yàn)锽D∥FG，所以1p＝2所以p＝32因此拋物線的方程為y2＝3x.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定．這樣就減少了不必要的討論．拋物線的定義及應(yīng)用【例1】(1)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于()A．2 B．22C．3 D．32B解析：(方法一)由題意可知F(1，0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.設(shè)Ay024，y0因?yàn)閨BF|＝3－1＝2，所以y024＋1＝2，解得y0所以A(1，2)或A(1，－2)．則|AB|＝1-32+22＝(方法二)由題意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為2p＝4，故AF的長(zhǎng)為通徑長(zhǎng)的一半，所以AF⊥x軸，所以|AB|＝AF2+BF2＝22(2)若P是拋物線y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值為．34－4解析：圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圓心為C(－3，3)，半徑r＝2，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2，0)．由題意及拋物線定義可知d1＋d2＝|PF|－2＋d2＝|PF|＋|PQ|－2≥|PF|＋|PC|－|CQ|－2＝|PF|＋|PC|－4，所以要使d1＋d2最小，只需點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)與到圓C的圓心的距離之和最小．如圖，連接PF，F(xiàn)C，易知當(dāng)點(diǎn)F，P，C共線時(shí)，|PF|＋|PC|取得最小值為|FC|，則d1＋d2的最小值為|FC|－4＝-3-22+3-0利用拋物線的定義可解決的常見問題軌跡問題用拋物線的定義可以確定與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為拋物線距離問題靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線中與距離有關(guān)問題的有效途徑1．已知拋物線y＝mx2(m＞0)上的點(diǎn)(x0，2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為114，則mA．4 B．3C．14 D．D解析：由題意知，拋物線y＝mx2(m＞0)的準(zhǔn)線方程為y＝－14m根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)(x0，2)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y＝－14m即2＋14m＝114，解得m＝2．已知點(diǎn)M(20，40)不在拋物線C：y2＝2px(p＞0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于．42或22解析：當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當(dāng)點(diǎn)M，P，D共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20＋p2＝41，解得p當(dāng)點(diǎn)M(20，40)位于拋物線外時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最?。勺钚≈禐?1，得20-p解得p＝22或p＝58.當(dāng)p＝22時(shí)，代入驗(yàn)證成立；當(dāng)p＝58時(shí)，y2＝116x，點(diǎn)M(20，40)在拋物線內(nèi)，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.圖1圖2拋物線的性質(zhì)考向1范圍問題【例2】(1)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線C：y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．355C．115 B解析：由題意可知l2：x＝－1是拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，所以動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，所以動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，如圖所示．故最小值是4-0+65(2)已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是．5解析：依題意，由點(diǎn)M向拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線l：y＝－1引垂線，垂足為M1(圖略)，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1，5)到直線y＝－1的距離再減去圓C的半徑，即6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間，線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短”原理解決．考向2弦長(zhǎng)問題【例3】(2024·濟(jì)寧調(diào)研)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4 B．9C．5 D．6B解析：(方法一)易知直線l的斜率存在，設(shè)為k(k≠0)，則其方程為y＝k(x－1)．由y=kx-1，y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1①.因?yàn)閨AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1②，由①②解得xA＝2，xB＝12所以|AB|＝xA＋xB＋p＝92(方法二)由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于點(diǎn)E.設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝AEAB＝1所以sin2θ＝89由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長(zhǎng)公式得|AB|＝2psin2θ(方法三)因?yàn)閨AF|＝2|BF|，所以1AF＋1BF＝12BF＋1BF＝32BF＝2故|AB|＝|AF|＋|BF|＝92[變式]本例中拋物線方程不變，拋物線與直線2x＋y－4＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|FA|＋|FB|＝．7解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立(2x+y-4=0聯(lián)立化簡(jiǎn)整理可得x2－5x＋4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1＋x2＝5.因?yàn)閽佄锞€y2＝4x，所以2p＝4，即p＝2，根據(jù)拋物線的定義可得|FA|＋|FB|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋1．有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．2．涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．1．在拋物線y＝2x2上有一點(diǎn)P，它到點(diǎn)A(1，3)的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－2，1) B．(1，2)C．(2，1) D．(－1，2)B解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，PN⊥l，AN1⊥l.由拋物線的定義，知|PF|＝|PN|，所以|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P(1，2)．2．如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C．若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長(zhǎng)為()A．5 B．6C．163 D．C解析：如圖．設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義，知|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.(方法一)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝23-03-1所以直線AF的方程為y＝3(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB|＝x1＋x2＋p＝16(方法二)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋p2＝x1所以x1＝3.又x1x2＝p24＝1，所以x2＝所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝16(方法三)因?yàn)?AF＋1BF＝2p，|AF所以|BF|＝43所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋43＝16課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十二)1．動(dòng)圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線D解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而C到直線x＝1的距離等于r，所以C到直線x＝2的距離為r＋1，根據(jù)拋物線的定義知，動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線．2．(2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為2，則p＝()A．1 B．2C．22 D．4B解析：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2，0，其到直線x－y＋1＝0的距離為d＝p2-0+11+1＝3．(2024·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)上的一點(diǎn)M(x0，1)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()A．6 B．4C．3 D．2D解析：由題可知，拋物線的準(zhǔn)線為y＝－p2，可得1＋p2＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M(5，y0)為拋物線C上一點(diǎn)，以M為圓心的圓M與準(zhǔn)線l相切，且過點(diǎn)E(9，0)，則拋物線的方程為()A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝36xD．y2＝4x或y2＝36xD解析：由拋物線的定義知，圓M經(jīng)過焦點(diǎn)Fp2，0，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，由題意，當(dāng)E，F(xiàn)不重合時(shí)，M是線段EF垂直平分線上的點(diǎn)，所以5＝p2+92，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x；當(dāng)E，F(xiàn)重合時(shí)，p2＝9，所以p＝18，所以拋物線5．(多選題)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN為直徑的圓與l相切D．△OMN為等腰三角形AC解析：直線y＝－3(x－1)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，可得p2＝1，所以p拋物線方程為y2＝4x，聯(lián)立直線方程可得3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝103，所以|MN|＝xM＋xN＋p＝16M，N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為53，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為1＋53＝83＝12|MN|，所以以因?yàn)?x2－10x＋3＝0，所以不妨取xM＝3，xN＝13，則yM＝－23，yN＝2|OM|＝9+12＝21，|ON|＝19+129＝133所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正確．6．已知A(2，0)，B為拋物線y2＝x上一點(diǎn)，則|AB|的最小值為．72解析：設(shè)B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥所以|AB|＝x-22+＝x2-3x+4＝所以當(dāng)x＝32時(shí)，|AB|取得最小值，且|AB|min＝77．已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上的一點(diǎn)，且|FM|＝6，則M的橫坐標(biāo)是，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則S△FMN＝．545解析：因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因?yàn)閨FM|＝6，所以xM＋p2＝6，解得xM故yM＝±25，所以S△FMN＝12×(5－1)×25＝458．如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．解：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．因?yàn)辄c(diǎn)P(1，2)在拋物線上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.(2)由題意可知kPA＝y(tǒng)1-2x1-1(x1≠1)，kPB＝y(tǒng)因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得y12=4x1整理得y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.由①－②，得y12-y22＝4(所以kAB＝y(tǒng)1-y2x1-x29．已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線x27－y29＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上，且|AK|＝2|AFA．4 B．8C．16 D．32D解析：由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，所以p＝8.過點(diǎn)A作直線AA′垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為A′(圖略)，根據(jù)拋物線定義知，|AA′|＝|AF|.在△AA′K中，|AK|＝2|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直線AK的傾斜角為45°，直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4，即A(4，8)，所以△AFK為直角三角形，故△AFK的面積為12×8×10．(多選題)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則()A．C的準(zhǔn)線方程為x＝－4B．點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，4)C．|FN|＝12D．△ONF的面積為162(O為坐標(biāo)原點(diǎn))ACD解析：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)F′，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A．由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x＝－4，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4，0)，則|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位線|MB|＝AN+FF'2＝6.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝6，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝122-42＝82，S△ONF11．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為．x＝－2解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2a2－y23a2＝1，則F1(－2拋物線的準(zhǔn)線為x＝－2a，聯(lián)立x2a2-y2即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由PF1+PF2所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2.12．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線C上一點(diǎn)，MH⊥l于點(diǎn)H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，則拋物線C的方程為．y2＝4x解析：如圖，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以|MF|＝|MH|＝4.又∠HFM＝60°，所以△MHF為正三角形，所以|HF|＝4.記準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)Q，則∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF