高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c(diǎn)：復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義等．2．輪考點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積及模、夾角問題．(1)線性運(yùn)算主要考查三角形法則、平行四邊形法則及運(yùn)用基底表示平面向量；(2)數(shù)量積重點(diǎn)考查向量的模、夾角及運(yùn)用向量解決平行及垂直問題．第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算[考試要求]1．理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．2．掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．考點(diǎn)一平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長度為0的向量，記作0．3．單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量平行．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．[典例1](多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使aa＋bb＝0成立的條件是a與D．若a＝b，b＝c，則a＝cBCD[A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C項(xiàng)，因?yàn)閍a與bb都是單位向量，所以只有當(dāng)aa與bb是相反向量，即D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確．]解決此類問題應(yīng)特別注意以下幾點(diǎn)：(1)a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；(2)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(4)對于任意非零向量a，aa是與a跟進(jìn)訓(xùn)練1(2024·江蘇南京模擬)下列說法正確的是()A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bC[對于A，單位向量的模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對于C，若a，b同向共線，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共線，|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形中兩邊之和大于第三邊，知|a＋b|<|a|＋|b|．綜上可知，對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正確；對于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤．故選C．]考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法幾何意義a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb提醒：首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．向量的線性運(yùn)算[典例2](多選)如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量CD表示正確的是()A．CD＝CAB．CD＝BCC．CD＝1D．CD＝12CAAD[對于A，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD＝DB，因?yàn)镃D＝CA+所以CD＝CA+DB對于B，由三角形法則得，CD＝CB+BD＝CB+DA對于C，CD＝CA+AD＝1對于D，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以CD＝12CA＋1根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)[典例3]在△ABC中，延長BC至點(diǎn)M，使得BC＝2CM，連接AM，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，則λ＋A．13B．12C．－1A[由題意，知AN＝13AM＝13(AB+BM)＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12(AC-AB)＝－16AB＋12AC，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來解決．跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若AO＝λAB＋μBC，則λ＋μ＝()A．1 B．1C．13 D．(2)已知正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么EF＝()A．12ABB．14ABC．13ABD．12AB(1)D(2)D[(1)如圖，在△ABD中，BD＝12BA∴BD＝13∵AD＝AB+BD＝AB＋∴2AO＝AB＋13即AO＝12AB＋故λ＋μ＝12＋16＝(2)在△CEF中，有EF＝EC+因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以EC＝12因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以CF＝23所以EF＝12DC＋23CB＝12AB＋2【教師備用】(多選)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，且BC＝3EC，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則()A．BC＝－1B．AF＝13ABC．BF＝－23ABD．CF＝16ABABC[∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，∴BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD∵BC＝3EC，∴BE＝23BC＝－13∴AE＝AB+BE＝AB＋-13AB+23AD＝∴AF＝12AE＝13AB∴BF＝BA+AF＝－AB＋1＝－23AB＋1∴CF＝CB+BF＝BF-BC＝－23AB＋13AD考點(diǎn)三向量共線定理的應(yīng)用向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．提醒：當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一．[典例4]設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB．∴AB，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b．∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．【教師備用】已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x2OA＋xOB+BC＝0成立的實(shí)數(shù)A．{0}B．?C．{－1}D．{0，－1}C[因?yàn)锽C＝OC-所以x2OA＋xOB+OC-即OC＝－x2OA－(x－1)OB，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1．當(dāng)x＝0時(shí)，x2OA＋xOB+BC＝BC＝0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去．故三點(diǎn)共線問題可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．跟進(jìn)訓(xùn)練3已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線B[∵BD＝BC+CD＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2∴BD，AB共線，又∵它們有公共點(diǎn)∴A，B，D三點(diǎn)共線．其余選項(xiàng)可逐一排除．故選B．]課后習(xí)題(二十七)平面向量的概念及線性運(yùn)算1．(人教A版必修第二冊P23習(xí)題6.2T9改編)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．EF＝CDB．AB與DE共線C．BD與CD是相反向量D．AE＝12|ACD[AE＝12AC2．(人教A版必修第二冊P16例8改編)設(shè)向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實(shí)數(shù)λ＝________．12[∵λa＋b與a＋2b∴存在實(shí)數(shù)μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),∴λ=μ，2μ=1，3．(湘教版必修第二冊P11例5改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且OA＝a，OB＝b，則DC＝________，BC＝________．(用a，b表示)b－a－a－b[如圖，DC＝AB＝OB-OA＝b－BC＝OC-OB＝－a－b．]4．(人教A版必修第二冊P23習(xí)題6.2T10(1)改編)若a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為________，最小值為________．82[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a，b同向時(shí)取等號，所以|a＋b|max＝8．又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時(shí)取等號，所以|a＋b|min＝2．]5．(2024·山東淄博模擬)已知四邊形ABCD，O為任意一點(diǎn)，若OA-OB＝OD-OCA．正方形 B．平行四邊形C．矩形 D．菱形B[因?yàn)镺A-OB＝OD-OC，所以所以BA∥CD，且BA＝CD．所以四邊形ABCD是平行四邊形．故選B．]6．在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP＝13AB，BQ＝13BC．若AB＝a，AC＝b，則A．13a＋13b B．－13aC．13a－13b D．－13aA[PQ＝PB+BQ＝23AB＋13BC＝23AB＋13(AC7．已知向量a與b不共線，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，則AB與AC共線的條件是()A．m＋n＝0 B．m－n＝0C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0D[由AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)共線，得a＋mb＝λ(na＋b)，即1=λn，m=λ，8．(多選)下列命題中正確的是()A．若a＝b，則3a＞2bB．BC-C．若向量a，b是非零向量，則|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同D．向量a與b(b≠0)共線的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbCD[向量不能比較大小，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．向量加法、減法的結(jié)果仍為向量，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同，C選項(xiàng)正確．根據(jù)向量共線的知識可知D選項(xiàng)正確．故選CD．]9．(2023·遼寧高三一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若AF＝xAB＋34AD，則A．34 B．C．12 D．C[連接AE(圖略)，因?yàn)镕為DE的中點(diǎn)，所以AF＝12(而AE＝AB+BE＝AB＋12BC＝所以AF＝12(AD+AE)＝12AD+AB+12AD所以x＝1210．已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，而e1－4e2和ke1＋e2共線，則實(shí)數(shù)k的值為________．－14[由向量共線定理知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得ke1＋e2＝λ(e1－4e2所以k=λ，1=-