高中數(shù)學選擇性必修一課件：習題課 圓錐曲線的綜合問題(人教A版)

習題課圓錐曲線的綜合問題課標要求素養(yǎng)要求1.通過圓錐曲線方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應用.2.能根據(jù)圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)解決綜合問題.通過研究圓錐曲線的綜合問題，進一步提升邏輯推理及數(shù)學運算素養(yǎng).新知探究我們已經(jīng)學習了圓錐曲線的有關(guān)內(nèi)容，主要包括橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程，幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.高考對于圓錐曲線的要求比較高，綜合性比較強，今天我們對圓錐曲線中的綜合問題進行總結(jié)，學會利用圓錐曲線的基本知識解決綜合問題.1.定點、定值問題對于解析幾何中的定點、定值問題，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口.2.最值、范圍問題解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值.3.探索性問題

存在探索型問題作為探索性問題之一，具備了內(nèi)容涉及面廣、重點題型豐富等命題要求，方便考查分析、比較、猜測、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛.拓展深化[微判斷]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，則當m＞n>0時，該方程表示焦點在x軸上的橢圓.(

)

提示該方程表示焦點在y軸上的橢圓.√[微訓練]解析因為a＝5，c＝4，所以最大距離為a＋c＝9，最小距離為a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1∴y＝x＋3與x軸上半部分且位于y軸右側(cè)的雙曲線有1個交點.答案3[微思考]1.圓錐曲線中的弦長公式是什么？2.如何判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系？提示直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程(注意在雙曲線與拋物線中，要對二次項系數(shù)是否為0進行討論)，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0等價于直線與圓錐曲線相交于兩點；Δ＝0等價于直線與圓錐曲線只有一個交點；Δ<0等價于直線與圓錐曲線無交點.2.如何判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系？提示直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程(注意在雙曲線與拋物線中，要對二次項系數(shù)是否為0進行討論)，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0等價于直線與圓錐曲線相交于兩點；Δ＝0等價于直線與圓錐曲線只有一個交點；Δ<0等價于直線與圓錐曲線無交點.題型一范圍與最值問題(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；(2)若任意以點A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.解(1)由題意設(shè)直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2.由于k1≠k2，k1＞0，k2＞0，規(guī)律方法涉及直線與圓錐曲線問題，需要用方程思想解決，必要時需分類討論，諸如位置關(guān)系判定則需聯(lián)立方程組.“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動點與定點和焦點距離之和的最值問題常用此法.規(guī)律方法涉及直線與圓錐曲線問題，需要用方程思想解決，必要時需分類討論，諸如位置關(guān)系判定則需聯(lián)立方程組.“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動點與定點和焦點距離之和的最值問題常用此法.答案9題型二定點與定值問題證明∵M是橢圓上任意一點，若M與A重合，∴λ2＋μ2＝1，現(xiàn)在需要證明λ2＋μ2為定值1.∴a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，又直線方程為y＝x－c.∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值.規(guī)律方法解析幾何中的定點和定值問題需要合理選擇參數(shù)(坐標、斜率等)表示動態(tài)幾何對象和幾何量，探究、證明動態(tài)圖形中的不變性質(zhì)(定點、定值等)，體會“設(shè)而不求”“整體代換”在簡化運算中的作用.(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，(2)證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0.①③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由題意mt<0，∴mt＝－1，滿足②，得l方程為x＝ty＋1，故直線l過定點(1，0).∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②題型三探索性問題角度1常數(shù)存在型問題【例3－1】直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點，是否存在這樣的實數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y＝2x對稱？請說明理由.解假設(shè)存在實數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y＝2x對稱，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在直線y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，即(2－a)(x1＋x2)＝2.③故不存在滿足題意的實數(shù)a.角度2點存在型問題解(1)由題意知圓心在直線y＝－x上，設(shè)圓心的坐標是(－p，p)(p>0)，則圓的方程為(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0，0)在圓上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.∴橢圓右焦點為F(4，0).假設(shè)存在異于原點的點Q(m，n)使|QF|＝|OF|，規(guī)律方法(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.解設(shè)直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點，欲滿足條件，只需AP⊥MN即可.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1，且k≠0.故當k∈(－1，0)∪(0，1)時，存在滿足條件的直線l.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學運算及邏輯推理素養(yǎng).2.解決與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的三種方法 (1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題. (2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進而求解. (3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意圓錐曲線的范圍.3.定值問題的兩大解法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；(2)引進變量，構(gòu)造函數(shù)，把要證明為定值的量表示為變量的函數(shù)，將函數(shù)化簡，消掉變量得到定值.二、素養(yǎng)訓練1.直線y＝x＋1被橢圓x2＋2y2＝4所截得的弦的中點坐標是(

)即3x2＋4x－2＝0，答案B答案C答案A得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.∵線段AB的中點為(－1，1)，解得p＝2或p＝－6(舍去).答案2備用工具&資料得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.[微訓練]解析因為a＝5，c＝4，所以最大距離為a＋c＝9，最小距離為a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1[微思考]1.圓錐曲線中的弦長公式是什么？拓展深化[微判斷]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，則當m＞n>0時，該方程表示焦點在x軸上的橢圓.(

)

提示該方程表示焦點在y軸上的橢圓.√2