高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 1 1 傾斜角與斜率(人教版)

2.1.1傾斜角與斜率第二章

§2.1直線的傾斜角與斜率1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.學(xué)習(xí)目標(biāo)交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車沿某條道路從A點前進(jìn)到B點，在水平方向前進(jìn)的距離為AD，豎直方向上升的高度為DB(如果是下降，則DB的值為負(fù)實數(shù))，則坡度k＝

若k>0，則表示上坡，若k<0，則表示下坡，為了實際應(yīng)用與安全，在道路鋪設(shè)時常要規(guī)劃坡度的大小.那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢？導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、直線的傾斜角二、直線的斜率三、傾斜角和斜率的應(yīng)用內(nèi)容索引一、直線的傾斜角問題1

在平面中，怎樣才能確定一條直線？提示兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線.問題2

在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向，圖中過點P的直線有什么區(qū)別？提示直線的方向不同，相對于x軸的傾斜程度不同.當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸

與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為

.注意點：(1)從運動變化的觀點來看，當(dāng)直線l與x軸相交時，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合時所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度.(3)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.正向0°知識梳理例1

(1)(多選)下列命題中，正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為－30°C.傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D.若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)√解析任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負(fù)，傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確.D中，當(dāng)α＝0°時，sinα＝0；當(dāng)α＝90°時，sinα＝1，故D錯誤.√例1

(1)(多選)下列命題中，正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為－30°C.傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D.若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)√解析任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負(fù)，傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確.D中，當(dāng)α＝0°時，sinα＝0；當(dāng)α＝90°時，sinα＝1，故D錯誤.√(2)(多選)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°√√解析根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示.通過圖象可知，當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論.(2)注意傾斜角的范圍.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為

.解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.60°或120°②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為

.解析設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.135°二、直線的斜率二、直線的斜率問題3

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α.(3)一般地，如果直線l經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α與P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？1.把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝

.2.直線的方向向量與斜率的關(guān)系：若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝

.正切值tanα知識梳理注意點：(1)當(dāng)x1＝x2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點在該直線上的位置無關(guān).(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換.(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0.例2

(1)經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角.①A(2,3)，B(4,5)；則直線AB的傾斜角α滿足tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.②C(－2,3)，D(2，－1)；則直線CD的傾斜角α滿足tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.③P(－3,1)，Q(－3,10).解不存在.因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.(2)求經(jīng)過兩點A(a,2)，B(3,6)的直線的斜率.解當(dāng)a＝3時，斜率不存在；反思感悟求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則k＝tanα.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為

.(2)若過點P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為

.1解析設(shè)直線l的斜率為k，三、傾斜角和斜率的應(yīng)用問題4

當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？為什么？提示當(dāng)傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k＝0______不存在_____k的增減性

隨α的增大而_____

隨α的增大而_____設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k.k>0k<0知識梳理增大增大例3

已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解.跟蹤訓(xùn)練3

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍.解如圖所示，當(dāng)D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，1.知識清單：(1)直線的傾斜角及其范圍.(2)直線斜率的定義和斜率公式.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū)：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列說法正確的是A.若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B.若k是直線的斜率，則k∈RC.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角√1234√√2.若經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45°，則m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2√12343.已知經(jīng)過點P(3，m)和點Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為√12344.經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角α的取值范圍是

.(其中m≥1)0°<α≤90°1234解析當(dāng)m＝1時，傾斜角α＝90°；∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.課時對點練1.下面選項中，兩點確定的直線的斜率不存在的是A.(4,2)與(－4,1) B.(0,3)與(3,0)C.(3，－1)與(2，－1) D.(－2,2)與(－2,5)√解析D項，因為x1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在.基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.(多選)已知直線斜率的絕對值為

則直線的傾斜角可以為A.30° B.60° C.120° D.150°√12345678910111213141516√故直線的傾斜角為60°或120°.A.60° B.30°C.120° D.150°√12345678910111213141516∴θ＝30°.√123456789101112131415165.如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1√解析設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.123456789101112131415166.直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是√解析如圖所示，當(dāng)直線l在l1的位置時，k＝tan0°＝0；12345678910111213141516故直線l的斜率的取值范圍是[0,2].7.已知點A(1,2)，若在坐標(biāo)軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為135°，則點P的坐標(biāo)為

.(3,0)或(0,3)解析由題意知，kPA＝－1，若點P在x軸上，設(shè)點P的坐標(biāo)為P(m,0)(m≠1)，12345678910111213141516解得m＝3，即P(3,0).若點P在y軸上，設(shè)點P的坐標(biāo)為P(0，n)，解得n＝3，即P(0,3).綜上，點P的坐標(biāo)為(3,0)或(0,3).8.若經(jīng)過點A(1－t,1＋t)和點B(3,2t)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是

.(－2,1)12345678910111213141516因為直線的傾斜角為鈍角，解得－2<t<1.9.已知直線l經(jīng)過兩點A(－1，m)，B(m,1)，問：當(dāng)m取何值時：(1)直線l與x軸平行？解若直線l與x軸平行，則直線l的斜率k＝0，∴m＝1.12345678910111213141516(2)直線l與y軸平行？解若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，∴m＝－1.(4)直線的傾斜角為45°？解由題意可知，直線l的斜率k＝1，(3)直線l的方向向量的坐標(biāo)為(3,1).12345678910111213141516(5)直線的傾斜角為銳角？解由題意可知，直線l的斜率k>0，12345678910111213141516解得－1<m<1.10.如圖所示，菱形OBCD的頂點O與坐標(biāo)原點重合，OB邊在x軸的正半軸上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率.12345678910111213141516解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直線OD，BC的傾斜角相等，都為60°，12345678910111213141516因為CD∥OB，且OB在x軸上，所以直線OB，CD的傾斜角相等，都為0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性質(zhì)，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直線OC，BD的傾斜角分別為30°，120°，11.如果直線l先沿x軸負(fù)方向平移2個單位長度，再沿y軸正方向平移2個單位長度后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是A.－2 B.－1 C.1 D.2√解析設(shè)A(a，b)是直線l上任意一點，則平移后得到點A

′(a－2，b＋2)，12345678910111213141516綜合運用12.已知點A(2,3)，B(－3，－2)，若直線l過點P(1,1)，且與線段AB始終沒有交點，則直線l的斜率k的取值范圍是√12345678910111213141516∵直線l與線段AB始終沒有交點，(－∞，－1]∪[1，＋∞)1234567891011121314151614.已知O(O為坐標(biāo)原點)是等腰直角三角形OAB的直角頂點，點A在第一象限，∠AOy＝15°，則斜邊AB所在直線的斜率為

.解析設(shè)直線AB與x軸的交點為C，(圖略)則∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.1234567891011121314151615.直線l的方向向量為(－1,2)，直線l的傾斜角為α，則tan2α的值是√拓廣探究12345678910111213141516解析∵直線l的方向向量為m＝(－1,2)，∴直線l的斜率等于－2，因為點M在函數(shù)x＋2y＝6的圖象上，且1≤x≤3，12345678