2024年中考數(shù)學復習講義第01講實數(shù)

第01講實數(shù)目錄 2考點一實數(shù)的分類（高頻考點） 2題型01實數(shù)的分類 3題型02無理數(shù)估值 5題型03相反意義的量 6考點二實數(shù)的相關概念（高頻考點） 7題型01用數(shù)軸上的點表示數(shù) 8題型02求數(shù)軸上兩點之間的距離 10題型03根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子正負 11題型04數(shù)軸上的動點問題 13題型05求一個數(shù)的相反數(shù) 17題型06多重符號化簡 18題型07相反數(shù)的應用 19題型08求一個數(shù)的絕對值 20題型09化簡絕對值 21題型10絕對值非負性的應用 24題型11利用幾何意義化簡絕對值 26題型12乘方運算 29題型13乘方的應用 30考點三科學記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點） 32題型01用科學記數(shù)法表示數(shù) 33題型02求一個數(shù)的近似數(shù) 34考點四實數(shù)比較大小 35題型01利用數(shù)軸法比較實數(shù)大小 36題型02利用類比法比較實數(shù)大小 36題型03利用作差法比較實數(shù)大小 37題型04利用作商法比較實數(shù)大小 40題型05利用平方法比較實數(shù)大小 41題型06利用其它方法比較實數(shù)大小 42考點五平方根、算術平方根、立方根 43題型01求一個數(shù)的算術平方根 44題型02利用算術平方根的非負性解題 45題型03求一個數(shù)的平方根 46題型04已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù) 47題型05求一個數(shù)的立方根 47考點六實數(shù)的運算（高頻考點） 48題型01實數(shù)的運算 50\o"中國教育出版網(wǎng)""考點要求新課標要求命題預測實數(shù)的分類理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，知道實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的實數(shù)這一考點在中考數(shù)學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數(shù)的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數(shù)法、近似數(shù)多以選擇題或填空題形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數(shù)的大小比較常以選擇題形式出現(xiàn)，常與數(shù)軸結合考查；實數(shù)的運算考查形式多樣，多數(shù)以解答題形式出現(xiàn)，結合絕對值、銳角三函數(shù)、二次根式、平方根、立方根等知識考查.對于實數(shù)的復習，需要學生熟練掌握實數(shù)相關概念及其性質(zhì)的應用、實數(shù)運算法則和順序等考點.實數(shù)的相關概念可以借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應科學記數(shù)法、近似數(shù)利用科學記數(shù)法簡化表示非常大或非常小的數(shù)，了解近似數(shù)，會按問題的要求進行簡單的近似計算實數(shù)比較大小靈活運用多種方法比較實數(shù)大小平方根、算術平方根、立方根了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術平方根、立方根實數(shù)的相關計算掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內(nèi)為主)；能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題，知道有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．\o"中國教育出版網(wǎng)\"\o"中國教育出版網(wǎng)\"考點一實數(shù)的分類（高頻考點）1.正負數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負數(shù).負數(shù)前面的負號“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).2.正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．3.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（本質(zhì)：能夠化為分數(shù)的形式）.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).4.實數(shù)的分類：1）按定義分類：2）按性質(zhì)分類：11.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉化為分數(shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).（例：0.53（分數(shù)形式：53100QUOTEb-3100b-3100）、1.333333…（分數(shù)形式：43）等）2.無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).(例如：π，（不是分數(shù)）等).3.帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).4.對非負整數(shù)、非正整數(shù)、非負數(shù)、非正數(shù)分類時遺漏0.題型01實數(shù)的分類【例1】（2023·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（

）A．38 B．3.232232223??? C． D．2【答案】A【提示】根據(jù)立方根、無理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．【詳解】解：A.38B.3.232232223???是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，則此項不符合題意；C.是無理數(shù)，則此項不符合題意；D.2是無理數(shù)，則此項不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查了立方根、無理數(shù)與有理數(shù)，熟記無理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關鍵．【變式1-1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數(shù)中，屬于負數(shù)的是（

）A．2023 B．-2023 C．12023 D．【答案】B【提示】根據(jù)小于0的數(shù)即為負數(shù)解答可得．【詳解】-2023是負數(shù)，2023\o"中國教育出版網(wǎng)""和12023是正數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)故選：B．【點撥】本題主要考查正數(shù)和負數(shù)，熟練掌握負數(shù)的概念是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·浙江金華·中考真題）在-2,12,A．-2 B．12 C．3 D．【答案】C【提示】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵-2，12，2是有理數(shù)，3故選：C．【點撥】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，如開方開不盡的數(shù)的方根、π．【變式1-3】（2022·山東日照·中考真題）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【提示】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實數(shù)2，x0（x≠0）=1，，38=2中，有理數(shù)是38=2，x所以，有理數(shù)的個數(shù)是2，故選：B．【點撥】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關鍵．【變式1-4】（2023·江西·中考真題）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（

）A．3 B．2.1 C．0 D．-2【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解．【詳解】解：3\o"中國教育出版網(wǎng)""是正整數(shù)，2.1\o"中國教育出版網(wǎng)""是小數(shù)，不是整數(shù)，0\o"中國教育出版網(wǎng)""不是正數(shù)，-2\o"中國教育出版網(wǎng)""不是正數(shù)，故選：A．【點撥】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵．題型02無理數(shù)估值【例2】（2023·浙江臺州·中考真題）下列無理數(shù)中，大小在3與4之間的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)無理數(shù)的估算可得答案．【詳解】解：∵，，而，，∴大小在3與4之間的是，故選：C．【點撥】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．【變式2-1】（2023·浙江嘉興·中考真題）下面四個數(shù)中，比1小的正無理數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)正數(shù)負數(shù)，即可進行解答．【詳解】解：∵∴∴∴比1小的正無理數(shù)是．故選：A．【點撥】本題主要考查了比較實數(shù)是大小，無理數(shù)的估算，解題的關鍵是掌握正數(shù)負數(shù)．【變式2-2】（2023·天津·中考真題）估計的值應在（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之【答案】B【提示】由于4＜6＜9，于是，從而有．【詳解】解：∵4＜6＜9，∴，∴，故選B．【點撥】本題考查了無理數(shù)的估算，解題關鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．【變式2-3】（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）若為兩個連續(xù)整數(shù)，且，則．【答案】3【提示】根據(jù)夾逼法求解即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴，∴．故答案為：3．【點撥】題目主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關鍵．題型03相反意義的量【例3】（2023·廣東廣州·中考真題）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術》中，如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（

）A．-5元 B．0元 C．+5元 D．+10元【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)的意義可進行求解．【詳解】解：由把收入5元記作+5\o"中國教育出版網(wǎng)""元，可知支出5元記作-5\o"中國教育出版網(wǎng)""元；故選A．【點撥】本題主要考查相反數(shù)的意義，熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·湖南永州·中考真題）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中對正負數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”、如：糧庫把運進30噸糧食記為“+30”，則“-30”表示（

）A．運出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食【答案】A【提示】根據(jù)題意明確“正”和“負”所表示的意義，再根據(jù)題意即可求解．【詳解】解：糧庫把運進30噸糧食記為“+30\o"中國教育出版網(wǎng)""”，則“-30\o"中國教育出版網(wǎng)""”表示運出30噸糧食．故選：A【點撥】本題考查了正負數(shù)的意義，理解“正”和“負”分別表示相反意義的量是解題關鍵．【變式3-2】（2023·吉林·中考真題）月球表面的白天平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應記作（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】根據(jù)正負數(shù)表示相反意義的量，平均溫度零上表示正，平均溫度零下表示負即可求解．【詳解】解：平均溫度零上，記作+126°C，夜間平均溫度零下，應記作，故選：B．【點撥】本題主要考查正負數(shù)與實際問題的綜合，掌握正負數(shù)表示相反意義的量是解題的關鍵．判斷一個數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù)的方法關鍵：1.有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，而無理數(shù)不能寫成分數(shù)的形式.2.判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果．如√16是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．常見的無理數(shù)：開方開不盡的數(shù)，如：2、35等有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如5π，3+π，等.具有特定結構的數(shù)，如0.1010010001···（兩個1之間依次增加1個0）.某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.考點二實數(shù)的相關概念（高頻考點）相關概念概念補充與拓展數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應的關系.將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.在數(shù)軸上距原點n個單位長度的點有2個.數(shù)軸中點公式：數(shù)軸上有兩點A.B分別表示的數(shù)為x，y，若C是A.B兩點的中點，C所表示的數(shù)為c，則有：2c=x+y.數(shù)軸兩點距離=數(shù)軸上右側的點所表示的數(shù)-左側的點表示的數(shù)（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù).若A.b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側.正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)是本身的數(shù)是0.（a+b）的相反數(shù)是-（a+b），（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.多重符號化簡口訣：數(shù)負號個數(shù)，奇負偶正.絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（A.b可以是多項式）.幾何意義補充：|x|=|x-0|，數(shù)軸上表示x的點到原點的距離|x-1|，數(shù)軸上表示x的點與表示1的點之間的距離|x+2|，數(shù)軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離倒數(shù)1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)．0沒有倒數(shù).若A.b互為倒數(shù)，則ab=1互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）.倒數(shù)是本身的只有1和-1.乘方n個相同的因數(shù)a相乘記作an，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，乘方的結果叫做冪.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).規(guī)定：a0=1（a≠0）11.0的相反數(shù)是0，0的絕對值是0.絕對值最小的數(shù)是0.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負數(shù).2.任何一個數(shù)都有且只有一個相反數(shù).任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0（或非負數(shù)）.3.到已知點的距離相等的點有兩個，注意分類討論．此外，運用數(shù)軸可以將絕對值化為幾何問題，代數(shù)式|x?a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與a所對應的點之間的距離，代數(shù)式|x+a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與－a所對應的點之間的距離，不可將兩者混淆．題型01用數(shù)軸上的點表示數(shù)【例1】（2023·浙江溫州·中考真題）如圖，比數(shù)軸上點A表示的數(shù)大3的數(shù)是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【提示】根據(jù)數(shù)軸及有理數(shù)的加法可進行求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知點A表示的數(shù)是-1，所以比-1大3的數(shù)是-1+3=2；故選D．【點撥】本題主要考查數(shù)軸及有理數(shù)的加法，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加法是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·四川自貢·中考真題）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023，OA=OB，則點B表示的數(shù)是（

）A．2023 B．-2023 C．12023 D．【答案】B【提示】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可．【詳解】解；∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023，OA=OB，∴OB=2023，∴點B表示的數(shù)是-2023\o"中國教育出版網(wǎng)""，故選：B．【點撥】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，A，B位于數(shù)軸上原點兩側，且OB=2OA．若點B表示的數(shù)是6，則點A表示的數(shù)是（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5【答案】B【提示】根據(jù)OB=2OA，點B表示的數(shù)是6，先求解OA,再根據(jù)A的位置求解A對應的數(shù)即可．【詳解】解：由題意可得：點B表示的數(shù)是6，且B在原點的右側，OB=2OA，在原點的左側，表示的數(shù)為-3\o"中國教育出版網(wǎng)""故選B【點撥】本題考查的是線段的和差倍分關系，數(shù)軸上的點所對應的數(shù)的表示，熟悉數(shù)軸的組成與數(shù)軸上數(shù)的分布是解本題的關鍵．【變式1-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)7的點可能是(

)

A．點P B．點Q C．點R D．點S【答案】B【提示】根據(jù)先估算7的大小，看它介于哪兩個整數(shù)之間，從而得解．【詳解】解：∵4<7<9∴4<7<∴數(shù)軸上表示實數(shù)7的點可能是Q，故選：B．【點撥】本題考查無理數(shù)的大小估算，推出7介于哪兩個整數(shù)之間是解題的關鍵．題型02求數(shù)軸上兩點之間的距離【例2】（2023·廣東汕頭·模擬預測）一只螞蟻從數(shù)軸上A點出發(fā)爬了4個單位到了相反數(shù)B點所在的位置，則點A所表示的是（）A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4【答案】A【提示】由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對應點的距離為4，即可提示出兩點到原點的距離為2【詳解】由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對應點的距離為4，∴兩點到原點距離＝4÷2＝2，∴這兩個數(shù)分別為2，-2，故選：A．【點撥】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，相反數(shù)的意義，解題的關鍵是提示出互為相反數(shù)的兩數(shù)對應點距離為4．【變式2-1】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，點A.B分別表示A.b，且a+b=0，若AB=6，則點A表示的數(shù)為（

）A．-3 B．0 C．3 D．-6【答案】A【提示】由AB的長度結合A.B表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可得出A，B表示的數(shù)【詳解】解：∵a+b=0∴A，B兩點對應的數(shù)互為相反數(shù)，∴可設A表示的數(shù)為a，則B表示的數(shù)為-a，∵AB=6∴-a-a=6，解得：a=-3，∴點A表示的數(shù)為-3，故選：A．【點撥】本題考查了絕對值，相反數(shù)的應用，關鍵是能根據(jù)題意得出方程-a-a=6．【變式2-2】（2023·寧夏·中考真題）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-1，點B是AC的中點，線段AB=2，則點C表示的數(shù)是

【答案】2【提示】根據(jù)兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．【詳解】解：∵點B是AC的中點，線段AB=2∴AC=22∴點C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點撥】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．題型03根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子正負【例3】（2023·山東濰坊·中考真題）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，下列判斷正確的是（

）

A．-c<b B．a(chǎn)>-c C．a(chǎn)-b=b-a D．【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得a<b<0<c，a>【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<b<0<c，a>A.-c>b，則此項錯誤，不符合題意；B.a<-c，則此項錯誤，不符合題意；C.，，則此項正確，符合題意；D.，，則此項錯誤，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了數(shù)軸、絕對值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關鍵．【變式3-1】（2023·山東·中考真題）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（

）

A．c(b-a)<0 B．b(c-a)<0 C．a(chǎn)(b-c)>0 D．a(chǎn)(c+b)>0【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸可得，a<0<b<c，再根據(jù)a<0<b<c逐項判定即可．【詳解】由數(shù)軸可知a<0<b<c，∴c(b-a)>0，故A選項錯誤；∴b(c-a)>0，故B選項錯誤；∴a(b-c)>0，故C選項正確；∴a(c+b)<0，故D選項錯誤；故選：C．【點撥】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)a<0<b<c進行判斷是解題關鍵．【變式3-2】【多選】（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點在原點兩側，下列各式成立的是（

）A．a(chǎn)b>1 B．-a<b C．a(chǎn)-b>0 D【答案】AD【提示】根據(jù)數(shù)軸判斷出A.b的取值范圍，再根據(jù)有理數(shù)的乘除法，加減法運算對各選項提示判斷后利用排除法求解．【詳解】解：由題意可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，A.abB.-a＞b，故本選項不符合題意；C.a-b＜0，故本選項不符合題意；D.-ab>0，故本選項符合題意．故選：AD．【點撥】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的乘除運算以及有理數(shù)的加減運算，判斷出A.b的取值范圍是解題的關鍵．【變式3-3】（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點分別對應實數(shù)，則a+b0.(用“>”“<”或“=”填空)

【答案】<【提示】根據(jù)數(shù)軸可得a<0<b,a【詳解】解：由數(shù)軸可得a<0<b,∴a+b<0【點撥】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)加法的運算法則，數(shù)形結合是解題的關鍵利用特殊值法判斷式子正負利用數(shù)軸來判斷代數(shù)式的符號這類題目，在做選擇題和填空題的時候，還可以利用數(shù)軸，選擇特殊值法.【變式3-3】中根據(jù)數(shù)軸A、B點的位置，首先可知a為負數(shù)，b為正數(shù)且a的絕對值大于b的絕對值，所以我們假設a=-2,b=1，然后代入到代數(shù)式中判斷正負.利用特殊值法做題時，大家需要注意：根據(jù)題目信息將合適的數(shù)值帶入到代數(shù)式中判斷式子正負.題型04數(shù)軸上的動點問題【例4】（2022·廣東·惠州一中校考二模）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點開始沿數(shù)軸向右無滑動地滾動一周到達點A，則點A表示的數(shù)是（

）．A．3 B．4 C．π D．2π【答案】C【提示】圓向前滾動了一個圓周長的距離，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵圓的直徑為1，∴圓周長為π，所以點A表示的數(shù)是π，故選：C．【點撥】本題考查數(shù)軸上表示的數(shù)，明確圓向前滾動了一個圓周長的距離是解題的關鍵．【變式4-1】（2021·廣西百色·一模）正方形紙板ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A,D對應的數(shù)分別為1和0，若正方形紙板ABCD繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉，則在數(shù)軸上與2020對應的點是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】D【提示】先翻轉一次和兩次確認點B.C對應的數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)歸納類推出每個頂點對應的數(shù)的規(guī)律，從而即可得出答案．【詳解】翻轉一次可得：點B對應的數(shù)為2；再翻轉一次可得：點C對應的數(shù)為3在正方形紙板連續(xù)翻轉的過程中，各頂點對應的數(shù)的規(guī)律歸納類推如下：點A對應的數(shù)分別為1,5,9,?,1+4n，n為非負整數(shù)點B對應的數(shù)分別為2,6,10,?,2+4n，n為非負整數(shù)點C對應的數(shù)分別為3,7,11,?,3+4n，n為非負整數(shù)點D對應的數(shù)分別為0,4,8,?,4n，n為非負整數(shù)由此可知，只有點D對應的數(shù)可以為2020，此時n=505為非負整數(shù)，符合要求故選：D．【點撥】本題考查了數(shù)軸的定義的實際應用，讀懂題意，歸納類推出規(guī)律是解題關鍵．【變式4-2】（2023·河北承德·二模）如圖，數(shù)軸上點M對應的數(shù)為-10，點N在點M右側，對應的數(shù)為a，矩形ABCD的邊AD在數(shù)軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知AB=10，BC=30，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對應的數(shù)稱為點Р對應的數(shù)．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．(2)若a=60，當，即點Р在BC邊上時，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，則a=．【答案】(1)t-10(2)3t-20(3)100【提示】（1）根據(jù)線段的和與差可得OA=MA-MO，即可求得；（2）根據(jù)P的速度和矩形的周長，求得P運動的總時間，進一步求得矩形的速度，即可求得；（3）根據(jù)點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度，求解即可．【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點A的速度也為l，則運動的距離為MA=t，故OA=MA-MO=t-10，即A的值為t-10故答案為：t-10．（2）解：點P的速度為2，則運動總時間為（秒），從M到N，長度為70，所以矩形運動速度為70-30÷40=1所以當點Р在BC邊上時，點Р對應的數(shù)為2t-10+t-10=3t-20，故答案為：3t-20．（3）解：點P對應的數(shù)不變，說明矩形向右運動，點Р向左運動，二者速度“抵消”了，所以矩形的運動速度與點P的運動速度相等，所以a+10-3040解得a=100，故答案為：100．【點撥】本題看了數(shù)軸，矩形的周長，動點問題等，根據(jù)點Р對應數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度是解題的關鍵．【變式4-3】．（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預測）如圖，程序員在數(shù)軸上設計了A.B兩個質(zhì)點，它們分別位于―6和9的位置，現(xiàn)兩點按照下述規(guī)則進行移動：每次移動的規(guī)則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點數(shù)：①若兩次向上面的點數(shù)均為偶數(shù)，則A點向右移動1個單位，B點向左移2個單位；②若兩次向上面的點數(shù)均為奇數(shù)，則A點向左移動2個單位，B點向左移動5個單位；③若兩次向上面的點數(shù)為一奇一偶，則A點向右移動5個單位，B點向右移2個單位．(1)經(jīng)過第一次移動，求B點移動到4的概率；(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動中，發(fā)現(xiàn)正方體骰子向上面的點數(shù)均為偶數(shù)或奇數(shù)，設正方體骰子向上面的點數(shù)均為偶數(shù)的次數(shù)為a，若A點最終的位置對應的數(shù)為b，請用含a的代數(shù)式表示b，并求當A點落在原點時，求此時B點表示的數(shù)；(3)從如圖所示的位置開始，經(jīng)過x次移動后，若AB=3，求x的值．【答案】(1)14(2)B點表示的數(shù)為-21；(3)x的值為4或6．【提示】（1）利用概率公式計算即可；（2）根據(jù)題意可知當向上的點數(shù)均為偶數(shù)時，A點向右移動a個單位，當向上的點數(shù)均為奇數(shù)時，A點向左移動2(12-a)個單位，再根據(jù)平移的規(guī)則推算出結果即可；（3）剛開始的距離是15，根據(jù)三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以3即可得到結果．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，B點移動到4，則向左移5個單位，且第一次就移動到4，故兩次向上的點數(shù)均為奇數(shù)(正方體骰子奇數(shù)為1，3，5，)，則P(奇數(shù))=36∴P(B點移動到4)=；（2）解：當向上的點數(shù)均為偶數(shù)時，A點向右移動a個單位，當向上的點數(shù)均為奇數(shù)時，A點向左移動2(12-a)個單位，∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，當b=0時，3a-30=0，∴a=10，即均為偶數(shù)有10次，均為奇數(shù)有2次，∴B點表示的數(shù)為9-10×2-2×5=-21；（3）解：剛開始AB的距離等于15，均為偶數(shù)時，AB距離縮短3，均為奇數(shù)時，AB距離縮短3，均為一奇一偶時，AB距離也縮短3，當縮短至3時，(15-3)÷3=4，∴x=4；當縮短至0再增長3時，(15+3)÷3=6，∴x=6；∴x的值為4或6．【點撥】本題考查概率公式，數(shù)軸，代數(shù)式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式4-4】（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在數(shù)軸上，點P、A.B表示的數(shù)分別是﹣6.﹣3.2．點P以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設點P、B運動的時間為t秒時，點P、B分別位于數(shù)軸上P'、B'處．(1)當t＝時，AB＝8．(2)當P'A＝3P'B時，求t的值．【答案】(1)3(2)214或【提示】（1）首先表示出點B運動t秒對應的數(shù)，再根據(jù)AB＝8列出方程，求解即可；（2）首先表示出數(shù)軸上P'對應的數(shù)，再根據(jù)P'A＝3P'B列出方程，求解即可．【詳解】（1）點B運動t秒對應的數(shù)為2＋t，∵AB＝8，∴2＋t﹣（﹣3）＝8，解得t＝3．故答案為：3；（2）由題意可得，數(shù)軸上P'對應的數(shù)為﹣6＋2t．∵P'A＝3P'B，∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），解得t，或t．故所求t的值為214或27【點撥】本題結合動點問題考查了一元一次方程的應用，數(shù)軸，兩點間的距離公式，表示出點P、B在數(shù)軸上運動t秒后對應的數(shù)是解題的關鍵．數(shù)軸上的動點問題解決動點問題首先要做到仔細理解題意，弄清運動的整個過程和圖形的變化，然后再根據(jù)運動過程展開分類討論畫出圖形，最后針對不同情況尋找等量關系列方程求解.而對于建立在數(shù)軸上的動點問題來說，由于數(shù)軸本身的特點，這類問題常有兩種不同的解題思路.一種是根據(jù)“形”的關系來分析尋找等量關系，也就是利用各線段之間的數(shù)量關系列方程求解；另一種是從“數(shù)”的方面尋找等量關系，就是利用各點在數(shù)軸上表示的數(shù)之間存在的內(nèi)在關系列方程.因此解決數(shù)軸上的動點問題要明確以下幾個問題：1.找出動點的基準坐標，即運動的起始坐標；2.算出動點運動后的坐標：向右運動：運動后的坐標=基準坐標+運動路程；向左運動：運動后的坐標=基準坐標-運動路程；3.表示線段長度：線段右端點表示的數(shù)-線段左端點表示的數(shù)；4.列方程：根據(jù)運動的關系或題目中的條件，列出方程，未知數(shù)通常是運動時間t、速度v或所求坐標；5.求解題型05求一個數(shù)的相反數(shù)【例5】（2023·遼寧錦州·中考真題）2023的相反數(shù)是（

）A．12023 B．-2023 C．2023 D．【答案】B【提示】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【詳解】解：2023\o"中國教育出版網(wǎng)""的相反數(shù)是-2023\o"中國教育出版網(wǎng)""，故選：B．【點撥】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．9 B．-19 C．19【答案】D【提示】先根據(jù)數(shù)軸得到A表示的數(shù)，再求其相反數(shù)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是9，相反數(shù)為-9，故選：D．【點撥】本題考查數(shù)軸和相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式5-2】（2023·四川綿陽·中考真題）中國人最早使用負數(shù)，可追溯到兩千多年前的秦漢時期，﹣0.5的相反數(shù)是（）A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5【答案】A【詳解】﹣0.5的相反數(shù)是0.5，故選A．題型06多重符號化簡【例6】（2023·廣東廣州·中考真題）--2023=（A．-2023 B．2023 C．-12023 D【答案】B【提示】-2023\o"中國教育出版網(wǎng)""的相反數(shù)是2023\o"中國教育出版網(wǎng)""．【詳解】--2023故選：B．【點撥】本題考查相反數(shù)等知識，掌握相反數(shù)的概念是解題的關鍵．【變式6-1】（2023·廣東廣州·校考模擬預測）下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．-+5和-5 B．+-5C．+-8和-+8 D．+【答案】D【提示】先將各數(shù)化簡，再根據(jù)相反數(shù)的定義逐個進行判斷即可．【詳解】解：A.-+5=-5與-5不是互為相反數(shù)，故B.-+5=-5與-5不是互為相反數(shù)，故C.+-8=-8與-+8D.+-8=-8與--8故選：D．【點撥】本題主要考查了多重符號的化簡，相反數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握只有符號不同的數(shù)是相反數(shù)．題型07相反數(shù)的應用【例7】（2021·河北·中考真題）能與-34-65A．-34-C．-65+【答案】C【提示】利用加法與減法互為逆運算，將0減去-34-65即可得到對應答案，也可以利用相反數(shù)的性質(zhì)，直接得到能與【詳解】解：方法一：0--方法二：-34-故選：C．【點撥】本題考查了有理數(shù)的運算和相反數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關鍵是理解相關概念，并能靈活運用它們解決問題，本題側重學生對數(shù)學符號的理解，計算過程中學生應注意符號的改變．【變式7-1】（2023·山東濰坊·一模）若實數(shù)a的相反數(shù)是﹣1，則a+1等于（

）A．2 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵1的相反數(shù)是﹣1，∴a＝1，∴a+1=2故選：A．【點撥】本題主要考查了相反數(shù)，熟記相反數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式7-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b-4c的值為（

）A．-8 B．-5 C．-1 D．16【答案】C【提示】根據(jù)a，b互為相反數(shù)，可得a+b=0，c的倒數(shù)是4，可得c=14【詳解】∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∵c的倒數(shù)是4，∴c=1∴3a+3b-4c=3a+b-4c故選：C【點撥】本題考查了代數(shù)式的求值問題，利用已知求得a+b=0，c=14【變式7-3】（2021·甘肅隴南·一模）若m+1與-2互為相反數(shù)，則m的值為.【答案】1.【提示】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.【點撥】此題主要考查相反數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知相反數(shù)的性質(zhì).題型08求一個數(shù)的絕對值【例8】（2023·浙江·中考真題）計算：．【答案】2023【提示】負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，由此可解．【詳解】解：的相反數(shù)是2023，故，故答案為：2023．【點撥】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，解題的關鍵是掌握正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．【變式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說法正確的個數(shù)是（

）①－2022的相反數(shù)是2022；②－2022的絕對值是2022；③的倒數(shù)是2022．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【提示】根據(jù)相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的定義逐個判斷即可．【詳解】①－2022的相反數(shù)是2022，故此說法正確；②－2022的絕對值是2022，故此說法正確；③的倒數(shù)是2022，故此說法正確；正確的個數(shù)共3個；故選：A．【點撥】本題考查相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的含義，只有符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，數(shù)軸上一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，熟知定義是解題的關鍵．【變式8-2】（2022·四川南充·中考真題）下列計算結果為5的是（

）A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)去括號法則及絕對值化簡依次計算判斷即可．【詳解】解：A.-（+5）=-5，不符合題意；B.+（-5）=-5，不符合題意；C.-(-5)=5，符合題意；D.，不符合題意；故選：C．【點撥】題目主要考查去括號法則及化簡絕對值，熟練掌握去括號法則是解題關鍵．【變式8-3】（2023·山東淄博·中考真題）的運算結果等于（

）A．3 B． C． D．【答案】B【提示】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選：B；【點撥】本題考查去絕對值符號，解題的關鍵是熟練掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．題型09化簡絕對值【例9】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（

）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【提示】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握是解題的關鍵．【變式9-1】（2022·寧夏·中考真題）已知實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得，，據(jù)此化簡求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸上點的位置可得，，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查了化簡絕對值，根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子符號，有理數(shù)的除法，正確得到，是解題的關鍵．【變式9-2】（2023·安徽蚌埠·模擬預測）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】由圖可知，，，，，然后確定各項的符號，去掉絕對值號，計算答案．【詳解】解：由圖可知，，，，，，，．故選：A．【點撥】本題考查了數(shù)軸，絕對值，去括號，合并同類項，解題的關鍵是判斷出，，．【變式9-3】（2023·湖北黃岡·?？寄M預測）已知有理數(shù)，，滿足，且，則．【答案】【提示】當時，則結合已知條件得到，不合題意舍去，從而＜可得＜再化簡代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：當時，則，，，所以不合題意舍去，所以＜，＜故答案為：【點撥】本題考查的是絕對值的含義，絕對值的化簡，同時考查去括號，合并同類項，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式9-4】．（2023·山東青島·?？家荒＃┰Oa，b，c為有理數(shù)，則由構成的各種數(shù)值是．【答案】，0【提示】此題要分類討論a，b，c與0的關系，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行求解；【詳解】解：∵a，b，c為有理數(shù)，①若，∴；②若a，b，c中有兩個負數(shù)，則，∴，③若a，b，c中有一個負數(shù)，則，∴，④若a，b，c中有三個負數(shù)，則，∴，故答案為：，0．【點撥】此題主要考查絕對值的性質(zhì)，解題的關鍵是如何根據(jù)已知條件，去掉絕對值，還考查了分類討論的思想，正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．題型10絕對值非負性的應用【例10】（2023·西藏·中考真題）已知a，b都是實數(shù)，若，則的值是（

）A． B． C．1 D．2023【答案】B【提示】根據(jù)絕對值和偶次方的非負性可求解a，b的值，再代入計算可求解．【詳解】解：∵，，∴，解得，∴．故選：B．【點撥】此題考查了絕對值與偶次方非負性的應用，解題關鍵是利用非負性求出A.b的值．【變式10-1】（2023·山東·中考真題）的三邊長a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【提示】由等式可分別得到關于A.B.c的等式，從而分別計算得到A.B.c的值，再由的關系，可推導得到為直角三角形．【詳解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點撥】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．【變式10-2】（2022·廣西賀州·中考真題）若實數(shù)m，n滿足，則．【答案】7【提示】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進而代入數(shù)值可求解．【詳解】解：由題意知，m，n滿足，∴m-n-5=0，2m+n?4=0，∴m=3，n=-2，∴，故答案為：7．【點撥】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結論可以求解這類題目．【變式10-3】（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且．

(1)______，______；(2)點、點開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒2個單位長度的速度向右運動．求秒后點、點之間的距離（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)，5(2)【提示】（1）由絕對值非負數(shù)的性質(zhì)和平方非負數(shù)的性質(zhì)可得，，即可求得的值；（2）先表示出秒后點、點表示的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離進行計算即可．【詳解】（1）解：，且，，，，，故答案為：，5；（2）解：點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒2個單位長度的速度向右運動，秒后點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，秒后點、點之間的距離為：．【點撥】主要考查了絕對值非負性的應用，數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．【變式10-4】（2023·湖南·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．【答案】，12【提示】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結果，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴原式．【點撥】本題考查了完全平方公式、非負數(shù)的和為0、及整式的化簡求值．解決本題的關鍵是利用非負數(shù)的和為0確定A.b的值．題型11利用幾何意義化簡絕對值【例11】（2023·四川內(nèi)江·?？既＃╅喿x下列材料：我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應的點與原點的距離；即；這個結論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：例1：解方程．容易得出，在數(shù)軸上與原點距離為4的點對應的數(shù)為±4，即該方程的±4；例2：解方程．由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數(shù)軸上與-1和2的距離之和為5的點對應的的值．在數(shù)軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對應的點在2的右邊或在-1的左邊．若對應的點在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對應點在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．例3：解不等式．在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為3的點對應的數(shù)為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程的解為；（2）方程的解為；（3）若，求的取值范圍．【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6【詳解】試題提示：1）分類討論：x<-3，x≥-3，可化簡絕對值，根據(jù)解方程，可得答案；（2）分類討論：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根據(jù)絕對值的意義，可化簡方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）表示的幾何意義分情況討論即可求解.試題解析：（1）當x<?3時，原方程等價于?x?3=5.解得x=?-8；當x??3時，原方程等價于x+3=5，解得x=2，故答案為x=2或x=-8；（2）當x<?1時，原方程等價于?x+2017?x-1=2020，解得x=?2，當?1?x<2017時，原方程等價于?x+2017?+x+1=2020，不存在x的值；當x?2017時，原方程等價于x?2017+x+1=2020，解得x=2018，綜上所述：x=-2或x=2018是方程的解；（3）∵表示的幾何意義是在數(shù)軸上分別與-4和3的點的距離之和，而-4與3之間的距離為7，當在-4和3時之間，不存在，使成立，當在3的右邊時，如圖所示，易知當時，滿足，當在-4的左邊時，如圖所示，易知當時，滿足，所以的取值范圍是或．點撥：本題主要考查了絕對值，通過閱讀材料，理解絕對值的幾何意義，結合數(shù)軸，通過數(shù)形結合對材料進行提示來解答題目..【變式11-1】（2023·河北邢臺·模擬預測）我們知道，的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)a對應的點到原點的距離，類似的，的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)對應點之間的距離；比如：2和5兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是3（1）數(shù)軸上1和兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是_______（2）數(shù)軸上表示x和的兩點A.B之間的距離可以表示為AB=；如果AB=2，結合幾何意義，那么x的值為；（3）代數(shù)式表示的幾何意義是，該代數(shù)式的最小值是【答案】（1）；4；（2）；或-1；（3）數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和兩點的距離的和；3【提示】（1）根據(jù)兩點間的距離表示即可得到結構；（2）根據(jù)的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)對應點之間的距離判斷即可；（3）根據(jù)兩點間的距離表示幾何意義即可，然后根據(jù)，，計算最小值即可；【詳解】（1）數(shù)軸上1和兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是4；故答案是：；4；（2）數(shù)軸上表示x和的兩點A.B之間的距離可以表示為，由AB=2，得，∴或，∴或；故答案是：；或-1；（3）由題意可知：代數(shù)式表示的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和兩點的距離的和；當時，原式；當時，原式；當時，原式；∴最小值是3．故答案是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和兩點的距離的和；3．【點撥】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值的性質(zhì)，準確提示計算是解題的關鍵．利用零點分段法化簡絕對值零點:使得絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為0的未知數(shù)的值，稱為絕對值的零點利用零點分段法去絕對值符號的方法：1.化簡含絕對值的式子，關鍵是去絕對值符號，先根據(jù)所給的條件,確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)的正負(即a>0，a<0，還是a=0)如果已知條件沒有給出其正負，應該進行分類討論.2.分類討論時先假設每個絕對值符號內(nèi)的數(shù)(或式子)等于0，得到相應的未知數(shù)的值；再把這些值表示在數(shù)軸上，對應的點(零點)將數(shù)軸分成了若干段，在每一小段上，絕對值內(nèi)代數(shù)式的符號都是能夠判定的；最后依次在每一段上化簡原式，這種方法被稱為零點分段法零點分段法的具體步驟：1.找零點;2.分區(qū)間;3.定正負;4.去符號.題型12乘方運算【例12】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮韵率阶雍偷闹迪嗤氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【提示】應用有理數(shù)的乘方運算法則和負整數(shù)指數(shù)冪計算法則進行計算即可得出答案．【詳解】解：，，，，∴與的值相同，故選C．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，負整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【變式12-1】（2023·江西贛州·贛州市第三中學?？寄M預測）下列各對數(shù)中，相等的一對數(shù)是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】C【提示】先化簡，再比較即可．【詳解】A.∵=1，=-1，∴≠，故不符合題意；B.∵=-1，=1，∴≠，故不符合題意；C.∵=-1，=-1，∴=，故符合題意；D.∵=，=，∴≠，故不符合題意；故選C．【點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值，有理數(shù)的大小比較，正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小．正確化簡各數(shù)是解答本題的關鍵．【變式12-2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？寄M預測）若x、y、z是三個連續(xù)的正整數(shù)，若x2＝44944，z2＝45796，則y2＝（

）A．45369 B．45371 C．45465 D．46489【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算求出x、y即可解答．【詳解】解：∵x、y、z是三個連續(xù)的正整數(shù)，∴y=x+1，∵x2＝44944=2122，∴x=212，∴y=213，∴y2=2132=45369，故選：A．【點撥】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運算是解答的關鍵．【變式12-3】（2023·山東東營·一模）的相反數(shù)是（

）A．－1 B．1 C．－2023 D．2023【答案】B【提示】先計算，然后根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴的相反數(shù)是1．故選：B．【點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方法則，相反數(shù)的定義，掌握乘方法則是解題的關鍵．題型13乘方的應用【例13】（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過在繩子上打結來計數(shù)．即“結繩計數(shù)”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（

）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【答案】B【提示】根據(jù)題意以及圖形提示，根據(jù)滿七進一，即可求解．【詳解】解：繩結表示的數(shù)為故選B【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解“滿七進一”是解題的關鍵．【變式13-1】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）有一張厚度是0.1mm的紙，將它對折20次后，其厚度可表示為（

）mmA． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，找出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：對折1次厚度為：mm；對折2次厚度為mm；對折3次厚度為mm；……依次規(guī)律即可得到對折20次后，厚度為mm，故選：C【點撥】本題考查了乘方的意義，根據(jù)折紙的過程找出規(guī)律是解題的關鍵．【變式13-2】（2023·陜西西安·模擬預測）《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完，若按此方式截一根長為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長度是．【答案】【提示】根據(jù)題意依次每一天剩余木棍的長度，即可求得第4天截取后木棍剩余的長度．【詳解】解：第一天截取后剩：（米）；第二天截取后剩：（米）；第三天截取后剩：（米）；第四天截取后剩：（米）；故答案為：．【點撥】本題考查了有理數(shù)乘方，掌握有理數(shù)乘方的意義及性質(zhì)，理解題意寫出算式是解題關鍵．【變式13-3】（2023·河北滄州·?？寄M預測）若，則．【答案】1，0，－2【提示】根據(jù)，的偶次方根為1，非零實數(shù)的0次冪等于1，即可求出答案.【詳解】解：∵，又∵，的偶次方根為1，非零實數(shù)的0次冪等于1，當時，則；當時，則；當時，則，此時為偶數(shù)，∴；∴m的值為：1，0，－2；故答案為：1，0，－2.【點撥】本題考查了乘方的運算，解題的關鍵是熟練掌握乘方等于1的式子.考點三科學記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點）相關概念概念補充與拓展科學記數(shù)法科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．用科學記數(shù)法表示數(shù)時，確定a，n的值是關鍵當原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1當原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.小技巧：1萬=104，1億=1萬*1萬=108近似數(shù)近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字11.含有萬、億等單位的數(shù)，用科學記數(shù)法表示時，要先還原成原數(shù)，再用科學記數(shù)法表示，最后按要求取近似值.2.科學記數(shù)法的表示的數(shù)a×10n還成成原數(shù)時，n＞0時，小數(shù)點就向右移動n位得到原數(shù)；n<0時，小數(shù)點則向左移動|n|位得到原數(shù).3.對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結果一般用科學記數(shù)法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結果是3.6×105.4.用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字.例如：4.0×104的有效數(shù)字是4，0.題型01用科學記數(shù)法表示數(shù)【例1】（2023·四川成都·中考真題）2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第五十六顆北斗導航衛(wèi)星．北斗系統(tǒng)作為國家重要基礎設施，深刻改變著人們的生產(chǎn)生活方式．目前，某地圖軟件調(diào)用的北斗衛(wèi)星日定位量超億次．將數(shù)據(jù)億用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：億．故選：D．【點撥】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關鍵．【變式1-1】（2023·貴州·中考真題）據(jù)中國經(jīng)濟網(wǎng)資料顯示，今年一季度全國居民人均可支配收入平穩(wěn)增長，全國居民人均可支配收入為10870元．10870這個數(shù)用科學記數(shù)法表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】將10870寫成的形式，其中，n為正整數(shù)．【詳解】解：，故選：B．【點撥】本題考查科學記數(shù)法，解題的關鍵是掌握中，n與小數(shù)點移動位數(shù)相同．【變式1-2】（2023·湖北武漢·中考真題）新時代十年來，我國建成世界上規(guī)模最大的社會保障體系．其中基本醫(yī)療保險的參保人數(shù)由5.4億增加到13.6億，參保率穩(wěn)定在95%．將數(shù)據(jù)13.6億用科學記數(shù)法表示為的形式，則的值是（備注：1億＝100000000）．【答案】9【提示】將13.6億=寫成（，n為整數(shù)）的形式即可．【詳解】解：13.6億==．故答案為9．【點撥】本題主要考查了科學記數(shù)法，將原數(shù)寫成（，n為整數(shù)）的形式，確定a和n的值是解答本題的關鍵．【變式1-3】（2023·山東東營·中考真題）我國古代數(shù)學家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于0.0000003，將0.0000003用科學記數(shù)法可以表示為．【答案】【提示】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：0.0000003用科學記數(shù)法表示為．故答案為：．【點撥】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．題型02求一個數(shù)的近似數(shù)【例2】（2022·山東濟寧·中考真題）用四舍五入法取近似值，將數(shù)0.0158精確到0.001的結果是（

）A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02【答案】B【提示】利用四舍五入的方法，從萬分位開始四舍五入取近似值即可．【詳解】解：0.0158≈0.016．故選：B．【點撥】本題主要考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，正確利用四舍五入法取近似值是解題的關鍵．【變式2-1】（2021·山東濰坊·中考真題）第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，山東省常住人口約為10152.7萬人，將101527000用科學記數(shù)法（精確到十萬位）（

）A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109【答案】C【提示】先用四舍五入法精確到十萬位，再按科學記數(shù)法的形式和要求改寫即可．【詳解】解：故選：C【點撥】本題考查了近似數(shù)和科學記數(shù)法的知識點，取近似數(shù)是本題的基礎，熟知科學記數(shù)法的形式和要求是解題的關鍵．【變式2-2】（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）用四舍五入法把某數(shù)取近似值為，精確度正確的是（

）A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬分位 D．精確到千分位【答案】D【提示】將數(shù)還原后，原數(shù)最后一個數(shù)字2所在的位置即是該數(shù)精確的位置．【詳解】解：=0.052，故選：D．【點撥】此題考查數(shù)的精確度，正確將科學記數(shù)法表示的數(shù)還原是解題的關鍵．考點四實數(shù)比較大小實數(shù)比較大小的6種基礎方法：1.數(shù)軸比較法:將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.2.類別比較法:正數(shù)大于零；負數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。?.作差比較法:若a，b是任意兩個實數(shù)，則①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b4.平方比較法：①對任意正實數(shù)a，b，若a2>b2a>b②對任意負實數(shù)a，b，若a2>b2a<b5.倒數(shù)比較法：若1/a>1/b，ab>0，則a<b 6.作商比較法：1)任意實數(shù)a，b，a/b=1a=b2)任意正實數(shù)a，b，a/b>1a>b,a/b<1a>b3)任意負實數(shù)a，b，a/b>1a<b,a/b<1a>b題型01利用數(shù)軸法比較實數(shù)大小【例1】（2023·湖北黃石·中考真題）實數(shù)a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則它們的大小關系是（

）

A． B． C． D．無法確定【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)求解即可．【詳解】解：由圖可知，，故選：C．【點撥】本題考查利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)是解答的關鍵．【變式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征得到有理數(shù)的大小關系，逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：由有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置可知，且，則A.由可知錯誤，不符合題意；B.由、得到且，可知錯誤，不符合題意；C.由題意可知，可知錯誤，不符合題意；D.由得到，從而，即正確，符合題意，故選：D．【點撥】本題考查數(shù)軸的特征及數(shù)大小的比較，熟練掌握數(shù)軸的特征是解決問題的關鍵．題型02利用類比法比較實數(shù)大小【例2】（2022·遼寧阜新·中考真題）在有理數(shù)，，0，2中，最小的是（）A． B． C．0 D．2【答案】B【提示】根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法：正數(shù)負數(shù)，負數(shù)絕對值大的反而小，進行比較即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴最小的是，故選：B．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，解題的關鍵是掌握有理數(shù)大小比較的方法：正數(shù)負數(shù)，負數(shù)絕對值大的反而小．【變式2-1】（2023·浙江金華·中考真題）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)有理數(shù)的大小比較，即可作出判斷．【詳解】解：，故溫度最低的城市是哈爾濱，故選：A．【點撥】本題考查了有理數(shù)的大小比較的知識，解答本題的關鍵是掌握有理數(shù)的大小比較法則．【變式2-2】（2023·湖南益陽·中考真題）四個實數(shù)，0，2，中，最大的數(shù)是（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【提示】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則，即可求解．【詳解】解：∵，∴最大的數(shù)是2．故選：C【點撥】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)的大小比較法則是解題的關鍵．題型03利用作差法比較實數(shù)大小【例3】（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知，，，試比較與的大?。∪A：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較與的大小．小華：∵，∴．老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）【答案】(1)(2)【提示】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，．故答案為：．【點撥】本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．【變式3-1】（2023·山西臨汾·一模）閱讀理解下面內(nèi)容，并解決問題.用求差法比較大小學習了不等式的知識后，我們根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個數(shù)或式子的大小可以通過求它們的差來判斷．如果兩個數(shù)或式子為和，那么當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有．反過來也正確，即當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有．因此，我們經(jīng)常把要比較的對象先數(shù)量化，再求它們的差，根據(jù)差的正負判斷對象的大?。@種比較大小的方法被稱為“求差法”．例如：已知，比較與的大?。猓骸?，∴，，，∴，∴．“求差法”的實質(zhì)是把兩個數(shù)（或式子）的大小判斷的問題，轉化為一個數(shù)（或式子）與0的大小比較的問題．一般步驟為①作差；②變形；③判斷符號；④得出結論．請解決以下問題：(1)用“”或“”填空：______．(2)制作某產(chǎn)品有兩種用料方案，方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；已知型鋼板的面積比型鋼板的面積大，若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，則從省料的角度考慮，應選哪種方案？并說明理由．(3)已知，比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)應選方案，理由見解析(3)當時，；當時，；當時，．【提示】（1）利用求差法進行大小比較即可；（2）先表示方案的面積，再表示方案的面積，最后求差比較方案和方案的大小即可；（3）利用求差法分情況討論即可得到正確的結論．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）解：∵若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，∴方案的面積為：；方案的面積為：，∴，∵型鋼板的面積比型鋼板的面積大，∴，∴，∴方案省料．（3）解：∵，∵，∴①當，即時，，∴，∴②當，即時，，∴，∴③當，即時，，∴，綜上可知：當時，；當時，；當時，．【點撥】本題考查了求差法比較實數(shù)的大小，整式的加減，讀懂閱讀材料是解題的關鍵．題型04利用作商法比較實數(shù)大小【例4】作商比較法的理論依據(jù)是，，若，則；若，則；若，則．請用作商法比較與的大?。敬鸢浮俊咎崾尽坑贸?，結果與1比較大小即可．【詳解】解：，，，．【點撥】本題考查作商法比較二次根式的大小，解題的關鍵是掌握二次根式的性質(zhì)及乘除運算法則．【變式4-1】若a＞0，b＞0，且，則a＞b；若a＜0，b＜0，且，則a＜b．以上這種比較大小的方法，叫做作商比較法．試利用作商比較法，比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻恳驗?，，，所以題型05利用平方法比較實數(shù)大小【例5】（2023·四川甘孜·中考真題）比較大?。海ㄌ睢?gt;”“=”或“<”）【答案】【提示】一個無理數(shù)和一個整數(shù)比較大小，可以采取把兩個數(shù)先分別平方，再來比較平方后的兩個數(shù)的大小，進而得到答案.【詳解】解：∵，22=4,∴5＞4∴＞4.故填＞.【點撥】本題主要考查了無理數(shù)比較大小的方法,對比較大小的數(shù)同時進行平方運算后,化為我們熟悉的整數(shù)再比較大小.【變式5-1】（2022·山東臨沂·中考真題）比較大小：（填“”，“”或“”）．【答案】【提示】根據(jù)實數(shù)大小比較解答即可．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．【點撥】此題考查實數(shù)大小的比較，關鍵是根據(jù)實數(shù)大小比較解答．【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考模擬預測）比較大?。海ㄌ睢?gt;”，“=”或“<”）【答案】>【提示】先利用平方法比較它們的絕對值的大小，再根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可比較．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故答案為：>．【點撥】本題考查實數(shù)的大小比較，掌握平方法是解題關鍵．題型06利用其它方法比較實數(shù)大小【例6】（2023·江蘇揚州·中考真題）已知，則A.B.c的大小關系是(

)A． B． C． D．【答案】C【提示】由，，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：C．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術平方根．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．【變式6-1】（2022·西藏·中考真題）比較大?。?．（選填“＞”“＜”“＝”中的一個）【答案】＜【提示】利用平方法比較兩數(shù)大小關系．【詳解】解：∵7＜9，∴＜，即＜3，故答案為：＜．【點撥】本題考查實數(shù)比較大?。懈柕膶崝?shù)在比較大小時，通常采用平方法進行比較．【變式6-2】（2023·陜西西安·一模）比較大小：（填“＞”，“＜”或“=”）【答案】【提示】根據(jù)無理數(shù)的大小估算得出，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，估算出的大小是解題的關鍵．【變式6-3】（2023·陜西西安·一模）比較大?。?．（填“”“”或“”）【答案】【提示】運用作差法進行比較大小即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，運用作差法是解題的關鍵．其它比較實數(shù)大小的方法1.取近似值法：通過估算，將無理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個實數(shù)的大小.這里需要我們記住三個常用的近似值:√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.2362.添加根號法：如果兩個數(shù)都是正數(shù)，且一個帶根號.一個不帶根號時，可以將不帶根號寫成帶根號的形式根據(jù)“兩個正無理數(shù)，被開方數(shù)大的那個數(shù)大”，即可與另一個含根號的數(shù)比較大小.3.放縮法：將一個實數(shù)取比它大的整數(shù)，而另一個實數(shù)取比它小的整數(shù)，通過這兩個整數(shù)的大小即可比較兩個實數(shù)的大小.（例如：比較√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5∴√3<2.5）考點五平方根、算術平方根、立方根相關概念概念補充與拓展算術平方根如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根.記為√a，a叫做被開方數(shù).正數(shù)只有一個算術平方根，且恒為正；0的算術平方根為0；負數(shù)沒有算術平方根平方根如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).0的算術平方根為0；負數(shù)沒有算術平方根.立方根如果一個數(shù)的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)常見實數(shù)的平方根與立方根：實數(shù)的非負性及性質(zhì)：1.在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).2.非負數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|≥0；②任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即a2≥0③任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即a≥03.非負數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負數(shù)有最小值零；②非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；③幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于01.1.一個正數(shù)a的算數(shù)平方根用符號表示為√a，一個非負數(shù)a的平方根用符號表示為±√a；一個數(shù)a的立方根用符號表示為3√a2.0的算術平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.有時候題目會故意沒有把√a去根號，這時候就要注意千萬不要把√a的平方根當作a的平方根，要先把√a去根號，再求平方根．（如：例3）題型01求一個數(shù)的算術平方根【例1】（2023·甘肅武威·中考真題）9的算術平方根是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】由，可得9的算術平方根．【詳解】解：9的算術平方根是3，故選C【點撥】本題考查的是算術平方根的含義，熟練的求解一個數(shù)的算術平方根是解本題的關鍵．【變式1-1】（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（）A．9的平方根 B．9的算術平方根 C．9的立方根 D．5的算術平方根【答案】B【分析】根據(jù)算術平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵面積等于邊長的平方，∴面積為9的正方形，其邊長等于9的算術平方根．故選B．【點撥】本題考查了算術平方根的意義，一般地，如果一個