人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊)學(xué)案：3.4函數(shù)的應(yīng)用

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會常見函

關(guān)系和規(guī)律的重要性.數(shù)的變化異同，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)

2.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題.學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)知識探究

新知探究

A情境引入

隨著經(jīng)濟和社會的發(fā)展，汽車已逐步成為人們外出的代步工具.下面是某地一汽車

銷售公司對近三年的汽車銷售量的統(tǒng)計表：

年份201520162017

銷量/萬輛81830

結(jié)合以上三年的銷量及人們生活的需栗，2018年初，該汽車銷售公司的經(jīng)理提出

全年預(yù)售43萬輛汽車的遠(yuǎn)大目標(biāo)，經(jīng)過全體員工的共同努力，2018年實際銷售

44萬輛，圓滿完成銷售目標(biāo).

問題1在實際生產(chǎn)生活中，對已收集到的樣本數(shù)據(jù)常采用什么方式獲取直觀信

息？

問題2如果我們分別將2015,2016,2017,2018年定義為第一、二、三、四年，

現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)型/(x)=ax2+0x+c(aW0),一次函數(shù)模型g(x)=

ax+6(aW0),哪個模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關(guān)系？

問題3依照目前的形勢分析，你能預(yù)測一下2019年，該公司預(yù)銷售多少輛汽車

嗎？

提示L建立函數(shù)模型.2.通過計算二次函數(shù)能更好地反映該公司中的年銷

量32019年，該公司預(yù)銷售60萬輛汽車.

A知識梳理

1.常見的函數(shù)模型

一次函數(shù)模型y=kx+b(k,人為常數(shù)，左W0)

常見函

二次函數(shù)模型y=ax2+bx-\-c（a,b,c為常數(shù)，

數(shù)模型

募函數(shù)模型y=axa+b（a,6為常數(shù)，a手0,ct#l）

2.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

(1)利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進(jìn)行:

(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.

(2)這些步驟用框圖表示如圖：

分析、聯(lián)想、

實際問題建立函數(shù)模型

抽象、轉(zhuǎn)化

數(shù)

問

學(xué)

題

解

解

答

決

轉(zhuǎn)譯

實際問題結(jié)論數(shù)學(xué)問題結(jié)論

拓展深化

『微判斷』

1.當(dāng)X每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是X的一次函數(shù).(J)

2.在某種

金屬材料的耐高溫實驗中，溫度＞(℃)隨著時間/(min)變化的情況由計算機記錄后

顯示的圖象如圖所示.判斷下列說法的正誤：

(1)前5分鐘溫度增加越來越快.(X)

⑵前5分鐘溫度增加越來越慢.(J)

(3)5分鐘后溫度保持勻速增加.(X)

(4)5分鐘后溫度保持不變.(V)

『微訓(xùn)練』

1.一個矩形的周長是40,矩形的長y關(guān)于寬x的函數(shù)『解析』式為.

『解析』由題意可知2y+2x=40,即y=20—x,易知0<xW10.

『答案』y=20—x(0<xW10)

2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增

加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)。的函數(shù)，K(Q)=40Q—右。，則總利潤

L(。)的最大值是萬元.

『解析』L(Q)=40Q—泉2—I。?！?000=—梟2+30Q—2000=一4(。一

300)2+2500,當(dāng)Q=300時，L(Q)的最大值為2500萬元.

『答案』2500

『微思考』

一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、募函數(shù)模型的選取的標(biāo)準(zhǔn)是什么？它們的增長速

度是如何變化的？

提示一次函數(shù)模型丁=依+優(yōu)左>0)增長特點是直線上升，增長速度不變.

二次函數(shù)模型丁=以2+笈+c(qW0)的最值容易求出，常常用于最優(yōu)、最省等最值

問題，募函數(shù)y=ax"+6(x>0,n>Q,a>0)隨x的增大而增大，但增長的速度相對

平穩(wěn)，圖象隨〃的變化而變化.

課堂互動題型剖析

題型一一次函數(shù)模型

『例U為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費

方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時

間式分)與通話費用y(元)的關(guān)系如圖所示.

8(30,35)

4040

3()3()

2()20

1010

2044)以分)2044)雙分)

⑴分別求出通話費用V，”與通話時間X之間的函數(shù)『解析』式;

⑵請幫助用戶計算在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜.

解(1)由圖象可設(shè)yi=Mx+30(%W0),(近W0),把點3(30,35),C(30,

15)分別代入yi=Hx+30,y2=kix,得匕=:,

.,.yi=/x+30(x20),y2=1x(x^0).

(2)令yi=y2,即/+30=；x,則x=90.

當(dāng)x=90時，yi=y2,兩種卡收費一致；當(dāng)0Wx<90時，yi>yi,使用便民卡便宜；

當(dāng)x>90時，yi<y2,使用如意卡便宜.

規(guī)律方法在用函數(shù)刻畫實際問題時，除了用函數(shù)『解析』式刻畫外，函數(shù)圖象

也能夠發(fā)揮很好的作用，因此，應(yīng)注意提高讀圖的能力.

『訓(xùn)練1J某長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)

量的行李.若超過規(guī)定的質(zhì)量，則需購買行李票，行李費用y（元）

是行李質(zhì)量（）的一次函數(shù)，其圖象如圖所示.

xkg僅）8。%（kg）

（1）根據(jù)圖象數(shù)據(jù)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量是多少？

解（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為了=履+。

由圖象可知，當(dāng)x=60時，y=6；

當(dāng)x=80時，y=10.

'6Qk+b=6,i

所以,解得左=三，b=—6.

180左+匕=10.5

1

尹一6,x>30,

所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

。0W%W30.

（2）根據(jù)題意，當(dāng)y=0時,04W30.

所以旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量為30kg.

題型二哥函數(shù)與二次函數(shù)模型

『例2』（1）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x（萬元）與藥品

利潤y（萬元）存在的關(guān)系為丁=y（。為常數(shù)），其中x不超過5萬元.已知去年投入

廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預(yù)計今

年藥品利潤為.萬元.

『解析』由已知投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，代入丁=產(chǎn)

中，即3a=27,解得a=3,故函數(shù)關(guān)系式為丁=一.所以當(dāng)x=5時，y=125.

『答案』125

(2)商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價的一次函數(shù)，標(biāo)價越高,

購買人數(shù)越少.把購買人數(shù)為零時的最低標(biāo)價稱為無效價格，已知無效價格為每件

300元.現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標(biāo)價)出

售.問：

①商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價應(yīng)定為每件多少元？

②通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤

的75%,那么羊毛衫的標(biāo)價為每件多少元？

解①設(shè)購買人數(shù)為〃人，羊毛衫的標(biāo)價為每件x元，利潤為y元，

則無￡(100,300J,n=kx+b(k<0),'：0=300k+b,即6=—300左，300).

???利潤y=(龍一100)-x—300)=左(x—200)2—10000-xG(100,300J),

：■左<0,?*?JV=200時，ymax=-10000左，

即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價應(yīng)定為每件200元.

②由題意得k(x-100)(%-300)=-10000k75%,

X2-400X+37500=0,解得x=250或x=150,

所以，商場要獲取最大利潤的75%,每件標(biāo)價為250元或150元.

規(guī)律方法1.幕函數(shù)應(yīng)用的常見題型

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

2.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點

(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型『解析』式后，可利用配方法、判別式法、

換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料

最省等最值問題.

(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符.

『訓(xùn)練2』據(jù)市場分析，煙臺某海鮮加工公司，當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時，

月生產(chǎn)總成本y(萬元)可以看成月產(chǎn)量M噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時，月

總成本為20萬元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時，月總成本最低為17.5萬元，為二次函數(shù)

的頂點.

(1)寫出月總成本M萬元)關(guān)于月產(chǎn)量M噸)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元，那么月產(chǎn)量為多少時，可獲最大利潤？

解(1)設(shè)y=o(x—15)2+17.5(aW0),將x=10,y=20代入上式，得20=25a+17.5,

解得。=告.

所以15>+17.5(10W%W25).

(2)設(shè)最大利潤為Q(x),

則Q(x)=1.6x—y=1.6x—木(%—15)2+17.5

=一七(X—23產(chǎn)+12.9(10^^25).

所以月產(chǎn)量為23噸時，可獲最大利潤12.9萬元.

題型三分段函數(shù)模型

『例3』經(jīng)市場調(diào)查，某城市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的日銷售量(件)

與價格(元)均為時間/(天)的函數(shù)，且日銷售量近似滿足g(/)=80—2/(件)，價格近

r1

15+m(0W/W10),

似滿足于足)=<(元).

25一夕(10VW20)

⑴試寫出該種商品的日銷售額y與時間/(0W/W20)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.

解(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：

T+10/+1200(0W/W10),

V2—90。+2000(10<?<20).

(2)由(1)知①當(dāng)0W/W10時，y=-/2+10t+l200=

—Q—5)2+1225,

函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為f=5,該函數(shù)在/?『0,51單調(diào)遞增，在/?(5,

10］單調(diào)遞減，

.“max=1225(當(dāng)t=5時取得)，ymin=l200(當(dāng)t=0或10時取得)；

②當(dāng)10VW20時，y=p—90f+2000=0—45)2—25,

函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為/=45,該函數(shù)在/?(10,20J單調(diào)遞減，.?.ymaxMl

200(當(dāng)t=10時取得),ymin=600(當(dāng)t=20時取得).

由①②知ymax=l225(當(dāng)t=5時取得)，ymin=600(當(dāng)r=20時取得).

所以該種商品日銷售額的最大值為1225元，最小值為600元.

規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點

（1）分段函數(shù)的“段”一定栗分得合理，不重不漏.

（2）分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

（3）分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

『訓(xùn)練3』某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價格P（元）與時間/（PN+）（天）的函數(shù)

關(guān)系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內(nèi)日銷售量。（件）與時間您?N+）（天）

之間的關(guān)系如下表：

〃天5102030

。/件35302010

⑴根據(jù)提供的圖象（如圖），寫出該商品每件的銷售價格P與

時間/的函數(shù)關(guān)系式；

⑵根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，寫出日銷售量Q與時間t的一個函

數(shù)關(guān)系式；

（3）求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第

幾天（日銷售金額=每件的銷售價格X日銷售量）.

解（1）由已知可得:

f+20,0<Z<25,/?N+,

.-r+100,25W/W30,PN+

⑵日銷售量。與時間/的一個函數(shù)式為

Q=—/+40(0<W30,/GN+),

(3)由題意

—一(r-io)2+900,0</<25,f?N+,

1(r-70)2—900,25W/W30,PN+.

當(dāng)0</<25,t—10時，ymax=900,

當(dāng)25WW30,7=25時，>ax=(25-70)2-900=1125.

???當(dāng)?shù)?5天時，該商品日銷售金額的最大值為1125元

素養(yǎng)達(dá)成逐步落實

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)會用函數(shù)模型解決實際問題，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.建立數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的主要方法，數(shù)學(xué)建模一般分為識模、析模、建

模、解模、驗?zāi)Ｎ鍌€步驟.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

L一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km,則這輛汽車行駛的路程y(km)

與時間/(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=2tB.y=120/

C.y=21Q20)D.y=120?20)

『解析』因為90min=1.5h,所以汽車的速度為180勺.5=120(km/h),則路程

y(km)與時間/(力)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=120/(f20).

『答案』D

2.網(wǎng)上購鞋常?？吹较旅孢@樣一張表，第一行可以理解為腳的長度，第二行是我

們習(xí)慣稱呼的“鞋號”

中國鞋碼

實際標(biāo)準(zhǔn)220225230235240245250255260265

(mm)

中國鞋碼

習(xí)慣叫法34353637383940414243

(號)

習(xí)慣稱為“30號”的童鞋，對應(yīng)的腳實際尺寸為多少毫米()

A.150B.200

C.180D.210

『解析』設(shè)腳的長度為ymm,對應(yīng)的鞋碼為x碼.則y=5x+50,當(dāng)x=30時，

>=5X30+50=200.故選B.

『答案』B

3.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象

如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量的收入是()

收入(元)

130()

80()