第9講基本不等式9種常見題型

第9講基本不等式9種常見題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：重要不等式若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；考點(diǎn)二：基本不等式若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．考點(diǎn)三：幾個常見重要的不等式①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).【題型目錄】題型一：直接利用基本不等式求最值題型二：“1”的代換，乘1法題型三：常規(guī)湊配法題型四：換元法題型五：消參法題型六:雙換元題型七：齊次化題型八：和、積、平方和的轉(zhuǎn)化題型九：多選題【典型例題】題型一直接利用基本不等式求最值【例1】（2021·湖南邵陽市）若正實數(shù)滿足.則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即xy的最大值為故選：B【例2】（2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)）已知，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，整理得，即.所以的最大值為.故選：D.【題型專練】1.（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測（理））若x，y為實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立.故選：C．2.（2022·河南河南·三模（理））已知二次函數(shù)（）的值域為，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【詳解】由于二次函數(shù)（）的值域為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：B題型二“1”的代換，乘1法1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．【例1】（2021·上海市大同中學(xué)）設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為_______.【答案】【解析】因為為正數(shù)，且，所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號即的最小值為4.故答案為：4【例2】（2021·河北石家莊市）已知，且，則的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】B【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號.故選：B.【例3】（2021·北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué)）已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，有最小值.故選：B.【例4】（2021·浙江高一期末），，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，因為不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以【例5】（2021·浙江）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式恒成立化為恒成立，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，所以的最大值為.故選：C【例6】若，，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.【例7】若是正實數(shù)，且，則的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.【例8】設(shè)，，則的最小值是．【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)當(dāng)時，【題型專練】1.（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】依題意可得，則，再由乘“1”法及基本不等式計算可得；【詳解】解：由，且，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故選：C2.（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對已知條件和要求最值的代數(shù)式恒等變形之后應(yīng)用均值不等式即可求解【詳解】因為，，所以，又所以當(dāng)且僅當(dāng)即，時，取等號所以故選：A3.（2022·四川·石室中學(xué)三模（文））已知，且，則的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【答案】B【解析】【分析】將中分子1替換為a+b，將中分子8替換為8(a+b)，化簡即可利用基本不等式求該式子的最小值．【詳解】由已知，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．因此，的最小值是50．故選：B．4.（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】9【解析】【分析】由得，則，展開利用基本不等式可求得最值.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故的最小值為9.故答案為：95.（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，，，則的最小值為______．【答案】.【解析】【分析】兩次運(yùn)用“1”進(jìn)行整體代換，結(jié)合基本不等式，即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，故答案為：.6．（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】由題得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【詳解】解：由題得，所以.(當(dāng)且僅當(dāng)時取等)因為，所以的最小值為4.故答案為：4題型三常規(guī)湊配法【例1】（2021·云南壯族苗族自治州）已知，函數(shù)的最小值為（）A．4 B．7 C．2 D．8【答案】B【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最小值為7.故選：B【例2】（2021·安徽省泗縣第一中學(xué)）函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A．【例3】若對任意，恒成立,則的取值范圍是__________.【答案】【解析】，因，所以【例4】設(shè)，則的最小值是（A）2（B）4（C）（D）5【答案】【解析】原式【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時，有最大值.故選：A【題型專練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用給定條件確定，變形并借助均值不等式求解即得.【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：D3.（2022·上海·高三專題練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】3【解析】【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值.【詳解】由題意，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.題型四換元法【例1】（2021·永豐縣永豐中學(xué)高一期末）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，設(shè)，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B【例2】（2021·全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小值是___________.【答案】4【解析】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.所以函數(shù)的最小值是4.故答案為：4題型五消參法消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！【例1】已知，則的最小值是．【答案】【解析】因，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號【例2】若實數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】因，所以，所以，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號【題型專練】1.（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）若直線過點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)代入直線方程可得，將平方，結(jié)合均值不等式可得答案.【詳解】直線過點(diǎn)，則又，設(shè)，則由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，即所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用可得，根據(jù)基本不等式最值成立的條件可得，代入可得關(guān)于的二次函數(shù)，利用單調(diào)性求最值即可.【詳解】由正實數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值是1．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了最值取得時等號成立的條件，屬于中檔題.3.（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)變形得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故選：B.題型六雙換元若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系．【例1】若，且，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因此因所以【例2】已知，求的最大值.【答案】【解析】設(shè)，則，因此因所以【例3】（2022·浙江省江山中學(xué)高三）設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】法一：設(shè)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；法二：由題知進(jìn)而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解：法一：（基本不等式）設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設(shè)，即，由于，，故，解得所以，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：D.【題型專練】1.（2022·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案?！驹斀狻坑深}意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．【答案】．【解析】【詳解】試題分析：令，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值是．考點(diǎn)：基本不等式求最值．【思路點(diǎn)睛】用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值．在求條件最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件．3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為_________【答案】【解析】【分析】令，可得，化簡可得，再結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，化簡得出利用基本不等式求解.4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意，若，則；又由，則有，則；當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即的最小值是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查了基本不等式，關(guān)鍵是根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)，配湊基本不等式的條件，基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．(2)在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.題型七齊次化齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．【例1】已知，，，則的最小值為．【答案】【解析】，因為，所以【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因為a，b均為正實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取等號，則的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號成立條件是否一致.【題型專練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性可知恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可確定，由此化簡所求式子為；利用，配湊出符合對號函數(shù)的形式，利用對號函數(shù)求得最小值.【詳解】在上單調(diào)遞增，恒成立，，，，，，令，設(shè)，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），，即的最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用對號函數(shù)求解最值的問題，涉及到根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍、分式型函數(shù)最值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出符合對號函數(shù)特點(diǎn)的函數(shù).2.（2022·天津·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】先變形：，再根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號即的最小值為.故答案為：.3.（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知x，y，z為正實數(shù)，且，則的最大值為______．【答案】2【解析】【分析】由已知得，再根據(jù)基本不等式求得，由此可得最大值.【詳解】解：因為，所以，又x，y，z為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最大值為2，故答案為：2.4．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，且，等號成立，故的最小值為，題型八和、積、平方和的轉(zhuǎn)化若出現(xiàn)，其中、、、、因為，可以轉(zhuǎn)化為或，從而求出及的取值范圍．若出現(xiàn)求取值范圍，先將式子因式分解成為形式，再用基本不等式求出最值．【例1】（2022重慶月考）設(shè)，，，則A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，因，所以，即，所以，解得，所以設(shè)，則，所以，，所以因，所以，即，所以，解得，所以【例2】設(shè)求最小值．【答案】【解析】因，所以，即，所以，即，所以【例3】設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是．【答案】【解析】設(shè)，則，即，所以，所以，因，所以，即，所以，即，解得，所以【題型專練】1．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】由題知，進(jìn)而得，再結(jié)合已知得，即可得答案.【詳解】解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立，又a，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立，所以的最大值為.故選：C2.（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足：，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得，再令，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.題型九多選題【例1】（2022·河北張家口·三模）已知，（m是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知等式，利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】由已知得，，解得，當(dāng)時取等號，故A錯誤；，，當(dāng)時取等號，故B正確；，，當(dāng)時取等號，故C正確；對于D，，當(dāng)時取等號，又，且，所以等號取不到，故D錯誤，故選：BC.【例2】（2022·河北·模擬預(yù)測）已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，可得，整理即可判斷B.【詳解】解：對于A，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅