2024內蒙古中考數學二輪專題復習 二次函數與幾何綜合題 類型五 與角度有關的問題（課件）

二次函數與幾何綜合題類型五與角度有關的問題微技能一階例1如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為(1，0)，點A在第一象

限，且AB⊥x軸于點B，若∠AOB＝30°，則點A的坐標為___________.例1題圖(1，

)例2如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(2，0)，點P為直線y＝1上一點，若∠APB＝90°，則點P的坐標為

________________________________．例2題圖(，1)或(，1)例3如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(2，3)，過點A作AB⊥x軸于點B，點C為直線AB上一點，

(1)當OC平分∠AOB時，點C的坐標為_____________；

(2)當∠ACO＝∠AOB時，點C的坐標為____________；

(3)當∠OCB＝2∠A時，點C的坐標為__________________．例3題圖(0，

)(2，)或(2，－)滿分技法1.若所求角度為90°，一般將其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性質求解；2.若所求角度為非特殊角，可通過相關角的和差關系將所求角度轉化為特殊角，再結合銳角三角函數求解；3.若探究角度之間的等量關系，?？紤]將角放在直角三角形中，通過解直角三角形求解．設問突破二階例4如圖，拋物線y＝－

x2＋

x＋3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，拋物線頂點為M，對稱軸與x軸交于點E.一題多設問(1)在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得∠CPB＝90°，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；例4題圖①【思維教練】要使得∠CPB＝90°，根據等角的余角相等，從而過點C作ME的垂線，構造相似三角形，列比例式并求解，或設出點P的坐標，利用坐標表示出線段長，利用勾股定理列等式求解．例4題解圖解：(1)存在．由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x＝3.A(－3，0)，B(9，0)，C(0，3)，如解圖，過點C作CT⊥ME于點T，設點P的坐標為(3，e)，則CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3|，PE＝|e|，∵∠CPB＝90°，∴∠CPT＋∠EPB＝90°.∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，例4題解圖

∴∠EPB＝∠TCP.∵∠CTP＝∠PEB＝90°，∴△CTP∽△PEB，

∴即

，

當e＜0或e＞3時，整理得e2－3e－18＝0，解得e1＝

，e2＝

當0＜e＜3時，整理得e2－3e＋18＝0，方程無解，

綜上所述，點P的坐標為(3，)或(3，)；例4題解圖

(2)已知點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使得∠PCB＝∠PBC，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】由∠PCB＝∠PBC可知，點P為線段BC的垂直平分線與拋物線的交點，作線段BC的垂直平分線SL，利用待定系數法求出SL的解析式，聯立即可求得點P的坐標．(2)存在．由(1)得，點B(9，0)，點C(0，3)，設BC的中點為S，∴BC的中點S的坐標為(，)，如解圖，過點S作SL⊥BC，交x軸于點L，交拋物線于點P，連接AC，此時點P即為所求，∵OC＝3，OA＝3，OB＝9，∴AC＝6，BC＝6，則∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝

BC＝3，

∴＝6，

∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，則點L的坐標為(3，0)，設直線SL的解析式為y＝kx＋t(k≠0)，例4題解圖將點L，S的坐標代入，

得

解得∴直線SL的解析式為y＝

x－3，

聯立

解得

或綜上所述，點P的坐標為(6，3)或(－9，－12)；例4題解圖(3)點P是拋物線上一個動點，連接MP，過點P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，若∠MPQ＝2∠PME，求點P的坐標；【思維教練】由點P的位置不確定，可分點P在點Q下方和點P在點Q上方兩種情況進行討論，當點P在點Q下方時，∠PME＝∠MPQ，不符合題設條件，排除，當點P在點Q上方時，由已知易得PQ∥ME，∠MPQ＋∠PME＝180°，進行求解即可．例4題圖③(3)∵ME∥y軸，PQ∥y軸，∴ME∥PQ.①如解圖，當點P在點Q的下方時，∠PME＝∠MPQ，此時不符合題設條件；②如解圖，設ME交BC于點F，當點P在點Q的上方時，∠PMF＋∠MPQ＝180°，∵∠MPQ＝2∠PMF，∴∠PMF＝60°.當點P在點M的右側時，由(2)知，∠CBO＝30°，∴∠BFE＝60°，例4題解圖例4題解圖∴∠PMF＝∠BFE，∴MP∥FQ.易得直線BC的解析式為y＝－

x＋3，

∴設直線MP的解析式為y＝－

x＋p，

將x＝3代入拋物線方程，得M(3，4)，

將點M(3，4)代入，得－×3＋p＝4，解得p＝5，例4題解圖∴直線MP的解析式為y＝－

x＋5，

聯立

解得

，(舍去)

此時點P的坐標為(6，3)；③如解圖，當點P在點M的左側時，延長MP交x軸于點K，則∠MKE＝30°，∠KME＝60°，例4題解圖

∴KE＝

ME＝4×＝12，∴KO＝KE－OE＝9，∴點K的坐標為(－9，0)，易得直線MK的解析式為y＝

x＋3，∴直線MK與拋物線的交點為點C和點M，即此時點P和點C、Q重合，∠MPQ不存在，∴舍去．綜上所述，點P的坐標為(6，3)；例4題解圖

(4)點P為y軸上一點，連接BP，是否存在點P使得∠OBC＋∠OBP＝45°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【思維教練】根據∠OBC＋∠OBP＝45°可知作線段BC的垂線，構造等腰直角三角形可求出PD的長，再根據面積公式求出點P的坐標，最后根據對稱性可求得另外一點坐標．例4題圖④例4題解圖(4)存在．如解圖，作PD⊥BC交BC于點D，設P(0，n)，由(2)可知點B的坐標為(9，0)，BC＝6，∴PB＝例4題解圖∵∠PBD＝45°，

∴PD＝

PB＝

∵S△BCP＝

BC·PD＝

OB·CP，

∴×6×＝×9×(3－n)，

化簡得n2－18n－81＝0，

解得n1＝9＋18(舍去)，n2＝9－18，∴P(0，9－18)；如解圖，作點P關于x軸的對稱點P1，則∠OBP＝∠OBP1，∴∠OBP1＋∠OBC＝45°，OP1＝OP＝18－9，∴P1(0，18－9)．例4題解圖綜上所述，點P的坐標為(0，9－18)或(0，18－9)．對接中考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝

x2－2x經過坐標原點，與x軸正半軸交于點A，該拋物線的頂點為M，直線y＝－

x＋b經過點A，與y軸交于點B，連接OM.(1)求b的值及點M的坐標；(1)解：∵y＝

x2－2x＝(x－3)2－3，∴頂點M的坐標為(3，－3)．令y＝

x2－2x中y＝0，得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)．∵直線y＝－

x＋b經過點A，∴－3＋b＝0，∴b＝3；(2)將直線AB向下平移，得到過點M的直線y＝mx＋n，且與x軸負半軸交于點C，取點D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM－∠ACM＝45°；(2)證明：∵直線y＝mx＋n由直線y＝－

x＋3平移得到，∴m＝－.∵直線y＝－

x＋n過點M(3，－3)，∴－

＋n＝－3，解得n＝－.∴平移后的直線CM的解析式為y＝－

x－.如解圖，過點D作DH⊥CM于點H，設直線DH的解析式為y＝2x＋k，將點D(2，0)代入，得4＋k＝0，∴k＝－4，∴直線DH的解析式為y＝2x－4.

聯立

解得∴H(1，－2)．∵D(2，0)，H(1，－2)，題解圖∴DH＝.∵M(3，－3)，D(2，0)，∴DM＝

，∴sin∠DMH＝∴∠DMH＝45°.∵∠ACM＋∠DMH＝∠ADM，∴∠ADM－∠AC