2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學二輪專題復習 二次函數(shù)與幾何綜合題 類型一 線段問題（課件）

二次函數(shù)與幾何綜合題類型一

線段問題滿分技法微技能一階例1如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線第一象限內(nèi)一動點，過點P作PH⊥x軸于點H，交直線BC于點Q.例1題圖(2)設點P的橫坐標為t，則點P的坐標可表示為________________，點Q的坐標可表示為____________，點H的坐標可表示為________；(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)(t，0)(1)點A的坐標為__________，點B的坐標為___________，點C的坐標為__________；(－1，0)(3，0)(0，3)例1題圖(3)設點P的橫坐標為t，用含t的代數(shù)式表示下面的距離：①點P到x軸的距離為_____________；②點P到y(tǒng)軸的距離為______________；③點P到對稱軸的距離為____________；④點P到原點O的距離為__________________；⑤PQ的長為___________；

⑥點P到直線BC的距離為______________.－t2＋2t＋3t|t－1|－t2＋3t

例1題圖滿分技法1.與x軸垂直的線段的長：縱坐標相減(上減下);2.與y軸垂直的線段的長：橫坐標相減(右減左);3.斜線段時，可過線段端點分別作x軸、y軸垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函數(shù)值或相似進行求解．設問突破二階例2如圖，已知二次函數(shù)y＝－

x2＋

x＋3的圖象與x軸交于A、B兩點(點B在點A右側(cè))，與y軸交于點C，對稱軸為直線l，頂點為M，連接BC.(1)若點P是拋物線在第一象限內(nèi)一點，過點P作PQ∥y軸交線段BC于點Q，求線段PQ的最大值；【思維教練】設出點P的橫坐標，根據(jù)垂直于x軸的直線的坐標特征，表示出PQ的長度，利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段PQ的最大值．例2題圖①

解：(1)設點P的橫坐標為p，則點P的坐標為(p，－

p2＋

p＋3)，∵PQ∥y軸，∴點Q的橫坐標與點P相同．在函數(shù)y＝－

x2＋

x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－

x2＋

x＋3＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)，例2題圖①設直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(4，0)，C(0，3)代入，

得

解得∴直線BC的解析式為y＝－

x＋3.∴點Q的坐標為(p，－

p＋3)，∴PQ＝－

p2＋

p＋3－(－

p＋3)＝－

p2＋

p＝－(p－2)2＋例2題圖①∵－

＜0，0＜p＜4，∴當p＝2時，PQ有最大值，此時的最大值為

；例2題圖①(2)如解圖，連接PC，PB，由(1)知，PQ＝－(p－2)2＋

，∴S△PCB＝

PQ·OB

＝×[－(p－2)2＋]×4

＝－(p－2)2＋3，(2)若點P是線段BC上方拋物線上一點，過點P作PH⊥BC于點H，求線段PH的最大值；【思維教練】方法一：利用△PCB的面積求出線段PH的最大值；方法二：利用相似三角形求出線段PH的最大值．例2題解圖例2題圖②∵－

＜0，0＜p＜4，∴當p＝2時，S△PCB最大＝3.∵S△PCB＝

BC·PH，且BC＝

＝5，∴×5×PH＝3，解得PH＝

，∴線段PH的最大值為

；例2題解圖(3)若點P是對稱軸l上一點，是否存在點P，使得PC＋PA最小，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】將軍飲馬問題，將兩定點同側(cè)轉(zhuǎn)化異側(cè)問題，即可作點A關(guān)于對稱軸l的對稱點，恰好與點B重合，直線BC與對稱軸l的交點即為要求的點P.例2題圖③(3)存在．由(1)知A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴點A關(guān)于對稱軸l的對稱點的坐標為(4，0)，恰好與點B重合，∴直線BC與對稱軸的交點即為使得PC＋PA最小時點P的位置．由(1)知，直線BC的解析式為y＝－

x＋3，∴當x＝1時，y＝

，

∴點P的坐標為(1，)；例2題圖③(4)要使△BMP的周長最小，由于BM為定值，即使PM＋PB最小即可．如解圖，作點M關(guān)于y軸的對稱點M′，連接BM′交y軸與點P，此時點P滿足△BMP的周長最?。?4)若點P是y軸上一點，當以B、M、P為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標；【思維教練】將軍飲馬問題，當△BMP的周長最小時，由于BM是定值，即求PM＋BM的最小值.例2題解圖例2題圖④例2題解圖二次函數(shù)解析式可化為y＝－

(x－1)2＋

，∴M(1，

)，

∴M′(－1，

)．

∵B(4，0)，∴設直線BM′的解析式為y＝kx＋b，將M′(－1，

)，B(4，0)代入，例2題解圖得

解得

∴直線BM′的解析式為y＝－

x＋

，當x＝0時，y＝

，∴此時點P的坐標為(0，)．(5)對稱軸l上是否存在點P，使點P到直線BC的距離等于點P到點A的距離？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【思維教練】用(2)中的方法表示出點P到直線BC的長，再用勾股定理表示出PA的長，列關(guān)系式求解.例2題解圖(5)存在．如解圖，設直線BC與對稱軸l交于點E，過點P作PQ⊥BC于點Q，由(1)知，A(－2，0)，直線BC的解析式為y＝－

x＋3，例2題圖⑤由(4)知，M(1，)，∴當x＝1時，y＝－

x＋3＝

，∴E(1，)．由(1)知，A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴CO＝3，BO＝4，∴BC＝5.在Rt△COB中，sin∠OCB＝

，例2題解圖例2題解圖∴sin∠PEQ＝設點P的坐標為(1，t)，

∴，解得PQ＝

∵點P到直線BC的距離等于點P到點A的距離，∴PQ＝PA，

∴，解得t＝－4.

∴點P的坐標為(1，－4)．對接中考已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．(1)求拋物線的解析式；解：(1)將A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點代入拋物線y＝ax2＋bx＋c，

得

解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3;(2)如圖①，點P為直線BC上方拋物線上任意一點，連接PC、PB、PO，PO交直線BC于點E，設

＝k，求當k取最大值時點P的坐標，并求此時k的值；(2)如解圖，過點P作PF∥y軸交BC于點F，題圖①F設直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(3，0)，C(0，3)代入，

得

解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.設點P的坐標為(x，－x2＋2x＋3)，則點F的坐標為(x，－x＋3)，∵PF∥y軸，∴△PFE∽△OCE，

∴

∴

∵－1＜0，∴當x＝

時，k取得最大值

，此時點P的坐標為(，)；題圖①F(3)如圖②，點Q為拋物線對稱軸與x軸的交點，點C關(guān)于x軸的對稱點為點D.求△BDQ的周長及tan∠BDQ的值．解圖(3)如解圖，過點Q作QT⊥BD于點T，則∠BTQ＝∠DTQ＝90°，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，∴Q(1，0)，∴OQ＝1，BQ＝OB－OQ＝3－1＝2.∵點C關(guān)于x軸的對稱點為點D，∴D(0，－3)．題圖解圖∵B(3，0)，∴OB＝OD＝3.∵∠BOD＝90°，∴DQ＝

，BD＝