滬科版初中九年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(一)二次函數(shù)表達(dá)式的三種求解方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(一)

二次函數(shù)表達(dá)式的三種求解方法類型一已知圖象上任意三點(diǎn)或三對自變量與函數(shù)的對應(yīng)

值,通常設(shè)一般式1.(2023安徽安慶懷寧一模)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(4,-3)

和(6,-3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)(0,21),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.解析設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,∵二次函數(shù)的圖

象經(jīng)過(4,-3)和(6,-3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)(0,21),∴可列方程組

為

解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-10x+21.2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=1時(shí),y=2;當(dāng)x=2時(shí),y=7;當(dāng)x=-

1時(shí),y=-2,求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.解析根據(jù)題意得

解得

所以該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x-1.3.(2024浙江金華東陽期中)已知y關(guān)于x的二次函數(shù)中,x與y

的部分對應(yīng)值如下表:x-1014y236m(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)求m的值.解析

(1)設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,將(1,6),(-1,

2),(0,3)代入,得

解得

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x+3.(2)當(dāng)x=4時(shí),m=16+8+3=27.4.(2024安徽合肥三十八中月考)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1,-8),且過點(diǎn)(0,-6),求拋物線的表達(dá)式.解析根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2-8.把(0,-6)代

入拋物線表達(dá)式,得a-8=-6,解得a=2,所以拋物線的表達(dá)式是y

=2(x+1)2-8.類型二

已知頂點(diǎn)、對稱軸或最值，通常設(shè)頂點(diǎn)式5.(2024安徽滁州鳳陽月考)拋物線y=a(x+h)2的對稱軸是直線

x=-2,且過點(diǎn)(1,-3).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).解析

(1)∵拋物線y=a(x+h)2的對稱軸是直線x=-2,∴-h=-2,

解得h=2.∴拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)2,∵拋物線過點(diǎn)(1,-3),

∴-3=9a,解得a=-

,∴拋物線的表達(dá)式為y=-

(x+2)2.(2)由(1)可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).6.(2023安徽蚌埠懷遠(yuǎn)月考)已知一個二次函數(shù),當(dāng)x=-1時(shí),該

函數(shù)有最小值2,且它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,6),求這個二次函數(shù)的

表達(dá)式.解析根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)2+2,把(1,6)代

入y=a(x+1)2+2,得6=4a+2,解得a=1,∴y=(x+1)2+2.7.(2023安徽合肥廬陽一模)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相

交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C,AO=BO=2,C(0,-4).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)如圖2,點(diǎn)P為線段CO上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,O重合),過點(diǎn)P作CO

的垂線,與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)),設(shè)PF=m,

PC=d,求d關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式.

圖1

圖2類型三

已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)和圖象上另一個點(diǎn)的坐標(biāo)，通常設(shè)交點(diǎn)式解析

(1)∵OA=OB=2,∴A(-2,0),B(2,0),∴可設(shè)拋物線表達(dá)

式為y=a(x+2)(x-2),將C(0,-4)代入表達(dá)式,得a(0+2)×(0-2)=-4,

解得a=1,∴所求拋物線的表達(dá)式為y=(x+2)(x-2),化為一般式

為y=x2-4.(2)由題意知點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m,且點(diǎn)F在拋物線y=x2-4上,∴F

(m,m2-4),∴P(0,m2-4),∵C(0,-4),∴PC=m2-4-(-4)=m2(0<m<2),

∴d關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式為d=m2(0<m<2).8.(2024河北保定順平期中改編)如圖,已知拋物線與x軸交于

點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)),交y軸于點(diǎn)(0,3),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0),

對稱軸為直線x=-1,頂點(diǎn)為C.連接AC,BC.(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);(2)求△ABC的面積;(3)點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn),若△ABP的面積是△ABC面積的

,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析

(1)因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0),對稱軸為直線x=-1,所以根

據(jù)對稱性,可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0).設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x

+3)(x-1),把(0,3)代入,得a·(0+3)×(0-1)=3,解得a=-1,所以函數(shù)

表達(dá)式為y=-(x+3)(x-1),化為一般式為y=-x2-2x+3.將x=-1代入

函數(shù)表達(dá)式,得y=-1+2+3=4,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,4).(2)因?yàn)锳(-3,0),B(1,0),所以AB=1-(-3)=4,又因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為(-

1,4),所以S△ABC=

×4×4=8.(3)因?yàn)椤鰽BP的面積是△ABC面積的

,所以S△ABP=

×8=4,因?yàn)辄c(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn),所以

×4×