第13講 坐標(biāo)與軸對(duì)稱-2024年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版 學(xué)習(xí)新知）

第13講坐標(biāo)與軸對(duì)稱模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．探索圖形坐標(biāo)變化的過(guò)程；2．了解掌握?qǐng)D形坐標(biāo)變化與圖形軸對(duì)稱之間的關(guān)系；知識(shí)點(diǎn)一．坐標(biāo)系中的平移：（1）將點(diǎn)向右（或向左）平移a個(gè)單位可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)或．（2）將點(diǎn)向上（或向下）平移b個(gè)單位可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)或．總結(jié)：點(diǎn)的左右平移橫坐標(biāo)滿足左減右加，點(diǎn)的上下平移縱坐標(biāo)滿足上加下減．知識(shí)點(diǎn)二．坐標(biāo)系中的對(duì)稱：（1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．總結(jié)：點(diǎn)關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對(duì)稱則哪個(gè)坐標(biāo)不變，另外一個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)．（3）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)．（4）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．（5）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是．（6）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是．（7）點(diǎn)關(guān)于一三象限的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為．（8）點(diǎn)關(guān)于二四象限的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為．考點(diǎn)一：求點(diǎn)沿x軸，y軸平移后的坐標(biāo)例1．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，將點(diǎn)A先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式1-1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）將點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式1-2】（2023下·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)先向向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式1-3】點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到點(diǎn)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為．考點(diǎn)二：關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例2.（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式2-3】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┤酎c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則．考點(diǎn)三：利用軸對(duì)稱求平面直角坐標(biāo)系中線段和最小值問(wèn)題例3.（22-23八年級(jí)上·廣東東莞·期中）如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)P是在x軸上，且使最小，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式3-1】（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，已知，，，作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)；P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式3-2】（23-24八年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，且，在軸上存在一點(diǎn)，連接，，，，使四邊形的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式3-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在y軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

考點(diǎn)四：作圖——軸對(duì)稱變換例4.如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

(1)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，請(qǐng)標(biāo)出點(diǎn)P．【變式4-1】（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形；(2)在圖中，若與點(diǎn)關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，則這條對(duì)稱軸是__________，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；(3)的面積為_(kāi)_________；寫出計(jì)算過(guò)程．【變式4-2】（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)都在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成網(wǎng)格的格點(diǎn)上，的位置如圖所示．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(2)的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________；的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________；(3)求的面積．(4)在軸上求作一點(diǎn)，使的值最小，保留畫圖痕跡，并寫出最小值________．【變式4-3】數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，借助于坐標(biāo)系我們可以研究特殊的對(duì)稱關(guān)系．已知，，、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為、．

(1)寫出的坐標(biāo)___________，的坐標(biāo)___________；(2)寫出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________；(3)寫出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期中）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024七年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為（

）A． B． C．2 D．44．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）在軸上移動(dòng)，且，連接．則的最小值為（

）A． B． C．3 D．5．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B在y軸上，，軸，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，其中點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為M，且交y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（二、填空題6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．7．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則8．（2024·江蘇常州·二模）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．9．（23-24八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，則的面積為．10．（2024七年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上．若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(3)在軸上找到一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，直接寫出這個(gè)周長(zhǎng)的最小值．12．（23-24八年級(jí)下·湖南婁底·階段練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，關(guān)于y軸對(duì)稱圖形為（其中：A與，B與，C與相對(duì)應(yīng)）．(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形．(2)寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求的面積．13．（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、．

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出；(2)若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(3)已知P為x軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的面積．14．（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期中）閱讀下列一段文字，回答問(wèn)題．【材料閱讀】平面內(nèi)兩點(diǎn)，則由勾股定理可得，這兩點(diǎn)間的距離．例如．如圖1，，則．

【直接應(yīng)用】(1)已知，求P、Q兩點(diǎn)間的距離；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，P為x軸上任一點(diǎn)，求的最小值；(3)利用上述兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式的最小值是多少？

第13講坐標(biāo)與軸對(duì)稱模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．探索圖形坐標(biāo)變化的過(guò)程；2．了解掌握?qǐng)D形坐標(biāo)變化與圖形軸對(duì)稱之間的關(guān)系；知識(shí)點(diǎn)一．坐標(biāo)系中的平移：（1）將點(diǎn)向右（或向左）平移a個(gè)單位可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)或．（2）將點(diǎn)向上（或向下）平移b個(gè)單位可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)或．總結(jié)：點(diǎn)的左右平移橫坐標(biāo)滿足左減右加，點(diǎn)的上下平移縱坐標(biāo)滿足上加下減．知識(shí)點(diǎn)二．坐標(biāo)系中的對(duì)稱：（1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．總結(jié)：點(diǎn)關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對(duì)稱則哪個(gè)坐標(biāo)不變，另外一個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)．（3）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)．（4）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．（5）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是．（6）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是．（7）點(diǎn)關(guān)于一三象限的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為．（8）點(diǎn)關(guān)于二四象限的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為．考點(diǎn)一：求點(diǎn)沿x軸，y軸平移后的坐標(biāo)例1．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，將點(diǎn)A先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】讓點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加4，縱坐標(biāo)加6即可得到的坐標(biāo)．【詳解】解：由題中平移規(guī)律可知：的橫坐標(biāo)為；縱坐標(biāo)為；∴的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用坐標(biāo)表示平移．注意左右移動(dòng)改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下移動(dòng)改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，下減上加．【變式1-1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）將點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】點(diǎn)的橫坐標(biāo)減，縱坐標(biāo)減即可得到平移后點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的平移規(guī)律，用到的知識(shí)點(diǎn)為：點(diǎn)的平移，左右平移只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移只改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減．【變式1-2】（2023下·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)先向向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)平移的特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)先向向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到坐標(biāo)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的平移，熟練掌握點(diǎn)平移坐標(biāo)的變化情況是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到點(diǎn)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為．【答案】【分析】將點(diǎn)B反向平移求出點(diǎn)A坐標(biāo)；【詳解】點(diǎn)B（0，2）像上平移2個(gè)單位，向左平移三個(gè)單位后點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4），故A（-3，4）．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的平移規(guī)律，熟練掌握坐標(biāo)中點(diǎn)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例2.（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，即可解答．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同．【變式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C．【變式2-2】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┤酎c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則．【答案】2【分析】根據(jù)若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，解得，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特征，熟練掌握若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：利用軸對(duì)稱求平面直角坐標(biāo)系中線段和最小值問(wèn)題例3.（22-23八年級(jí)上·廣東東莞·期中）如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)P是在x軸上，且使最小，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接交軸于，取，連接，過(guò)點(diǎn)作于D，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，此時(shí)P與重合，利用三角形面積之間的關(guān)系求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接交軸于，取，連接，過(guò)點(diǎn)作于D，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，此時(shí)P與重合，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，已知，，，作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，則點(diǎn)的坐標(biāo)；P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接，再寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可；連接交x軸于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖所示，即為所求；∴如圖所示，∵AB長(zhǎng)度不變，的周長(zhǎng)，∴只要最小即可．∴連接交x軸于點(diǎn)P，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴，∴結(jié)合網(wǎng)格小正方形的特點(diǎn)可得：故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24八年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限角平分線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，且，在軸上存在一點(diǎn)，連接，，，，使四邊形的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了對(duì)稱性—最短路線，涉及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)縱坐標(biāo)得到，則有，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交y軸于D，此時(shí)可得四邊形的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值為，過(guò)E作交的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，∴軸，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交y軸于D，則此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小周長(zhǎng)的值為，過(guò)E作交的延長(zhǎng)線于F，如圖，則，點(diǎn)E和點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，∴，∴，∴最小周長(zhǎng)的值，故答案為：．【變式3-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在y軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作軸于D，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交y軸于H，連接，則，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)推出當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，根據(jù)求出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作軸于D，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交y軸于H，連接，則，∴，∴，∴當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，∵、，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：作圖——軸對(duì)稱變換例4.如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

(1)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，請(qǐng)標(biāo)出點(diǎn)P．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析，(3)見(jiàn)解析【分析】（1）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得答案．（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，再根據(jù)圖寫出點(diǎn)坐標(biāo)即可．（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，連接，此時(shí)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離和最?。驹斀狻浚?）解：（1）與關(guān)于軸對(duì)稱，，點(diǎn)．（2）解：如圖，即為所求，．

（3）解：如圖，點(diǎn)即為所標(biāo)．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形；(2)在圖中，若與點(diǎn)關(guān)于一條直線成軸對(duì)稱，則這條對(duì)稱軸是__________，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；(3)的面積為_(kāi)_________；寫出計(jì)算過(guò)程．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)y軸，(3)【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到點(diǎn)和點(diǎn)B的對(duì)稱軸為y軸，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和割補(bǔ)法求解面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作：

（2）解：如圖，∵，，∴點(diǎn)和點(diǎn)B的對(duì)稱軸為y軸，∵，∴點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：y軸，；（3）解：的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)都在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成網(wǎng)格的格點(diǎn)上，的位置如圖所示．

(1)在圖中畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(2)的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________；的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________；(3)求的面積．(4)在軸上求作一點(diǎn)，使的值最小，保留畫圖痕跡，并寫出最小值________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，(3)12(4)見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫出圖形；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得答案；（3）利用所在的長(zhǎng)方形的面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可；（4）連接，與y軸交于點(diǎn)P，則，可得，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）由（1）知，，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，故答案為：，；（3）；（4）如圖，點(diǎn)P即為所求；最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖軸對(duì)稱變換，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，借助于坐標(biāo)系我們可以研究特殊的對(duì)稱關(guān)系．已知，，、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為、．

(1)寫出的坐標(biāo)___________，的坐標(biāo)___________；(2)寫出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________；(3)寫出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)求解；（2）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)求解；（3）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)求解．【詳解】（1）如圖，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于，∴點(diǎn)，同理：，

（2）∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于，∴點(diǎn)，（3）∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于，∴點(diǎn)，【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形變化一對(duì)稱，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期中）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、判斷點(diǎn)所在的象限，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，然后再根據(jù)橫縱坐標(biāo)的符號(hào)判斷所在象限．【詳解】解：關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)是，所在的象限是第三象限，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)所在的象限是第三象限．故選：．2．（2024七年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，據(jù)此即可求得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱得，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：D3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到，解之即可．【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，∴，故選：D．4．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）在軸上移動(dòng)，且，連接．則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形，對(duì)稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平移使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，即，進(jìn)而得出，再作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，進(jìn)而得出的最小值為，即可求解答案．【詳解】解：如圖，平移使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，即，，，點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在同一條線上時(shí)，最小，，，連接，則的最小值為，故選：B．5．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B在y軸上，，軸，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，其中點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為M，且交y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（【答案】B【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，先證出四邊形是矩形，由點(diǎn)C的坐標(biāo)和軸對(duì)稱變換可證出，再由勾股定理即可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得解，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵，軸，，∴四邊形是矩形，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∴由軸對(duì)稱變換可知，，，又∵，∴，∴，∴在中，∵，∴，∴，∴，故選：B．二、填空題6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)，掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)即可解答．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為．7．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則【答案】1【分析】本題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，以及已知字母的值求代數(shù)式的值，根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反求出m，n的值，然后代入代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，，∴，故答案為：1．8．（2024·江蘇常州·二模）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題主要考查了關(guān)于垂直坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，∴，解得，，∴．故答案為：．9．（23-24八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)解答即可．【詳解】解：∵，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，又∵，∴到的距離為，∴的面積為，故答案為：．10．（2024七年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上．若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】根據(jù)對(duì)稱，性質(zhì)即可，本題考查了對(duì)稱計(jì)算，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則，∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴點(diǎn)A、D關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)B、點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為或，∴點(diǎn)C為或時(shí)，．故答案為：或．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(3)在軸上找到一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，直接寫出這個(gè)周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)，，(2)見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析；周長(zhǎng)最小為【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，作軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意作的各頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，順次連接即可；（3）連接，利用對(duì)稱的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出和的長(zhǎng)，即可求出周長(zhǎng)的最小值．【詳解】（1）解：由平面