2021-2022學年上海市奉賢區(qū)致遠某中學高二（上）期中數(shù)學試卷-附答案詳解

2021-2022學年上海市奉賢區(qū)致遠高級中學高二（上）期

中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共4小題，共20.0分）

1.在長方體4BCD-中，AB=BC=1,44]=如,則異面直線4。1與所

成角的余弦值為（）

A.1B.在C.更D.在

5652

2.如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,Q為所在棱的中

點，則在這四個正方體中，直線4B與平面MNQ不平行的是（）

3.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想

是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（注：素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)）的和"，如30=7+

23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）

A-AB.套C.+D.看

4.已知四棱錐S-48CD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段4B上的點（不含端

點）.設SE與BC所成的角為因,SE與平面4BCD所成的角為。2,二面角S-AB—C的

平面角為。3,則（）

A.<02</B.e3<e2<%c.<03<。2D.e2<e3</

二、單空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.已知圓錐的底面半徑為1,高為次,則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角。的大小為

6.從裝有紅、黑兩種顏色的小球各1個的袋子中任取1個小球，寫出這個隨機試驗的樣

本空間.

7.若圓柱的底面半徑是1,母線長為2,則這個圓柱的體積是.

8.兩個球的體積之比為8：27,那么這兩個球的表面積的比為.

9.甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為0.5,甲不輸?shù)母怕蕿?.8,則甲、乙兩人下成

和棋的概率為.

10.若正方體4BC。-力道停1。1的棱長為1,則異面直線4B與。之間的距離為

11.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

12.已知三棱錐SABC的所有頂點都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面

SCAJ.平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐SABC的體積為9,則球0的表面

積為.

13.已知44cB=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點P到兩邊AC,BC的距離

均為遍，那么P到平面ABC的距離為

14.如圖，在棱長為2的正方體48?！?一48?。［中，E、八G

分別為AB、BC、65的中點.點P在底面48C0內(nèi)，若直

線D】P與平面EFG無公共點，則線段QP的最小值為

15.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直，S4與圓錐底面所成角為30。，若△S4B

的面積為8,則該圓錐的體積為.

16.如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若四邊形

EFG”為平行四邊形，AB=4,CD=6,則四邊形EFGH的

周長的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共76.0分)

17.拋擲3枚硬幣，用H、7分別表示正面與反面.求:

(1)這個隨機試驗的樣本空間；

(2)至少出現(xiàn)兩個反面的概率；

第2頁，共20頁

(3)至少出現(xiàn)一個正面的概率.

18.如圖，在長方體力BCD-&B1GD1中，7為。。1上一點，已

知。7=2,AB=4,BC=2,AAr=6.

(1)求直線7c與平面ABC。所成角的大小(用反三角函數(shù)值

表示)：

(2)求點G到平面47C的距離.

19.如圖1,在三棱柱ABC-A1&G中，已知481AC,AB=AC=1,AAr=2,且4Al1

平面ABC,過4i，G，B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐(如

圖2).

(1)求異面直線BC1與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)；

(2)求四棱錐B-4CC14］的體積和表面積.

20.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PAJ_平面ABCO,底面4BCD為菱形，E為CD的中點.

(1)求證：BDJ_平面PAC；

(2)若N4BC=60。，求證：平面_L平面P4E；

(3)棱PB上是否存在點尸，使得CF〃平面P4E?說明理由.

第4頁，共20頁

21.(1)敘述并證明直線與平面平行的性質(zhì)定理(要求寫出已知、求證、證明過程并畫圖

)：

(2)敘述并證明三垂線定理(要求寫出已知、求證、證明過程并畫圖)；

(3)敘述并證明兩個平面平行的判定定理(要求寫出已知、求證、證明過程并畫圖).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，屬于基礎題.

以。為原點，04為x軸，0C為y軸，。么為Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求

出異面直線4￡>i與所成角的余弦值.

【解答】

解：以。為原點，04為x軸，0C為y軸，D%為z軸，建立空間直角坐標系，

???在長方體4BCD-AiBiGD］中，AB=BC=1,AAr=V3.

???力（1,0,0）,Di（0,0,遮），D（0,0,0）,Bi（l,1,遮）,

砧西=（1,1,b），

設異面直線與OB1所成角為。，

V5

師。小需fs

???異面直線ADi與OB1所成角的余弦值為g

故選C.

2.【答案】A

第6頁，共20頁

【解析】

【分析】

本題考查空間中線面平行的判定定理，屬于中檔題.

利用線面平行判定定理可知B、C、。均不滿足題意，從而可得答案，對4利用反證法可

以證明結(jié)論

【解答】

解：對于選項B,由于結(jié)合線面平行判定定理可知4B〃平面MNQ,故8不

滿足題意；

對于選項C,由于4B〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知4B〃平面MNQ,故C不滿足

題意；

對于選項。，由于4B〃NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知48〃平面MNQ,故。不滿足

題意；

對于選項4,如圖，連接BC,易知8C〃QM,則根據(jù)線面平行判定定理得知BC〃面QNM,

如果48〃面MNQ,又4CC8C=C,所以面ACB〃面QNM,

而事實上Q/V和2C有交點，矛盾，

所以直線AB與平面MNQ不平行

所以選項A滿足題意，

故選A.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關鍵，屬于基

礎題.

利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，再利用古典概型的概率公式進行計算即可.

【解答】

解：在不超過30的素數(shù)中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個,

從中選2個不同的數(shù)有C*=45種，

和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3種,

則對應的概率p=卷=2，

故選：C.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了空間角的計算，三角函數(shù)的應用，屬于中檔題.

作出三個角，表示出三個角的正弦或正切值，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出三個角的

大小.

【解答】

解：,??由題意可知S在底面4BCD的射影為正方形4BCD的中心.

過E作EF〃8C,交CD于F,過底面4BCD的中心。作。N1EF交EF于N,連接SN,

取48中點M,連接SM,OM,OE,則EN=OM,

則％=乙SEN,&=乙SEO,&=NSMO.

顯然，%,名，%均為銳角.

冷冷tan%.,SN>SO,

*,?/N。3，

cncn

又sizi%=sin。2=藐，SENSM,

,，?83-^2*

綜上可知名>03>02.

故選D

5.【答案】n

第8頁，共20頁

【解析】解：圓錐的底面半徑為1,高為遍，則圓錐的母線長為1=1/+（遮）2=2,

圓錐的側(cè)面展開面的弧長為2x。=2?兀?1,解得。=n.

故答案為：n.

首先求出圓錐的母線長，進一步利用弧長公式求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：圓錐的側(cè)面展開面和弧長的關系，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)

換能力及思維能力，屬于基礎題.

6.【答案】0=｛紅,黑｝

【解析】解：隨機試驗的樣本空間0=｛紅，黑｝,

故答案為：0=｛紅，黑｝.

根據(jù)題意列舉出基本事件即可得到樣本空間.

本題考查了隨機事件的基本事件，屬于易做題.

7.【答案】27r

【解析】解：因為圓柱的底面半徑是1,母線長為2,

所以圓柱的體積為V=7TXI2X2=271.

故答案為：27r.

根據(jù)圓柱的體積公式求解即可.

本題考查了空間幾何體的理解與應用，圓柱的體積公式的應用，屬于基礎題.

8.【答案】4：9

【解析】解：設兩個球的半徑分別為r,R,由兩個球的體積之比為8：27,

得到N：R3=8：27,所以r：R=2：3,那么這兩個球的表面積的比為N：R2=生9;

故答案為：4：9.

由題意，設兩個球的半徑，表示出求的表面積和體積；根據(jù)體積比，得到表面積的比.

本題考查了球的體積和表面積；明確體積、表面積公式是關鍵.

9.【答案】0.3

【解析】解：甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為0.5,甲不輸?shù)母怕蕿?.8,

則甲、乙兩人下成和棋的概率為P=0.8-0.5=0.3.

故答案為:0.3.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

10.【答案】1

【解析】解：因為4BC0-

&B1GD1是正方體，所以《Bl

AB,8/_L平面UQOi，

又因為名以u平面所

以B$1B也,

所以SB是與的公垂直線

段，

所以異面直線4B與必當之間的

距離為=1.

故答案為：L

尋找異面直線4B與QB1的公垂線段是即可.

本題考查了正方體的基本特征，考查了異面直線距離問題，屬于基礎題.

11.【答案】|

【解析】解：從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，

放回后再隨機抽取1張，

基本事件總數(shù)n=5x5=25,

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件(m,n)有10個，分別為:

(2,1),(3,1).(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

第10頁，共20頁

???抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為p=蓑=條

故答案為：|.

先求出基本事件總數(shù)n=5x5=25,再用列舉法求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第

二張卡片上的數(shù)包含的基本事件（7n,n）有10個，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大

于第二張卡片上的數(shù)的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求出能力，考查函

數(shù)與方程思想，是基礎題.

12.【答案】367r

【解析】

【分析】

本題考查球的內(nèi)接體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計

算能力，屬于中檔題.

判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求解球的半徑，然后求解球的表面積.

【解答】

解：三棱錐S-4BC的所有頂點都在球。的球面上，SC是球。的直徑，

若平面SC4平面SCB,SA=AC,SB=BC,

可知三角形SBC與三角形S4C都是等腰直角三角形，。是斜邊SC上的中點,

AO1SC,BO1SC,

設球的半徑為r,三棱錐S-4BC的體積為9,

可得［xgx2rxrxr=9,解得r=3,

球。的表面積為：4/rr2=367r.

故答案為367r.

13.【答案】y/2

【解析】

【分析】

本題考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知

識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

過點P作/1AC,交4C于D,作PEIBC,交BC于E,過P作P。1平面4BC,交平面4BC

于。，連接?！?,0C,貝UPD=PE=b，從而CD=CE=。。=0E=

2

J22-(V3)=1-由此能求出P到平面ABC的距離.

【解答】

解：乙4cB=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,

點P至ibACB兩邊AC,BC的距離均為百，

過點p作PD_L4C,交4c于。，作PE1BC,交8c于E,

B

過P作P。J?平面4BC,交平面ABC于。，

連接。D,OC,則PD=PE=b，

???由題意得CD=CE=OD=OE=J22-(8丁=

???PO=>/PD2-OD2=V3^1=V2.

P至lj平面4BC的B巨離為VI

故答案為

14.【答案】V6

【解析】解：根據(jù)題意，如圖，連結(jié)為4AC,DC

???E,F,G分別為ZB,BC,GDi的中點，

第12頁，共20頁

-.AC//EF,EFC平面AC。1，ACu平面4皿，

???EF〃平面4c0],

vEG//ADr,EG仁平面AC。],ADru平面4皿，

EG〃平面AC。。

vEFCEG=E,???平面EFG〃平面ACDi，

???/\P〃平面EFG,

:?點P在直線4c上，在△ACO1中，AD^=AC=CD1=y/4+4=2V2>

S△AD1C=|x2A/2x2A/2xsin60°=273,

.??當D/14C時，線段。記的長度最小，最小值為強=后；

故答案為：V6.

根據(jù)題意，連結(jié)劣4,AC,DQ分析可得EF〃平面/CD】，EG〃平面4CD1，從而平面

EFG〃平面AC。1，推導出點P在直線AC上，在△ACD1中，分析可得當D/，4c時，線

段5P的長度最小，并能求出最小值.

本題考查空間點到直線距離的計算，涉及平面與平面平行的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.【答案】87r

【解析】

【分析】

本題考查圓錐的體積的求法，母線與底面所成角的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

利用已知條件求出母線長度，然后求解底面半徑，以及圓錐的高，然后求解體積即可.

【解答】

解：圓錐的頂點為S,母線S4,SB互相垂直，ASAB的面積為8,

可得：1SA2=8,解得SA=4,

S4與圓錐底面所成角為30。.可得圓錐的底面半徑為：2舊，圓錐的高為：2,

則該圓錐的體積為：K=|X7rx(2b)2x2=87r.

故答案為：87T.

16.【答案】(8,12)

【解析】解：設EF=x(0<x<4),

???四邊形EFG”為平行四邊形，

.FG_X

"CB-4"

E】FGBFBC-CF"X

則—=—=-----=1--，

6BCBC4

從而FG=6—1x,

二四邊形EFGH的周長I=2(%+6-|x)=12-x,

又0cx<4,則有8<1<12,

???四邊形￡7環(huán)〃周長的取值范圍是(8,12).

故答案為：(8,12).

設EF=x(0<x<4),由四邊形EFGH為平行四邊形，得黑=：，推導出FG=6-1,

從而四邊形EFGH的周長，=2(x+6-|x)=12-x,由此能求出四邊形EFGH周長的取

值范圍.

本題考查四邊形周長的取值范圍的求法，考查四面體的結(jié)構(gòu)特征等基礎知識，考查運算

求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)拋擲3枚硬幣，用“、7分別表示正面與反面，

這個隨機試驗的樣本空間為：

n=(H,T,T),(T,T,H),(T,T,T)}.

(2)這個隨機試驗的樣本空間為：

0={(H,H,H),(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)},

含有8個基本事件，

至少出現(xiàn)兩個反面的包含的基本事件有(H,7,7),(T,H,T),(T,T,T),共4個,

工至少出現(xiàn)兩個反面的概率P=￡=；.

oN

(3)至少出現(xiàn)一個正面包含的基本事件有：

(H,T,T),(T,H,T),(T,T,H),共7個，

???至少出現(xiàn)一個正面的概率p=

8

第14頁，共20頁

【解析】(1)利用列舉法能求出這個隨機試驗的樣本空間.

(2)利用列舉法求出至少出現(xiàn)兩個反面的包含的基本事件有4個，由此能激出至少出現(xiàn)兩

個反面的概率.

(3)利用列舉法求出至少出現(xiàn)一個正面包含的基本事件有7個，由此能求出至少出現(xiàn)一個

正面的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎

題.

18.【答案】解：(1)法一：如圖示:

在長方體48。。-418傳1。1中，

???DDi_L平面/BCD,即TCJL平面ABCD,

故直線TC與平面ABCD所成的角即為“CD,

在/?￡△"￡)中，由。7=2,CD=AB=4,可得tanZTCD=而,

顯然，Z.TCD6(0,^),故/TC。=arctan

故直線7c與平面ABCD所成的角的大小是arctan：；

法二：以。為原點，DA,DC,分別為％,y,z軸,

建立空間直角坐標系，如圖示:

???71(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),7(0,0,2),

TC=(0,4,-2),平面4BCD的一個法向量元=(0,0,1)，

設直線7C與平面4BCD所成角的大小為9,

|T?.n|2

則sin。==即sin。=—，

I尼卜同一百西印口55

由。W[°，§，故8=arcsin—,

/5

故直線7C與平面神。所成角的大小為arcsing,

(2)由G(0,4,6),41(2,0,6),7(0,0,2),C(0,4,0),

故中=(-2,0,-4).CT=(0,-4,2)，=(0,-4,-4),

設平面&TC的一個法向量為沅=(x,y,z),

m1-AJ=0f-2x-4=0x=-4y

由記而得￡而=。nn＞故,

14y+2=0,z=2y

取沆=(-4,1,2),

故點G到平面4TC的距離為丹翠=|0x(_4)+(_4)Xl+(-4)x2|_4幅

J(-4產(chǎn)+12+看―7

即點G到平面&7C的距離為竽.

【解析】(1)法一：根據(jù)線面垂直，求出線面角為N7CD,結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，求出

夾角的大小即可；

法二：求出平面4BCD的法向量，根據(jù)向量的坐標，求出線面角的大小即可；

(2)求出平面47c的一個法向量，結(jié)合向量的運算，求出點到面的距離即可.

本題考查了線面角問題，考查點到面的距離，考查向量的坐標運算以及數(shù)形結(jié)合思想,

是一道中檔題.

19.【答案】解：(1)???/L4J/CC1，二NBCiC

即為異面直線與/4所成角,

VAAr1平面48C,???CC1_L平面4BC,

???乙￡CB=90°.

???CB=>JAB2+AC2=VFHl=&，CC]=

2,

???tanz_CiCB=拳，得z_CiC8=arctan爭

即異面直線BCi與所成角的大小為arctan圣

(2)%-ACQAI=-x1x22=^；

全=

SSLBAC+SLBAAI+s^BAiCi+sCAAiCi

1111

=—xlxl-f--xlx24~—xlxv5+—xv2x2+1x2

第16頁，共20頁

=i+l+—+V2+2=-+V2+—.

2222

???四棱錐B-力CCM1的體積為§表面積為2+或+它.

【解析】⑴由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得???NBGC即為異面直線BG與所成角，

證明CCi_L平面4BC,再由已知求解三角形得答案；

(2)直接由棱錐體積公式求四棱錐B-ACCMi的體積，再由三角形面積公式及矩形面積

公式求四棱錐8-4CG4的表面積.

本題考查異面直線所成角的求法，考查多面體的體積與表面積的求法，考查空間想象能

力與運算求解能力，是中檔題.

20.【答案】證明：

(1),??四棱錐P-ABC。中，PAJL平面4BCC,

BDC平面，:.BD1PA,

底面ABCD為菱形，???

"PAQAC=A,PA,ACu平面PAC,

???BD_L平面P4c.

(2)???在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為菱形，^ABC=60°,

4CD是等邊三角形，

??,E為CD的中點，

AE1CD,

?：AB//CD,

***AB-LAE,

???PA，平面4BCD,AEC平面.4打「。，

???PA1AE,

■：PACtAB=A,PA,ABu平面P4B,

AE_L平面P4B,

vAEu平面PAE,

二平面PAB，平面PZE.

(3)棱PB上存在中點尸，使得CF〃平面P4E.

理由如下：分別取PB、P4的中點F、G,連接CF、FG、EG,

在三角形P4B中，F(xiàn)G//ABS.FG=^AB,

在菱形4BCD中，E為CD的中點，

所以CE〃AB,且